6.1平面向量的概念（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.1平面向量的概念（解析版） 1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度． 其中是向量的有(　　) A．4个　　　　　　　　 B．5个 C．6个 D．7个 答案　A 解析　速度、位移、力、加速度这4个物理量是向量，它们都有大小和方向． 2．【多选题】下列结论正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D．与非零向量a平行的单位向量有1个 答案　BC 解析　A中两个向量未必共线；D中与非零向量a平行的单位向量有2个． 3．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 答案　B 4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ 答案　ABC 解析　根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量的定义作出判断，只有D是错误的，与只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量． 5．四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 答案　C 解析　∵＝2，∴AB∥DC且AB≠DC. ∴四边形ABCD为梯形． 6．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________． 答案　单位圆 7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________． 答案　 解析　因为正方形的对角线长为2，所以||＝. 8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________． 答案　2 解析　连接AC，由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC，BD交点为O，在Rt△ABO中，||＝||·cos 30°＝2×＝，∴||＝2||＝2. 9．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________． 答案　南偏东30° 解析　如图所示，设此人从点A出发，经点B，到达点C， 则tan∠BAC＝＝＝，∵∠BAC是三角形的内角， ∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°. 10.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； (2)找出与共线的向量； (3)找出与模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 解析　(1)＝，＝. (2)与共线的向量有，，. (3)与模相等的向量有，，，，，，. (4)向量与不相等，因为它们的方向不相同． 11．【多选题】在下列结论中，正确的结论为(　　) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 答案　ACD 解析　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A、C、D正确，B错误． 12.如图，矩形ABCD中，点E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若||＝3，||＝8，则||＝________． 答案　3 解析　在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝8，因为E为BC的中点，所以BE＝BC＝×8＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝5，因为EF是∠AEC的平分线， 所以∠AEF＝∠CEF， 因为AD∥BC，所以∠AFE＝∠CEF， 所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF， 所以FD＝AD－AF＝8－5＝3. 13.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地． (1)在图中画出向量，，，； (2)描述B地相对于A地的位置． 解析　(1)作向量，，，如图所示． (2)由题意知＝， 所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝， 所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°，相距6 km”． 14.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长都为1. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a； (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹； (3)试以C为起点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反． 解析　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图． (3)如图． 15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处各走了“一步”的所有情况． 解析　根据规则，作出符合要求的所有向量，如图． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1平面向量的概念 1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度． 其中是向量的有(　　) A．4个　　　　　　　　 B．5个 C．6个 D．7个 2．【多选题】下列结论正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D．与非零向量a平行的单位向量有1个 3．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ 5．四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 6．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________． 7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________． 8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________． 9．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________． 10.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； (2)找出与共线的向量； (3)找出与模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 11．【多选题】在下列结论中，正确的结论为(　　) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 12.如图，矩形ABCD中，点E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若||＝3，||＝8，则||＝________． 13.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地． (1)在图中画出向量，，，； (2)描述B地相对于A地的位置． 14.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长都为1. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a； (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？然后作出轨迹； (3)试以C为起点画一个向量d，使|d|＝3且d与a方向相反． 15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处各走了“一步”的所有情况． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$