6.2.4向量的数量积（第2课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.2.4向量的数量积（第2课时） 1．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　) A．16　　　　　　　 B．256 C．8 D．64 2．【多选题】已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是(　　) A．|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a|·|b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 4．设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为(　　) A．2 B. C．3 D. 5．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 6．已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝(　　) A．2＋ B. C．3 D. 7.已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若＝5a＋2b，＝a－3b，且D为BC中点，则的模为(　　) A. B. C．7 D．8 8．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为________． 9．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；向量b在向量a上的投影向量为________． 10．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2. (1)若a⊥b，求实数λ的值； (2)若a与b的夹角为60°，求实数λ的值． 11．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 12．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|的值为________． 13．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且2＋3＋4＝0，则·的值为________． 14．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 15．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是(　　) A.＝ B.·＝0 C.与共线 D.·＝· 16.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4向量的数量积（第2课时） 1．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　) A．16　　　　　　　 B．256 C．8 D．64 答案　A 解析　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16. 2．【多选题】已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是(　　) A．|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a|·|b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| 答案　ABC 解析　需对四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的法则．设θ为a，b的夹角．∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题A是真命题；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|，且以上各步均可逆，故命题B是真命题；当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以有a⊥b，故命题C是真命题；当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题D是假命题． 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°. ∴·＝(＋)·＝·＋2＝a·a·cos 60°＋a2＝a2. 4．设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析　由|a|＝|b|＝|c|＝1，b＝c－a，得b2＝(c－a)2，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝. 5．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 6．已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝(　　) A．2＋ B. C．3 D. 答案　D 解析　∵|p|2＝1＋1＋2cos ＝3，∴|p|＝. 7.已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若＝5a＋2b，＝a－3b，且D为BC中点，则的模为(　　) A. B. C．7 D．8 答案　A 解析　根据题意得＝(＋)＝(5a＋2b＋a－3b)＝(6a－b)＝3a－b，∴||＝＝＝＝.故选A. 8．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为________． 答案　 解析　∵a⊥c，∴a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，再由向量的数量积公式，得|a|2＋|a||b|cos 120°＝0，∴|a|－|b|＝0.所以＝. 9．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；向量b在向量a上的投影向量为________． 答案　　a 解析　a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝4|b|cos 45°＝2|b|，又·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝或|b|＝－(舍去)．向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 45°·＝a. 10．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2. (1)若a⊥b，求实数λ的值； (2)若a与b的夹角为60°，求实数λ的值． 解析　(1)由a⊥b，得a·b＝0，则(e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得e12＋λe1·e2－e1·e2－λe22＝0，即－λ＝0，所以λ＝. (2)因为e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos〈e1－e2，e1＋λe2〉＝，且(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e12＋λe1·e2－e1·e2－λe22＝－λ， |e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××＝，解得λ＝. 11．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 答案　A 解析　∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°. 12．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|的值为________． 答案　 解析　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2.因为|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，所以c2＝4＋2×2×3×cos ＋9＝7，即|c|＝. 13．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且2＋3＋4＝0，则·的值为________． 答案　－ 解析　由2＋3＋4＝0，得2＝－3－4，两边平方得4＝9＋16＋24·，所以·＝－， 又3＝－2－4， 两边平方得9＝4＋16＋16·，所以·＝－，所以·＝·(－)＝·－·＝－＋＝－. 14．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解析　p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2. ∵|p|＝|a＋b|＝＝＝， |q|＝|a－b|＝＝＝1， ∴cos θ＝＝＝. 即向量p与q夹角θ的余弦值为. 15．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是(　　) A.＝ B.·＝0 C.与共线 D.·＝· 答案　D 解析　设BC＝DE＝m，∵∠A＝30°，且B，C，D三点共线，∴∠ACB＝∠CED＝60°，∠ACE＝90°，CD＝AB＝m，AC＝EC＝2m，∴＝，·＝0，∥，故A、B、C成立；·＝2m·m·cos 60°＝m2，·＝2m·m·cos 30°＝3m2，故·＝·不成立．故选D. 16.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由． 解析　(1)根据题意得，＝＝b，＝＝＝－＝－a， ∴＝＋＝b－a. (2)在线段BC上存在一点F满足AF⊥BE，此时点F为BC上靠近点B的四等分点． 理由如下： 设＝t＝tb，0≤t≤1，则＝(1－t)b， ∴＝＋＝a＋tb， ∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝. ∵AF⊥BE， ∴·＝(a＋tb)·＝a·b－a2＋tb2＝×－＋t＝0， 解得t＝，因此线段BC上存在点F满足AF⊥BE，该点是BC上靠近点B的四等分点． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$