第06讲 投影（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第06讲 投影（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 题型强化 题型一、平行投影 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行投影 【分析】本题考查影子中的平行线成比例，太阳光线是平行的,同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的,影子的方向也应相同． 【详解】A、影子的方向不相同，v故本选项不符合题意； B、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子,故本选项符合题意； C、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意； D、影子的方向不相同，故本选项不符合题意 故选B 2．（2023·浙江台州·一模）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 【答案】 【知识点】平行投影 【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解． 3．（2023·浙江台州·二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．    (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． (3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用、求角的正切值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得时，，再利用正切函数即可求解； （3）先求得时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，代入函数解析式得， 把，代入函数解析式得， 即， 解得． （2）解：由（1）得函数解析式为， 把代入得， 则． （3）解：∵， ∴当时，y取得最小值，， 当时，y取得最大值，，    ∵旗杆与直杆的长度比为， ∴， ∴m的取值范围为， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键． 题型二、中心投影 4．（2022·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】D 【知识点】坐标与图形、中心投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，证明，然后利用相似比即可求解． 【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明是解题的关键． 5．（21-22九年级·期末）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【知识点】中心投影 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案是中心投影． 【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 6．（20-21九年级·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△EAB∽△ECD， ∴， ∴AB(米)． 答：树高AB为米． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型三、正投影 7．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正投影 【分析】根据题意知三棱柱后侧面平行于投影面，再从前向后对几何体正投影可得答案． 【详解】解：根据题意，三棱柱后侧面与投影面平行， 则该三棱柱的正投影即主视图是： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正投影，判断正投影的投影面和几何体的摆放位置是关键． 8． 一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正投影 【分析】本题考查正投影的定义和性质，解题的关键是熟练掌握正投影的定义和性质根据正投影的定义和性质解答即可 【详解】解：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 当木棒与光线不平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 故答案为: 9．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【知识点】正投影、用勾股定理解三角形 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 题型四、视点、视角和盲区 10．（九年级下·全国·单元测试）如图，从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】分别画出从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看的最大范围，依此即可作答． 【详解】由图可知: 从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是: ． 故选A．    【点睛】本题考查考查了视点、视角和盲区掌握相关概念是解题的关键． 11．（九年级·全国·单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 【答案】①②③ 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可 【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③. 【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键. 12．（九年级下·全国·单元测试）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米． （1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点． （2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1） 【答案】（1）汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）他向前行驶了18.3米． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、视点、视角和盲区 【分析】1）连接FC并延长到BA上一点E，即为所求答案； （2）利用解Rt△AEC求AE，解Rt△ACM，求AM，利用ME=AM-AE求出他行驶的距离． 【详解】解：（1）如图所示： 汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B； （2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米， ∴AC＝25， tan30°＝＝， ∴AM＝25 ， ∵∠AEC＝45°， ∴AE＝AC＝25m， ∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m． 则他向前行驶了18.3米． 【点睛】本题考查解直角三角形的基本方法，先分别在两个直角三角形中求相关的线段，再求差是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为（　　） A．9.8米 B．9.2米 C．8.2米 D．2.3米 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：设树的高度是 米， ，解得 . 故答案为：B. 【分析】设树高为x米，根据身高比影长的比值是定值，列式求出结果即可. 2．某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（　　） A．9米 B．12米 C．15米 D．18米 【知识点】相似三角形的应用；平行投影；同位角的概念 3．房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：由题意得在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形，不可能是圆、椭圆和三角形， 故答案为：D 【分析】根据平行投影的定义（由平行光线形成的投影是平行投影）结合题意即可求解。 4．正午时分，水平放置的正方形在地面上的投影是（　　） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．菱形 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：∵正午时分，水平放置的正方形在地面上的投影是正投影， ∴形成的投影是正方形． 故选：A． 【分析】根据正午时分，水平放置的正方形在地面上的投影是正投影，即可得出答案． 5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在从A处走向B处的过程中，他在地上的影子（　　） A．逐渐变短 B．先变短后再变长 C．逐渐变长 D．先变长后再变短 【知识点】中心投影 【解析】【解答】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他在地上的影子先变短后变长． 故选B． 【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可． 6．在阳光的照射下，一个矩形框的影子的形状不可能是（　　） A．线段 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【知识点】平行投影 【解析】【解答】矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段， 即相对的边平行或重合， 故C不可能，即不会是等腰梯形． 故选：C． 【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析． 7．下列光线所形成投影是平行投影的是（　　） A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线 【知识点】平行投影 【解析】【解答】四个选项中只有太阳光是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影. 故答案选A. 【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影. 8．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（　　） A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 【知识点】相似三角形的性质；中心投影 【解析】【解答】解：设投影三角尺的对应边长为 ， 三角尺与投影三角尺相似， ， 解得 ． 故答案为：A． 【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似，再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影三角尺的对应边的长。 9．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 【知识点】中心投影 【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H， 则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH， ∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP， ∴， 即， 解得：BC=1.2，DE=2.4， ∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m）， 即此时小明影子的长度缩短了1.2m. 故答案为：D． 【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。 10．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顾序排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④① 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：太阳从东方升起，正午在南方，傍晚自西方落下 ∴影子的朝向升起时朝西，上午时朝西北，正午朝北，下午朝东北，傍晚朝东 故答案为：C 【分析】根据太阳的方向判断影子的方向即可，太阳与影子的方向相反。 二、填空题 11．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于　 　投影． 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：因为太阳光属于平行光线，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 【分析】根据太阳光是平行光线，可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 12．小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为　 　． 【知识点】相似三角形的应用；平行投影 13．如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是　 　投影．（填“平行投影”或“中心投影”） 【知识点】平行投影；中心投影 14．某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度（如图），在同一时刻，测得树的影长为4.8米，小明的影长为1.2米，已知小明的身高为1.5米，则树高为　 　 米． 【知识点】相似三角形的应用；平行投影 【解析】【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设树高为x米， 则可列比例为= 解得x=6． 即树高为6米． 故答案为6． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 15．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面　 　 ，这种投影称为正投影． 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影， 故答案为：垂直． 【分析】根据正投影定义解答． 16．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是　 　米． 【知识点】平行投影 【解析】【解答】解：根据题意知，小红的身高为175-7=168（厘米）， 设小红的影长为x厘米,则 解得：x=192， ∴小红的影长为1.92米， 故答案为：1.92． 【分析】根据平行投影的性质，小明的身高与影长的比等于小红的身高与影长的比，从而列出方程，求解即可。 三、解答题 17．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，过D作即可完成作图； （2）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 18．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置； (2)估计灯泡的高，并求出影长的步数． 【答案】(1)答案见详解； (2)路灯的高为9米，影长为步． 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质， （1）如图所示，延长交路灯灯柱于点O，再连接并延长交延长线于点Q即可； （2）先证明，利用相似三角形对应边成比例可求出，同理证，利用相似三角形对应边成比例求出． 熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求； （2）解：根据题意知：，步，步，， ， ， ，即， 解得； ， ， 即， 解得； 答：估计路灯的高为9米，影长为步． 19．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长． 【答案】9 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、坐标与图形 【分析】利用平行投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】连接、并延长分别交轴于点、， 线段就是木杆在轴上的投影． 过点作轴，垂足为，交于点， 点，，， ∴ ∴ ∵， ，， ∴， ，即， ∴． 故木杆在轴上的投影长为9． 【点睛】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法． 20．问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．    任务要求： (1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图2，设太阳光线与相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长．）（参考数据：） 【答案】(1)12m (2)12cm 【知识点】相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用）、平行投影 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数解答即可； （2）先求解直角三角形的三边，进而可得的长，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：在中，cm， ∴， ∴学校旗杆的高度约为12m； （2）连接， 由题意得：． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设景观灯灯罩的半径为rcm， ∵太阳光线与相切于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴景观灯灯罩的半径为12cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、平行投影以及相似三角形的实际应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳光明媚的周末，某一时刻亭子顶端的影子位于点处，亮亮站在点处，测得他的影长为米，同时他的同伴在点处测得亭子顶端的仰角为．已知亮亮的身高米，米，且点、、、在同一条水平直线上，求亭子的高．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】亭子的高约为12米． 【知识点】平行投影、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，平行投影；在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用同一时刻物高与影长成正比可得，代入数据进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵米， ∴米， 又∵， ∴， 解得：， 答：亭子的高约为12米． 22．某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根米高的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角，已知丙同学的眼睛到地面的距离米，点B、C、D、E在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内． (1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹） (2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度． 【参考数据：，，】 【答案】(1)见解析 (2)10米 【知识点】平行投影、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键： （1）根据平行投影即可作图； （2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：延长交于H，则，米， 由题意，知， ∴， ∴， ∴，即， 设米，则米， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， 即古树的高度为10米． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 【答案】(1)， (2)详见解析 (3)详见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，而， ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 24．坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 【答案】(1)5.50 (2)春秋大鼎的高度约为 (3)见解析 【知识点】平行投影、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了平行投影，解直角三角形的实际应用，正确理解图形，正确掌握各三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论； （2）延长，交于点P．在和利用三角函数的定义计算即可求解； （3）合理即可． 【详解】（1）解：设春秋大鼎的高度为，由题意得， 解得 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于点P． ∵，，， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，． 设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：春秋大鼎的高度约为； （3）解：在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差．（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 投影（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 题型强化 题型一、平行投影 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·一模）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 3．（2023·浙江台州·二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．    (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． (3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围． 题型二、中心投影 4．（2022·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 5．（21-22九年级·期末）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”） 6．（20-21九年级·浙江杭州·期末）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌已知路灯的高度米，测得树影米，树与路灯的水平距离米，则树高AB为多少？ 题型三、正投影 7．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（　　）    A．   B．   C．   D．   8． 一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 9．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 题型四、视点、视角和盲区 10．（九年级下·全国·单元测试）如图，从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（　　）    A． B． C． D． 11．（九年级·全国·单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 12．（九年级下·全国·单元测试）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米． （1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点． （2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1） 分层练习 一、单选题 1．在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为（　　） A．9.8米 B．9.2米 C．8.2米 D．2.3米 2．某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（　　） A．9米 B．12米 C．15米 D．18米 3．房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 4．正午时分，水平放置的正方形在地面上的投影是（　　） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．菱形 5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在从A处走向B处的过程中，他在地上的影子（　　） A．逐渐变短 B．先变短后再变长 C．逐渐变长 D．先变长后再变短 6．在阳光的照射下，一个矩形框的影子的形状不可能是（　　） A．线段 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 7．下列光线所形成投影是平行投影的是（　　） A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线 8．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（　　） A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 9．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 10．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顾序排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④① 二、填空题 11．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于　 　投影． 12．小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为　 　． 13．如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是　 　投影．（填“平行投影”或“中心投影”） 14．某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度（如图），在同一时刻，测得树的影长为4.8米，小明的影长为1.2米，已知小明的身高为1.5米，则树高为　 　 米． 15．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面　 　 ，这种投影称为正投影． 16．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是　 　米． 三、解答题 17．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 18．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置； (2)估计灯泡的高，并求出影长的步数． 19．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长． 20．问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．    任务要求： (1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图2，设太阳光线与相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长．）（参考数据：） 21．如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳光明媚的周末，某一时刻亭子顶端的影子位于点处，亮亮站在点处，测得他的影长为米，同时他的同伴在点处测得亭子顶端的仰角为．已知亮亮的身高米，米，且点、、、在同一条水平直线上，求亭子的高．（结果保留整数）（参考数据：） 22．某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根米高的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角，已知丙同学的眼睛到地面的距离米，点B、C、D、E在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内． (1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹） (2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度． 【参考数据：，，】 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 24．坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$