6.2.3向量的数乘运算（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.2.3向量的数乘运算 1．化简的结果是(　　) A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b 2．下列结论正确的是(　　) A．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa B．若b＝λa，则a与b共线 C．若λa＝0，则a＝0 D．|λa|＝λ|a| 3．设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则λ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 5．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且d与c反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且d与c反向 6．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为(　　) A.＝－＋ B.＝－＋ C.＝－ D.＝＋ 7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 8．已知＝＋，设＝λ，那么实数λ的值是________． 9．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a－3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足的关系式为λ＝________． 10．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设＝a，＝b. (1)用向量a与b表示向量； (2)若＝，判断C，D，E是否共线，并说明理由． 11．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　) A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 12．【多选题】若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝－a－b B.＝a＋b C.＝－a＋b D.＝a 13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　) A．－2　　　　　 B．－1 C．1 D．2 14.如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则＝(　　) A.＋　 B.－ C.＋ D.＋ 15．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A.　　　 B. C．－　　　 D．－ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3向量的数乘运算 1．化简的结果是(　　) A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b 答案　B 解析　原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a. 2．下列结论正确的是(　　) A．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa B．若b＝λa，则a与b共线 C．若λa＝0，则a＝0 D．|λa|＝λ|a| 答案　B 3．设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则λ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　＝＋＝3e－5e＝－2e，由＝λ得3e＝λ·(－2e)，∴λ＝－. 4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 答案　A 解析　＝a＋2b，＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以与不共线，所以AB与CD不平行．又＝＋＋＝－8a－2b，显然＝2，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形．故选A. 5．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且d与c反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且d与c反向 答案　D 解析　由c∥d，得c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，即∴即c＝－a＋b且c＝－d. 6．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为(　　) A.＝－＋ B.＝－＋ C.＝－ D.＝＋ 答案　A 解析　由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝－.故选A. 7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 答案　A 解析　如图，延长OD至E，使||＝||，连接BE，EC，则四边形OBEC为平行四边形， ∴＋＝＝2，∴2＋＋＝2＋2＝0.月∴＋＝0. ∴＝－＝.故选A. 8．已知＝＋，设＝λ，那么实数λ的值是________． 答案　 解析　因为＝λ，所以－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，又因为＝＋，所以λ＝. 9．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a－3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足的关系式为λ＝________． 答案　μ＋5 解析　因为＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a－3b，所以＝－＝(3－λ)a－(2＋μ)b，＝－＝－a－b.若A，B，C三点共线，则∥，即3－λ＝－(2＋μ)，化简可得λ＝μ＋5. 10．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设＝a，＝b. (1)用向量a与b表示向量； (2)若＝，判断C，D，E是否共线，并说明理由． 解析　(1)∵＝a，＝b，点A是BC的中点，∴＝－a.∴＝＋＝－a－b. (2)连接CE，CD，假设存在实数λ，使＝λ. ∵＝＋＝a＋b＋(－b)＝a＋b， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b， ∴a＋b＝λ，∴此方程组无解，∴不存在实数λ，满足＝λ.∴C，D，E三点不共线． 11．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　) A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 答案　A 解析　因为a∥b且|a|>|b|>0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同． 12．【多选题】若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝－a－b B.＝a＋b C.＝－a＋b D.＝a 答案　ABC 解析　在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正确；＝＝－a，故D不正确．故选ABC. 13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　) A．－2　　　　　 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　由题图易得2a＋b＝c.因为向量λa＋b与c共线，所以λ＝2.故选D. 14.如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则＝(　　) A.＋　 B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，则＝＝＝×(＋)＝(＋＋)＝＋.故选A. 15．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A.　　　 B. C．－　　　 D．－ 答案　A 解析　∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝＋2－2， ∴3＝＋2.∴＝＋. ∴λ＝.故选A. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$