第七章相交线与平行线（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图， 若 ， 则下列选项中的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA=5，PO=4，PB=4.3，OC=3，则点P到直线l的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.3 D．5 3．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4． 如图，已知直线m∥n.将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置(∠ABC=30°)，其中点 A，B 分别落在直线m，n上.若∠1=20°，则∠2的度数为(　　) A．20° B．30° C．45° D．50°. 5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 6．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． B． C．α+β=γ D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，将木条a，b与钉在一起，，，要使木条与平行，木条转动的度数至少是 　度． 8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　 　． 9．如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为1，CE＝2，则BF＝　 　． 10． 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则　 　． 11．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为　 　度. 12．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当　 　时，． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数. 14．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1=∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？ 15．如图，直线AB、CD相交于点O， DOE= BOD，OF平分 AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若 AOC： AOD=1：5，求 EOF的度数． 16． 如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出三角形向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形； （2）求出三角形的面积． 17．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 请填空．证明：∵AF⊥CE（已知） ∴∠AOE＝90°（ ▲ ） 又，∵∠1＝∠B（已知） ∴ ▲ （同位角相等，两直线平行） ∴∠AFB＝∠AOE（ ▲ ） ∴∠AFB＝90°（ ▲ ） 又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝（ ▲ ）° 又∵∠A+∠2＝90°（已知） ∴∠A＝∠AFC（ ▲ ） ∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数； （2）试说明OD平分∠AOG． 19．如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题.从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明. 如图，已知 ▲ .求证： ▲ .（填“①”，“②”，“③”） 证明： 20．已知：如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠8．求证：∠AEO＝∠ACB． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3） 如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 22． 阅读下列材料，解决相应问题． （1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律． 在图1中，证明； （2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，； ①请问和有什么关系？并说明理由； ②请问光线和是否平行？并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间． 求证：； 证明：如图1，过点作． ， ，， ， 即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为　 　． （3）【联系拓展】 如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为　 　． 试卷第2页，共36页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图， 若 ， 则下列选项中的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵∠1=∠4 ∴AD∥BC 故答案为B. 2．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA=5，PO=4，PB=4.3，OC=3，则点P到直线l的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.3 D．5 【答案】B 【解析】解：由图可得： 点P到直线l的距离为PO的长度，即为4， 故答案为：B. 3．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ②只有直线平行时才有同位角相等，原说法错误； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ④ 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，说法正确. 正确的有1个. 故答案为：B. 4． 如图，已知直线m∥n.将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置(∠ABC=30°)，其中点 A，B 分别落在直线m，n上.若∠1=20°，则∠2的度数为(　　) A．20° B．30° C．45° D．50°. 【答案】D 【解析】∵m∥n， ∴∠2=∠1+∠ABC=50°； 故答案为：D. 5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解析】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°， ∴∠MOC=35°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°． 故选：C． 6．如图1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为4：3.如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为α，β，水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． B． C．α+β=γ D． 【答案】B 【解析】解：作三条平行线，如图， 根据题意得，∠1=(90°-α），∠3=(90°-β）， 由平行的性质得，∠2=∠1，∠4=∠3， ∴ γ=∠2+∠4=∠1+∠3=(90°-α)+(90°-β）， ∴(α+β）=135°-γ. 故答案为：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，将木条a，b与钉在一起，，，要使木条与平行，木条转动的度数至少是 　度． 【答案】25 【解析】解：当∠1=∠2=35°时，a∥b， ∴ 木条转动的度数至少为60°-35°=25°； 故答案为：25. 8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　 　． 【答案】125° 【解析】解：如图所示， ∵ ∴， 故答案为：：. 9．如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为1，CE＝2，则BF＝　 　． 【答案】4 【解析】解：观察图形可知：将△ABC沿BC方向平移到△DEF，根据对应点连接的线段平行且相等，得BE＝CF＝AD＝1． ∴BF＝BE+EC+CF＝4． 故答案为：4. 10． 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则　 　． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点B作BG∥AE， CD∥AE， CD∥BG， ∠BCD+∠CBG=180°， BG∥AE，BA⊥AE， ∠ABG=90°， ∠BCD+∠CBG+∠ABG=180°+90°270°. 故答案为：270°. 11．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为　 　度. 【答案】90 【解析】解：由题意得：BQ∥AP ∴∠1=∠BAP=67° ∴∠DBC=∠1+∠QBC=90° ∵CE∥AB ∴∠ECB+∠CBD=180° ∴∠ECB=90° 故答案为：90° 12．如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当　 　时，． 【答案】或 【解析】①如图所示： ∵CE//AB，∠ACE=∠A=30°， ∴∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°； ②如图所示： ∵CE//AB，∠BCE=∠B=60°， ∴∠ACD=360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE=360°-90°-60°-90°=120°， 综上，∠ACD的度数是60°或120°， 故答案为：60°或120°. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数. 【答案】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠3＝75°（两直线平行，内错角相等）. 14．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1=∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？ 【答案】解： 理由如下： ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴， ∴∠2=∠DCB ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠DCB ∴ 15．如图，直线AB、CD相交于点O， DOE= BOD，OF平分 AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若 AOC： AOD=1：5，求 EOF的度数． 【答案】（1）解：OF与OD的位置关系是垂直 理由：∵OF平分 ∠ AOE． ∴∠AOE=2∠EOF ∵∠ DOE= ∠ BOD ∴∠BOE=2∠DOE ∵∠AOE+∠BOE=180°=2∠EOF+2∠DOE ∴∠EOF+∠DOE=90° ∴OF⊥OD （2）解：∵∠ AOC： ∠ AOD=1：5 ∴设∠AOC=x，∠AOD=5x ∵∠ AOC+ ∠ AOD=180° ∴x+5x=180° 解之：x=30° 即∠AOC=30°， ∵∠AOC=∠DOB=∠EOD=30°，∠EOF+∠DOE=90° ∴∠EOF=90°-30°=60° 16． 如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出三角形向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形； （2）求出三角形的面积． 【答案】（1）解：如图所示，三角形即为平移后的三角形； （2）解：． 三角形的面积为． 17．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 请填空．证明：∵AF⊥CE（已知） ∴∠AOE＝90°（ ▲ ） 又，∵∠1＝∠B（已知） ∴ ▲ （同位角相等，两直线平行） ∴∠AFB＝∠AOE（ ▲ ） ∴∠AFB＝90°（ ▲ ） 又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝（ ▲ ）° 又∵∠A+∠2＝90°（已知） ∴∠A＝∠AFC（ ▲ ） ∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行） 【答案】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）． 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）． 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝90°． 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数； （2）试说明OD平分∠AOG． 【答案】（1）解：∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF=∠FOB=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠COF=150° （2）解：∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°， ∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°， ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°， ∴∠AOD=∠DOG， ∴OD平分∠AOG． 19．如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题.从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明. 如图，已知 ▲ .求证： ▲ .（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】解：答案一：如图， 已知①②；求证：③； 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 答案二：如图， 已知①③；求证：②； 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 答案三：如图，已知②③；求证：①； 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 20．已知：如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠8．求证：∠AEO＝∠ACB． 【答案】证明：∵∠1+∠4=180°（平角定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， ∴∠2=∠4（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠BDE =180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠3=∠B（已知）， ∴∠B+∠BDE =180°（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3） 如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】解：（1）；2 （2）设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽不能超过2米； （3） 【解析】解：（1）根据题意可列方程为 解得：， 故答案为：，2. （3）则花坛的总面积为： ， 故答案为： 22． 阅读下列材料，解决相应问题． （1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律． 在图1中，证明； （2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，； ①请问和有什么关系？并说明理由； ②请问光线和是否平行？并说明理由． 【答案】（1）证明 ：∵，， ∴. （2）解：①∠2=∠5，理由如下： ∵， ∴； ②平行，理由如下： 由材料可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 六、解答题（本大题共12分） 23．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间． 求证：； 证明：如图1，过点作． ， ，， ， 即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为　 　． （3）【联系拓展】 如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为　 　． 【答案】（1）解：如图，过点P作PE∥AB ，， ， ，， ， ∴； （2） （3）45° 【解析】解：（2）如图3，过点P作PE∥AB ，， ， ， ， ∴， ； 故答案为：； （3）如图4，设PD交AN于O， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得， ， . 故答案为：45°. 试卷第2页，共36页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$