八年级数学开学摸底考（北京专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．地处北京怀柔科学城的“北京光源” 是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米级．．将0.000000001用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 3．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．如图，要使△△，下面给出的四组条件，错误的一组是　　 A．， B．， C．， D．， 5．正六边形的外角和是　　 A． B． C． D． 6．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 7．若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 8．如图，在中，，是内一点，点，，分别是点关于直线，，的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 10．分解因式：　　． 11．已知点与点关于轴对称，则　　． 12．计算：　　． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为 　　． 14．如图，在△中，，垂直平分，垂足为，交于，若△的周长为，则的长为 　　． 15．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 　　． 16．阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得． 例如，，，或， 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，，若，则 　　； （2）已知，，为整数），．若，则用含，的式子表示为 　　． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．因式分解： （1）； （2）． 19．计算： （1）； （2）． 20．解方程：． 21．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 22．补全证明过程：如图，已知，，，四个点在同一条直线上，，，． 求证：△△． 证明：， 　　 　　， 即 　　 　　 在△和△中， △△ 　　． 23．如图，在中，，于． （1）求证：； （2）若平分分别交、于、，求证：． 24．如图，在中，，，，分别平分，． （1）求的度数； （2）试判断的形状，并说明理由． 25．为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． （1）根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元 数量（本 总费用（元 《西游记》 　　 7000 《红楼梦》 　　 　　 14000 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ （3）该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 26．如图，根据要求回答下列问题： （1）作出△关于轴对称的图形△； （2）点关于轴对称点的坐标是 　　； （3）在轴上找一个点，使得的和最小． 27．阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数　　． （2）分解因式：　　，代数式的最小值为 　　． （3）试判断代数式与的大小，并说明理由． 28．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 参考答案 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D C C C A 二、填空题（共16分，每题2分） 9． 10． 11．5 12． 13．或 14．8 15． 16．（1）9； （2）或． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．【解答】解： ．.............5分 18．【解答】解：（1） ；.........................2分 （2） ．.......................3分 19．【解答】解：（1） ；....................2分 （2） ．................3分 20．【解答】解：， ，.........................1分 ，........................1分 解得：，.........................2分 经检验：是原方程的解，......................1分 原方程的解是．.........................1分 21．【解答】解：（1），， ；................3分 （2）．....................3分 22．【解答】证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△．.......................5分 故答案为：；；；；． 23．【解答】证明：（1），于， ，， ；......................2分 （2）在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ．................................3分 24．【解答】解：（1）， ， ，......................1分 ，分别平分，， ，， ，.....................1分 ， 的度数是．...........................1分 （2）是等腰直角三角形， 理由：由（1）得， 在和中， ， ，.............................2分 ，， ， 是等腰直角三角形．....................1分 25．【解答】解：（1）设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，；....................1分 （2）据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，............................2分 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （2）设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元．..............................2分 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 26．【解答】解：（1）△关于轴对称的图形△，如图所示： ；.........................2分 （2）点关于轴对称的点为点，， ， 故答案为：；.....................2分 （3）如图所示，连接交轴于，点即为所求． .....................2分 27．【解答】解：（1）设，则， ， 解得， 故答案为：4；........................1分 （2）， ， 由平方的非负性可知，当时，有最小值， 故答案为：；；......................2分 （3）．理由如下： .....................2分 ， ．.........................2分 28.【解答】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ；.......................2分 （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， ；............................2分 （3）解：，， ， 在和中，， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为6．.......................3分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 09. _______________ 10. ________________ 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（5分） 23．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6分） 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 27．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．地处北京怀柔科学城的“北京光源” 是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米级．．将0.000000001用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 3．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．如图，要使△△，下面给出的四组条件，错误的一组是　　 A．， B．， C．， D．， 5．正六边形的外角和是　　 A． B． C． D． 6．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 7．若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 8．如图，在中，，是内一点，点，，分别是点关于直线，，的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 10．分解因式：　　． 11．已知点与点关于轴对称，则　　． 12．计算：　　． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为 　　． 14．如图，在△中，，垂直平分，垂足为，交于，若△的周长为，则的长为 　　． 15．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 　　． 16．阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得． 例如，，，或， 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，，若，则 　　； （2）已知，，为整数），．若，则用含，的式子表示为 　　． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．因式分解： （1）； （2）． 19．计算： （1）； （2）． 20．解方程：． 21．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 22．补全证明过程：如图，已知，，，四个点在同一条直线上，，，． 求证：△△． 证明：， 　　 　　， 即 　　 　　 在△和△中， △△ 　　． 23．如图，在中，，于． （1）求证：； （2）若平分分别交、于、，求证：． 24．如图，在中，，，，分别平分，． （1）求的度数； （2）试判断的形状，并说明理由． 25．为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． （1）根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元 数量（本 总费用（元 《西游记》 　　 7000 《红楼梦》 　　 　　 14000 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ （3）该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 26．如图，根据要求回答下列问题： （1）作出△关于轴对称的图形△； （2）点关于轴对称点的坐标是 　　； （3）在轴上找一个点，使得的和最小． 27．阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数　　． （2）分解因式：　　，代数式的最小值为 　　． （3）试判断代数式与的大小，并说明理由． 28．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共16分） 参考答案与试题解析 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断，即可解答． 【解答】解：、不是轴对称图形，故不符合题意； 、不是轴对称图形，故不符合题意； 、不是轴对称图形，故不符合题意； 、是轴对称图形，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．地处北京怀柔科学城的“北京光源” 是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米级．．将0.000000001用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4．如图，要使△△，下面给出的四组条件，错误的一组是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：、，，又，根据证明△和△全等，故本项正确，不符合题意； 、，，又，根据证明△和△全等，故本项正确，不符合题意； 、，，又，根据证明△和△全等，故本项正确，不符合题意； 、，，又，不能证明△和△全等，故本项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．正六边形的外角和是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【解答】解：六边形的外角和是． 故选：． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关． 6．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：，不能构成三角形，故选项不符合题意； ，不能构成三角形，故选项不符合题意； ，能构成三角形，故选项符合题意； ，不能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 7．若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】 【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质得出即可． 【解答】解： ， 所以如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键． 8．如图，在中，，是内一点，点，，分别是点关于直线，，的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【分析】连接，，，根据轴对称的性质得，，分别为，，的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【解答】解：如图，连接，，， 点，，分别是点关于直线，，的对称点， ，，分别为，，的垂直平分线， ，， ，故①正确； ，分别为，的垂直平分线，， 四边形为矩形， ，故②正确； 为的垂直平分线， ，， ，， ， 同理得，， ， ，故③错误； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【分析】直接利用分式的定义进而分析得出答案． 【解答】解：代数式有意义， 实数的取值范围是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 10．分解因式：　　． 【答案】． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键． 11．已知点与点关于轴对称，则　5　． 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， 则． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 12．计算：　　． 【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为 　或　． 【答案】或． 【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时；②当该等腰三角形为钝角三角形时；结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知：，， ， ， ； ②如图2，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知：，， ， ； 综上，这个等腰三角形的底角度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 14．如图，在△中，，垂直平分，垂足为，交于，若△的周长为，则的长为 　8　． 【答案】8． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【解答】解：垂直平分， ， △的周长， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 15．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 　　． 【分析】由平行线的性质得到，求出，，再利用平角的定义可得． 【解答】解：如图， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角板有关的角度计算，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等． 16．阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得． 例如，，，或， 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，，若，则 　9　； （2）已知，，为整数），．若，则用含，的式子表示为 　　． 【答案】（1）9； （2）或． 【分析】（1）先根据已知条件，求出，然后根据平方根的定义求出答案即可； （2）根据，，，把用含有和的式子表示出来，最后根据平方根定义求出答案即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：9； （2），，， ， ， 或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方根的定义． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 19．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的乘法计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了分式的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．解方程：． 【答案】． 【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可． 【解答】解：， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 原方程的解是． 【点评】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是将分式方程转化为整式方程，检验也是解分式方程时经常容易被忽略的步骤． 21．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）8；（2）0． 【分析】（1）将按照完全平方公式展开并将代入，求出的值即可； （2）将按照完全平方公式展开并将的值和代入求解即可． 【解答】解：（1），， ； （2）． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握和灵活运用它是本题的关键． 22．补全证明过程：如图，已知，，，四个点在同一条直线上，，，． 求证：△△． 证明：， 　　 　　， 即 　　 　　 在△和△中， △△ 　　． 【答案】；；；；． 【分析】根据全等三角形的判定定理求证即可． 【解答】证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△． 故答案为：；；；；． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 23．如图，在中，，于． （1）求证：； （2）若平分分别交、于、，求证：． 【分析】（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【解答】证明：（1），于， ，， ； （2）在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． 24．如图，在中，，，，分别平分，． （1）求的度数； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）的度数是； （2）是等腰直角三角形，理由见解答． 【分析】（1）先证明，再由，，得，则； （2）先证明，，，再求得，则是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， 的度数是． （2）是等腰直角三角形， 理由：由（1）得， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 25．为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． （1）根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元 数量（本 总费用（元 《西游记》 　　 7000 《红楼梦》 　　 　　 14000 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ （3）该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】（1），，； （2）该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可； （2）利用数量总价单价，结合花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，列出关于的分式方程，解方程即可； （3）设这个班订购本《红楼梦》，则订购本《西游记》，根据“《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （2）设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 26．如图，根据要求回答下列问题： （1）作出△关于轴对称的图形△； （2）点关于轴对称点的坐标是 　　； （3）在轴上找一个点，使得的和最小． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到、、对应点、、的坐标，描出、、，再顺次连接、、即可； （2）根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可； （3）如图所示，连接交轴于，点即为所求． 【解答】解：（1）△关于轴对称的图形△，如图所示： ； （2）点关于轴对称的点为点，， ， 故答案为：； （3）如图所示，连接交轴于，点即为所求． 【点评】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 27．阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数　4　． （2）分解因式：　　，代数式的最小值为 　　． （3）试判断代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）4； （2）；； （3），理由见解析． 【分析】（1）设，再根据多项式恒等性质列出方程组解答便可； （2）仿样例进行解答便可； （3）用差值解答便可． 【解答】解：（1）设，则， ， 解得， 故答案为：4； （2）， ， 由平方的非负性可知，当时，有最小值， 故答案为：；； （3）．理由如下： ， ． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． 28.（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【解答】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中，， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$