精品解析：浙江省温州市新希望学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

温州新希望学校2024学年第一学期九年级期中作业检测 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. ⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 2. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B. 在装有黑球的袋中摸出红球 C. 是实数， D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 3. 下列二次函数图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为2的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的半径为，一条弦的弦心距为，弦长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，均在抛物线上，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（ ） A B. C. D. 10. 已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于的方程的解是（ ） … 0 3 8 … … 2 2 … A ， B. ， C. D. 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是直线__________． 12. 二次函数的图象与轴有__________个交点． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 14. 如图是二次函数部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 15. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点对应点恰好落在边上，则的度数是______． 16. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为__________． 17. 如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为__________． 18. 图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了__________米． 三、解答题（本题共有5小题，共46分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． （1）小明通过刷脸通道的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 20. 如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）求四边形的面积． 21. 已知抛物线（，为常数），经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 22. 利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 23. 已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． （1）求，两点坐标； （2）点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温州新希望学校2024学年第一学期九年级期中作业检测 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. ⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解⊙O半径为3cm，点P在⊙O内， ∴OP＜3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 2. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B. 在装有黑球的袋中摸出红球 C. 是实数， D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A、任意抛图钉，可能是针尖先着地，也可能是其他部位先着地，为随机事件，故该选项不符合题意； B、在一个只装有黑球的袋中，摸出黑球是不可能事件，故该选项符合题意； C、a是实数，，这是必然事件，故该选项不符合题意； D、在一张纸上任意画两条线段，一条线段有两个端点，而线段不能无限延长，任意画两条线段可能相交也可能不相交，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列二次函数图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】A、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； B、将代入可得，故经过原点，符合题意； C、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； D、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 故选：B． 4. 如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵转盘被等分成三个扇形， ∴指针指向的数字为2的概率是， 故选：C． 5. 二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式即可． 本题考查了二次函数图像与几何变换，利用了平移的规律，解决本题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是． 故选：A 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标是； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 7. 已知的半径为，一条弦的弦心距为，弦长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的相关知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题首先需要画一个简图，便于理解，根据弦心距和半径构造直角三角形，再用勾股定理即可求解弦长； 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图： ， 即半径，弦心距， 在中， 根据勾股定理：， 即求得， 即弦长； 故选：． 8. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式求得对称轴为直线，开口向下，根据点到对称轴的远近进行判断即可求解． 本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下，而点B在对称轴上，点C离对称轴最远， ∴． 故选：A． 9. 如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可． 【详解】解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键． 10. 已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于的方程的解是（ ） … 0 3 8 … … 2 2 … A. ， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据列表可求出二次函数的对称轴和c，则，即，求当时对应的x值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线， 则和对应的函数值都是， 当时，，即， 当时，， 即， 整理，得， 即求当时对应的x值， 则， 故选：A． 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据函数解析式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 12. 二次函数的图象与轴有__________个交点． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确把求二次函数 (是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数是解题关键． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：， 二次函数的图象与轴有2个交点． 故答案为：2． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了运用频率估算概率的计算方法，解分式方程，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意设有白球个，根据频率的计算方法列分式方程求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当，原分式方程有意义， ∴口袋中白球可能有个， 故答案为： ． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由二次函数的对称性可得与轴的另一个交点为，进而得到二次函数图象在轴上方部分的自变量取值，即可解不等式． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 二次函数图象与轴的一个交点为， 另一个交点为， 二次函数图象在轴上方部分的自变量取值为， 不等式的解集是， 故答案为：． 15. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，推出为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ，， 等腰三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 16. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的面积综合题，作轴于点D，求出，将点A的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点B、C的坐标，求出、的长，即可得出答案． 【详解】解：作轴于点D，如下图． ， ． ． 点坐标为， ，． ． 点坐标为． 轴于点， 点横坐标为1． 抛物线与直线交于点，点坐标为， ，解得． 则． 当时，，即点坐标为． ． 轴于点， 轴于点． ． 是的高． 故答案为：． 17. 如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 18. 图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了__________米． 【答案】1.3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D， 由题意得，米，米， ∵当转动到最低位置时， ∴， （米），， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴此时B的高度上升了1.3米， 故答案为：1.3． 三、解答题（本题共有5小题，共46分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． （1）小明通过刷脸通道的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，列表求概率， 对于（1），根据概率公式计算； 对于（2），列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，即可得出答案． 【小问1详解】 因为一共有A，B，C三个通道，小明通过A通道刷脸的该概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 一共有9种可能出现的结果，符合条件的有3种， 所以小明和小慧从同一个刷脸通道通过的概率是． 20. 如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，三角形的面积计算，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：四边形的面积． 21. 已知抛物线（，为常数），经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． （1）用待定系数法，将两个点的坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求得函数表达式； （2）根据的取值范围，求得抛物线的最大值和最小值，再根据抛物线的最大值与最小值的和为3，即可求得的值； 【小问1详解】 解：将和分别代入解析式得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 当时，，，，， ∴（舍）， 当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 综上所述：，． 22. 利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：当单价定为65元时，每天获利最大，最大利润为1750元；任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题）等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数表达式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日利润为元，根据“总利润单件利润每日销量”列出二次函数解析式，求最值即可； （3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：任务一：设关于的函数解析式为， 将，代入解析式，得： ， 解得：， 关于的函数解析式为：； 任务二：设每日利润为元，根据题意得： ， ∵不在之内， 且在时，随的增大而增大， ∴当时，每天获得的利润最大，， 答：当单价定为65元时，每天获得利润最大，最大利润是1750元； 任务三：由题意可得：， 整理，得：， 解得：，， ∵函数图象开口向下， ∴． 23. 已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． （1）求，两点坐标； （2）点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的最大值为 （3）存在，点的横坐标为，或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：令，代入得：， 解得，， ∴； 【小问2详解】 设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． 【小问3详解】 ①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$