6.2.4向量的数量积（第1课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.2.4向量的数量积（第1课时） 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60°　　　 B．120° C．135°　　　 D．150° 3．命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 5．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 6．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 7．【多选题】已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 8．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点，则与的夹角为________． 9．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． 10．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角θ＝120°. ①求a·b； ②求向量a在向量b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 11．下列说法正确的是(　　) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若a·b＝0，则a⊥b 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 13．【多选题】在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝·＝· 14．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． 15．已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列给出的向量的数量积中最大的是(　　) A.· B.· C.· D.· 16．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4向量的数量积（第1课时） 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 答案　B 解析　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B. 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60°　　　 B．120° C．135°　　　 D．150° 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 3．命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若p成立，则a·b＝|a||b|cos θ>0，即p⇒q；若q成立，则a·b＝|a||b|cos θ>0，得cos θ>0，所以θ∈，当θ＝0时，命题p不成立，即qp.故选A. 4．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 答案　B 解析　·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 5．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　C 解析　由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形． 6．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，∵|a|·cos θ＝b，∴|a|·cos θ＝，∴|a|·cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 7．【多选题】已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 答案　ACD 解析　B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角．故B错误． 8．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点，则与的夹角为________． 答案　120° 解析　如图所示，∵AB＝，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，∴tan A＝＝＝， ∴∠A＝30°，又D为AC中点，∴AD＝BD，即∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠BDA＝180°－30°－30°＝120°，∴与的夹角为120°. 9．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． 答案　b 解析　设a与b的夹角为θ， ∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝， 即向量a在向量b上的投影向量为b. 10．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角θ＝120°. ①求a·b； ②求向量a在向量b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 解析　(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 11．下列说法正确的是(　　) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若a·b＝0，则a⊥b 答案　A 解析　根据投影向量的定义，知A正确；∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B错误；若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误． 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 答案　A 解析　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝. ∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝8. 13．【多选题】在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝·＝· 答案　AD 解析　·＝||||cos A＝||||＝||2，A正确； ·＝||||cos(π－C)＝－||||cos C＝－||||＝－|CB|2，B错误； ·＝||||cos(π－∠ABD)＝－||||cos∠ABD＝－||||＝－||2，C错误； ·＝||||cos∠ABD＝||||＝||2，·＝||||cos∠CBD＝||||＝||2，D正确．故选AD. 14．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． 答案　e 解析　设a与b的夹角为θ，则θ＝60°，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·e＝2×e＝e. 15．已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列给出的向量的数量积中最大的是(　　) A.· B.· C.· D.· 答案　A 解析　根据正六边形的几何性质，〈，〉＝，〈，〉＝，〈，〉＝，〈，〉＝. ∴D中，·<0， C中，·＝0， A中，·＝||·||cos ＝||2， B中，·＝||·2||cos ＝||2. 比较可知选A. 16．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________． 答案　 解析　因为b·e1＝b·e2＝1，|e1|＝|e2|＝1，由数量积的定义知b与e1，e2所成的角相等．由e1·e2＝，知e1与e2的夹角为60°，所以b与e1，e2所成的角均为30°，即|b|cos 30°＝1，所以|b|＝＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$