第01讲 等腰三角形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第01讲 等腰三角形的性质和判定 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【题型3判断等腰三角形的个数】 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【题型5等腰三角形的判定】 【题型6等腰三角形的判定与性质】 考点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）两边长3和7的等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 分类讨论，运用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为7时，周长； 当腰长为3时，，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为7，这个三角形的周长是17． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分长为的边为腰和底两种情况解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当长为的边为腰时，底长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 当长为的边为底时，腰长为， ∵， ∴腰长为时符合题意； 综上，这个等腰三角形的腰长为或， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，等腰三角形的定义以及三角形三边关系，根据绝对值以及平方的非负性质可得出，，然后分类讨论利用等腰三角形的定义以及三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵已知x，y是等腰三角形的两边长， ∴当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．此问题也要分类讨论，只是的角为底角是不成立的，要舍去，所以只有一种情况．根据等腰三角形的及三角形的内角和定理可知：的角必是顶角，根据三角形内角和求出另外两个角即可． 【详解】解：当顶角为时，底角的度数为； 当底角为时，两底角的度数和为：，因此这种情况不成立． 故选B． 【变式2-1】（23-24八年级上·天津河西·期末）一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得两底角相等，进而根据三角形内角和定理求解即可 【详解】解：一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为 故选C． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）若一个等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴顶角为，则底角为， 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， 故选C． 考点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型3判断等腰三角形的个数】 【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点D是上一点，且，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，根据题意可得，进一步得到和，即可判定图中的等腰三角形个数． 【详解】解：在中，，，则， ∵， ∴， ∴， 则等腰三角形的个数有3个，分别是 ，． 故选C． 【变式3-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】∵，， ∴和是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有个， 故选：． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）根据图中所示的角度，找出等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，求出，再得到，，根据等腰三角形判定推出即可，关键是求出各个角的度数． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， 即等腰三角形有，共5个， 故选：D． 【变式3-3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一点，，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】∵，， ∴是等腰三角形，． ∵， ∴是等腰三角形，． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，是等腰三角形． 所以一共有4个等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，理解等腰三角形的判定方法是解题的关键．即两条边相等的三角形是等腰三角形，两个角相等的两个三角形是等腰三角形． 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】（21-22八年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且∠ABO=60°，若P为坐标轴上的一点，则使△APB为等腰三角形的点P有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】分类讨论：AB=AP时，AB=BP时，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】①当AB=AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P． ②当AB=BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB=AP时的x轴负半轴的点P重合． ③当AP=BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB=AP时的x轴负半轴的点P重合． 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 【变式4-3】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，A、B是网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（    ）    A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 【答案】D 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，等腰三角形的判定，先以为底，作的垂直平分线，与网格无交点，再分别以点A，B为圆心，以为半径画弧确定格点C的数目即可． 【详解】如图所示．    点C的位置一共有14个． 故选：D． 【题型5等腰三角形的判定】 【典例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知点D、E在上，且，，试说明是等腰三角形的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，由等边对等角得出，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键．由，根据平行线的性质，可求得，又由是外角的平分线，即可得，继而证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，，是的角平分线，，交于点E．请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边对等角得到，然后结合平行线的性质得到，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：． 理由如下： ， ． ， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， ， ． ． ． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键． （1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 故为等腰三角形． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【典例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴，， 在中，， ∴． 【变式6-1】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，过的延长线上一点M，作，垂足为N，交边于点D． (1)求证：是等腰三角形． (2)若为边的中点，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)9 【分析】该题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等边对等角得出，结合，得出，即可得，结合对顶角等量代换得出，即可证明． （2）根据（1）可得，结合点为边的中点，得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：根据（1）可得， ∵点为边的中点， ∴， ∴在中，． 【变式6-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)32． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】（1）证明：， ，， 平分， ， ， ． 是等腰三角形． （2）解：是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中 ≌． ． ， ． ． 的周长． 【题型7 等腰三角形的实际应用】 【典例7】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)30海里 (2)1小时 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度，最后求出时间即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）． ∵， ∴． ∴． ∴（海里）． ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里． （2）解：如图，过点C作于点P． ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又∵， ∴． 在中，， ∴（海里）． ∴航行的时间为（时）． ∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短． 【变式7-1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，求河宽的长度． (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据，结合，，得到，利用等角对等边，求河宽的长度即可． （2）证明即可得证． 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故河宽为． （2）证明：∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：河宽为20米． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． (1)如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边  B．等边对等角   C．等腰三角形“三线合一” (3)如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 【答案】(1)见解析 (2)C (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）证明得出，即可得证； （2）根据是等腰三角形，根据三线合一，即可得证； （3）分情况讨论，①当，时，②当，时，分别画出图形，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 平分； （2）解：， 是等腰三角形， 平分， ，依据是等腰三角形“三线合一”性质． 故选：C； （3）解：，， ， 四边形为“筝形”， ①当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ； ②当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ． 综上，的度数为或． 故答案为： 或 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，已知港口A的南偏东方向上有一座小岛B ， 一艘货轮从港口A沿南偏东方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东方向． (1)求此时货轮到小岛B 的距离． (2)在小岛B 周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)此时货轮到小岛B 的距离为80海里 (2)货轮向正东方向航行没有触礁危险，理由见解析 【分析】本题是方向角问题在实际生活中的运用，同时考查了等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，解题的关键是构造出直角三角形． （1）先根据题意求出，据此得，从而得出，从而可得答案； （2）作于点D，由，可得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注字母， 由题意知： ，， ∴， ∴， ∴海里， 即此时货轮到小岛B的距离为80海里； （2）解：如图，作于点D， 在中， ∵ ， ， ∵， ∴货轮向正东方向航行没有触礁危险． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，底角的度数为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据等边对等角，得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如果等腰三角形的两边长是3和6，则第三边长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题关键是分类进行讨论，避免遗漏．分等腰三角形的腰为3和等腰三角形的腰为6两种情况，结合三角形三边关系分别讨论，即可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6， 因为，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6， 三边关系成立． 综上所述，第三边长是6． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图①是两位同学玩跷跷板的场景，如图②跷跷板示意图，支柱与地面垂直，点是的中点，绕着点上下转动．若端落地时，，则跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据，易得，根据三角形的外角的性质，即可得解． 【详解】解：是的中点， ， 由题意，可得：， ∴， ， ； 跷跷板上下可转动的最大角度（即）是； 故选：C． 5.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，D、E分别为上的点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，三角形的外角定理．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．可以设，，根据，，即可列出方程，从而求解． 【详解】解：∵ ∴， 设，， ∴， 又， ， 则， 又， ， 解得， 的度数是． 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解． 【详解】解：∵、的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，于D，则的长为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵于D， ∴． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ． 【答案】39 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，需要注意要分情况讨论． 根据邻补角的和等于求出与角相邻的三角形的内角的度数，再分这个内角是顶角和底角两种情况讨论求解． 【详解】∵等腰三角形的一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， （1）角是顶角时，它的底角是； （2）角是底角时，不成立， ∴其底角为． 故答案为：39 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质以及三角形的角平分线等知识．根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为4． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，先根据三角形外角性质，得出，则设，进而得到，，，最后根据为等腰三角形，进行分类讨论即可． 【详解】解：如图所示，，， ∴， ， ， 设，则，， 根据三角形内角和定理可得，， 分三种情况： ①当时，有， 解得； 则 ②当时，有， 解得； 则 ③当时，有，方程无解， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)27 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是等腰三角形是解题关键． （1）结合角平分线的定义和平行线的性质证明均为等腰三角形，即有，，即可证明结论； （2）结合，，可得的周长，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，即； （2）解：由（1）可知，，， ∵，， ∴的周长． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．求： (1)边上的中线的长． (2)的面积． 【答案】(1)8 (2)120 【分析】本题主要考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一定理可得，，根据直角三角形勾股定理得 ；　 （2）根据三角形的面积公式得． 【详解】（1）解：在中，，是的中线， ∴， ， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴． ∴救援队先到． 13．（24-25九年级上·北京平谷·期中）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．求飞船从B处到C处的距离． 【答案】 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，由勾股定理得，，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴飞船从B处到C处的距离为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等腰三角形的性质和判定 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【题型3判断等腰三角形的个数】 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【题型5等腰三角形的判定】 【题型6等腰三角形的判定与性质】 考点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）两边长3和7的等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．12 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】（23-24八年级上·天津河西·期末）一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）若一个等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 考点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型3判断等腰三角形的个数】 【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点D是上一点，且，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，则图中的等腰三角形的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）根据图中所示的角度，找出等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一点，，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例4】（21-22八年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且∠ABO=60°，若P为坐标轴上的一点，则使△APB为等腰三角形的点P有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，A、B是网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（     ）    A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 【题型5等腰三角形的判定】 【典例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知点D、E在上，且，，试说明是等腰三角形的理由． 【变式5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，，是的角平分线，，交于点E．请判断与的大小关系，并说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【典例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式6-1】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，过的延长线上一点M，作，垂足为N，交边于点D． (1)求证：是等腰三角形． (2)若为边的中点，求的长． 【变式6-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【题型7 等腰三角形的实际应用】 【典例7】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【变式7-1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，求河宽的长度． (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． (1)如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边  B．等边对等角   C．等腰三角形“三线合一” (3)如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，已知港口A的南偏东方向上有一座小岛B ， 一艘货轮从港口A沿南偏东方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东方向． (1)求此时货轮到小岛B 的距离． (2)在小岛B 周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如果等腰三角形的两边长是3和6，则第三边长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．无法确定 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图①是两位同学玩跷跷板的场景，如图②跷跷板示意图，支柱与地面垂直，点是的中点，绕着点上下转动．若端落地时，，则跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，D、E分别为上的点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，于D，则的长为 ．    8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．求： (1)边上的中线的长． (2)的面积． 13．（24-25九年级上·北京平谷·期中）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．求飞船从B处到C处的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$