第06讲 图形的位似与用相似三角形解决问题（5个知识点+5种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06讲 图形的位似与用相似三角形解决问题（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点3．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点4．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 知识点5．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2023•南京模拟）如图，△是由经过轴对称得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是　　 A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 2．（连云港校级模拟）如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种变换中一种变换得到的，请指出这五个图形中是由旋转变换得到的有　　（填空序号） 3．（苏州模拟）如图，有三个菱形位于同一个平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）这三个菱形的对称中心坐标分别为：①　　、②　　、③　　，而面积都等于　　． （2）菱形②可以看作是由菱形①如何旋转得到的？答：　　． （3）菱形③与菱形②可看作是关于直线对称的，则直线所对应的函数关系式是　　． （4）从菱形①变换到菱形③，可以满足什么几何变换？请你设计两种不同的变换方法． 题型二．相似三角形的应用 4．（2024•南通二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的，“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高是　　 A． B． C． D． 5．（2024•常州模拟）小丽同学想利用树影测量校园内的树高，她在某一时刻测得小树高为时，其影长为，此时她测量教学楼旁的一棵大树影长为，那么这棵大树高约 　　． 6．（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 题型三．位似变换 7．（2024•淮阴区一模）如图，和△是以点为位似中心的位似图形．若，则与△的面积之比为　　 A． B． C． D． 8．（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　． 9．（南京）我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大． （1）选择：如图1，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则△与是位似三角形．此时，△与的位似比、位似中心分别为　　； （A）2、点，（B）、点， 、点，（D）、点； （2）如图2，用下面的方法可以画的内接等边三角形．阅读后证明相应问题． 画法： ①在内画等边三角形，使点在上，点在上； ②连接并延长，交于点，过点作，交于点，作，交于点； ③连接，则△是的内接三角形． 求证：△是等边三角形． 题型四．作图-位似变换 10．（淮阴区校级模拟）如图，与△是位似图形，且位似比是，若，则　　，请在图中画出位似中心． 11．（2024•睢宁县校级模拟）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图2中画，使得它与的面积相等，且，在格点上． 题型五．相似形综合题 12．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的内心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形中，，．点在上运动（点不与点、重合）将△沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处（包括矩形边界），则的取值范围是 　　，连接并延长交矩形的边于点，当时，的长是 　　． 14．（2024•沭阳县一模）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在△中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求值． 小明发现，过点作的平行线或过作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在△中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为 　　． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，若△的面积为2，则△的面积为 　　． 分层练习 一、单选题 1．已知△ABC∽△DEF，AB的对应边是DE，且AB=4，DE=2，则△DEF的面积与△ABC的面积之比（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 2．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，与是位似图形，是位似中心，点A、、的对应点分别为、、，若与的面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，与位似，点O为位似中心，若，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 5．全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤．下图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换过程是（    ）    A．折叠 B．位似 C．对称 D．平移 6．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 7．如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．图1是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2所示，则水面宽度（    ） A． B． C． D． 9．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(     ) A． B．（m，n） C． D． 10．如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．四边形ABCD与四边形位似，点O为位似中心．若，则 ． 12．在某一时刻，测得一根高为1.5 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为60 m，则这栋楼的高度为 m． 13．将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画 个，你的理由是 ． 14．如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做 图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ． 15．如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是 ．    16．高的旗杆在水平地面上的影子长，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是 ． 17．小刚在高米的塔上看远方，离塔米处有一高米的障碍物，小刚看不见离塔 米远的地方（小刚身高忽略不计）． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，以原点O为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点B的对应点的坐标为 ． 三、解答题 19．在同一时刻木竿米，它的影子米，木竿的影子有一部分落在地面，一部分落在墙上，米，米，求木竿的长度．    20．如图，是一张锐角三角形硬纸片，是边上的高，，．从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在，上．设与交于点M． (1)求证：； (2)求矩形的宽的长度． 21．安顺白塔又叫望城塔，位于安顺新大十字的西秀山上，始建于元泰定三年（1326年），是安顺三大元代建筑之一．小聪来游玩白塔后，很想知道白塔的高度，于是他用所学的知识进行测量求解，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，小聪站在距A点1米的点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向移动3.6米至点D处（即米），小聪站在距D点1.6米的点E处，佮好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出白塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）．    22．某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 23．教学楼旁边有一棵树，学习了相似三角形后，数学小组的同学想利用树影来测量树高．课外活动时，在阳光下他们测得一根长为的竹竿的影长是，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组的同学认为继续测量也可以测出树高，他们测得落在地面的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为，请你和他们一起算一下，树高为多少． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是，，． (1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的． (2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到，请在y轴的左侧画出． 25．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 26．如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）． （1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？ （2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长； （3）计算路灯的高度．   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（1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 知识点5．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2023•南京模拟）如图，△是由经过轴对称得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是　　 A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】利用平移，旋转，轴对称的性质等知识一一判断即可． 【解答】解：把沿着水平线平移，使点和点重合，再再作过点的垂线，然后作关于垂线的轴对称图形可得△，所以△可以看作是经过1次平移和1次轴对称得到； 作线段的垂直平分线，然后作关于这条垂直平分线的轴对称图形3次，可得△；所以△还可以看作是经过3次轴对称得到． 所以中所有正确结论的序号是②④． 故选：． 【点评】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（连云港校级模拟）如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种变换中一种变换得到的，请指出这五个图形中是由旋转变换得到的有　（2）（3）（5）　（填空序号） 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，对各图形分析后即可得出答案． 【解答】解：图（1）中，把图①先向右平移4个单位，再向上平移3个单位即可与图②重合，所以可以由平移变换得到； 图（2）中，可以找到一点，是图①绕这一点逆时针或顺时针旋转与图②重合，所以可以由旋转变换得到； 图（3）中，可以找到一点，是图①绕这一点逆时针或顺时针旋转与图②重合，所以可以由旋转变换得到； 图（4）中，可以找到一直线，使图①沿这一直线对折后于图②重合，所以可以由轴对称得到； 图（5）可以找到一点，是图①绕这一点逆时针或顺时针旋转与图②重合，所以可以由旋转变换得到． 这五个图形中是由旋转变换得到的有：（2）（3）（5）． 故答案为：（2）（3）（5）． 【点评】本题考查了几何变换中的平移变换，轴对称变换，旋转变换，仔细观察图形找到两图形能够重合的变换过程是解题的关键． 3．（苏州模拟）如图，有三个菱形位于同一个平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）这三个菱形的对称中心坐标分别为：①　　、②　　、③　　，而面积都等于　　． （2）菱形②可以看作是由菱形①如何旋转得到的？答：　　． （3）菱形③与菱形②可看作是关于直线对称的，则直线所对应的函数关系式是　　． （4）从菱形①变换到菱形③，可以满足什么几何变换？请你设计两种不同的变换方法． 【分析】（1）根据对称中心的概念即可找出答案，（2）根据旋转的特点即可得出答案，（3）根据对称特点及坐标即可得出解析式，（4）根据几何变换的特点即可得出答案． 【解答】解：（1）根据对称中心的概念可知①②③，， 故答案为①②③，， （2）根据旋转的特点可知：以坐标原点为旋转中心，按逆时针方向旋转， 故答案为以坐标原点为旋转中心，按逆时针方向旋转， （3）根据题意得解析式为， （4）平移变换：菱形①沿轴反方向（或从右往左）平移16各单位得到菱形③，旋转变换：菱形①以原点为旋转中心顺时针（或逆时针）旋转得到菱形③． 【点评】本题主要考查了对称中心的概念、旋转的特点、解析式的求法、几何变换特点，难度适中． 题型二．相似三角形的应用 4．（2024•南通二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的，“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高是　　 A． B． C． D． 【分析】证明，得，求出的长即可． 【解答】解：由题意可知，， ，， ， ， 即， 解得：， 即树高是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024•常州模拟）小丽同学想利用树影测量校园内的树高，她在某一时刻测得小树高为时，其影长为，此时她测量教学楼旁的一棵大树影长为，那么这棵大树高约 　6.25　． 【分析】设大树的高度约为 ，根据同时同地的物高与影长成正比列式比例式，计算即可得解． 【解答】解：设大树的高度约为 ， 由题意得，， 解得， 即这棵大树高约． 故答案为：6.25． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键． 6．（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 【分析】根据杠杆原理，列出不加物品时和最大称重时的方程组，从而求得的值，进一步得出结果． 【解答】解：由题意得， ， ， 设“”刻度线到秤纽的距离为厘米， ， ， 厘米， 答：“”刻度线到末刻度线的距离是40厘米． 【点评】本题考查了二元一次方程的组的解法等知识，解决问题的关键是理解题意，列出方程组． 题型三．位似变换 7．（2024•淮阴区一模）如图，和△是以点为位似中心的位似图形．若，则与△的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的概念得到△，，得到△，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：， ， 和△是以点为位似中心的位似图形， △，， △， ， 与△的面积之比为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8．（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　． 【分析】过点作轴于点，过点作于点．利用相似三角形的性质求出，可得结论． 【解答】解：过点作轴于点，过点作于点． 与是以点为位似中心的位似图形， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 9．（南京）我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大． （1）选择：如图1，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则△与是位似三角形．此时，△与的位似比、位似中心分别为　　； （A）2、点，（B）、点， 、点，（D）、点； （2）如图2，用下面的方法可以画的内接等边三角形．阅读后证明相应问题． 画法： ①在内画等边三角形，使点在上，点在上； ②连接并延长，交于点，过点作，交于点，作，交于点； ③连接，则△是的内接三角形． 求证：△是等边三角形． 【分析】（1）根据中位线定理可知，△，且相似比是，所以位似比是，位似中心为点； （2）根据作法可知：，，可证得△，△，根据相似可证的对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△，即可得结果． 【解答】（1）解：选择． △，且相似比是， 位似比是，位似中心为点． 故选； （2）证明：，， △，△ ，，， ， △ 是等边三角形， △是等边三角形． 【点评】此题考查了学生的应用能力，考查了相似三角形的判定与性质，考查了位似图形与相似图形的关系：位似是相似的特殊形式． 题型四．作图-位似变换 10．（淮阴区校级模拟）如图，与△是位似图形，且位似比是，若，则　4　，请在图中画出位似中心． 【分析】根据与△是位似图形，可知△，利用位似比是，即可求得． 【解答】解：与△是位似图形 △ 位似比是 ． 位似中心如图，点即为所求． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 11．（2024•睢宁县校级模拟）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图2中画，使得它与的面积相等，且，在格点上． 【分析】（1）连接、、，分别取它们的中点即可； （2）取的中点，把平移使点落在点，则点的对应点为点． 【解答】解：（1）如图1，△为所作； （2）如图2，平行四边形为所作． 【点评】本题考查了作图位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质． 题型五．相似形综合题 12．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的内心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据，是等腰直角三角形，可得，，所以，因为，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得，分别平分，，平分，得点是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段，，且点与点的运动时间相同，进而可以判断④． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确； ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，分别平分，， ， 平分， 点是角平分线的交点， 为的内心，故③正确； 如图，连接交于点， ， 当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， 点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹是线段， ，且点与点的运动时间相同， ， 点与点的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：． 【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点的运动轨迹． 13．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形中，，．点在上运动（点不与点、重合）将△沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处（包括矩形边界），则的取值范围是 　　，连接并延长交矩形的边于点，当时，的长是 　　． 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；根据折叠的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，设，，过作于，根据折叠的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：当落在上时，的长度达到最大， 四边形是矩形， ，，， △沿直线翻折， ，， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， 的取值范围是； 如图，将△沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处， ， ， ， ， ， △△， ， 设，， 过作于， 将△沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处， ，， ， ， ，， ， ， 为△的中位线， ， 在△中，， ， 解得，（不合题意舍去）， ． 故答案为：；． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．（2024•沭阳县一模）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在△中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求值． 小明发现，过点作的平行线或过作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在△中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为 　　． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，若△的面积为2，则△的面积为 　　． 【分析】（1）过点作交于，则，，而，所以，则，证出，可证明△△，得，可推导出，则可得出答案； （2）取的中点，连结，由，于点，得，则，，可证明△△，得出，求得，于是得到问题的答案； （3）作交于点，则，得出，由平行四边形的性质得，，则△△，得，再证明，则可得出答案． 【解答】解：（1）如图①，过点作交于，则，， 是的中点， ， ， ， ， 是的一个三等分点，且， ， ， △△， ， ， ， ， 的值为 （2）如图②，取的中点，连结，则， ，于点，，， ，， ，， ， △△， ， ， ， 故答案为：7． （3）如图③，作交于点， 点为的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， △△， ， ， ， ， ， △的面积为2， △的面积， 故答案为：10． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知△ABC∽△DEF，AB的对应边是DE，且AB=4，DE=2，则△DEF的面积与△ABC的面积之比（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【答案】B 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵△ABC∽△DEF，AB=4，DE=2，则对应边AB：DE=2：1， ∴△DEF的面积与△ABC的面积之比为：1：4． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 2．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【详解】解：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴△DEF与△ABC的位似比为1︰2， ∴其面积比是1︰4， 故选B． 3．如图，与是位似图形，是位似中心，点A、、的对应点分别为、、，若与的面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质得到，由与的面积之比为得到，即可得到． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 4．如图，与位似，点O为位似中心，若，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】由，得，再根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与的相似比是， ∴与的周长比为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 5．全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤．下图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换过程是（    ）    A．折叠 B．位似 C．对称 D．平移 【答案】B 【知识点】位似图形的识别、折叠问题、轴对称图形的识别、图形的平移 【分析】根据折叠、位似、对称、平移的相关概念进行判断即可． 【详解】解：开口向下的两个“E”方向相同、形状相似，但位置和大小不同， 而且每组对应点所在直线都经过同一个点，所以属于位似， 故选：B． 【点睛】本题考查位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是注意：平移、旋转、对称、折叠的图形都是全等形，而位似的图形不是全等形． 6．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、两角分别相等的两个三角形相似． 由镜面反射原理可知，可证明．可得，根据已知条件解决问题． 【详解】解：由题意可知， 又， ． ． ． ． (米) 故选：A． 7．如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，，再根据相似三角形的性质判断即可．掌握位似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，且相似比为， ∴，，，， ∴，， 则， ∴， 而， 故①④说法错误，②③说法正确； 故选：B． 8．图1是一个圆锥形容器示意图（数据如图），向其中注入一部分水后，如图2所示，则水面宽度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设水面宽度，得出，由三角形相似的性质可得，即可求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：设水面宽度， 如图， ， 由题意得：， ， ， 解得：， 水面宽度， 故选：C． 9．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(     ) A． B．（m，n） C． D． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标： 【详解】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上， 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1）， 所以：位似比为2：1， ∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：． 故选D． 10．如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标、点坐标规律探索 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 二、填空题 11．四边形ABCD与四边形位似，点O为位似中心．若，则 ． 【答案】1∶3 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】根据四边形ABCD与四边形位似，，可知位似比为1：3，即可得相似比为1：3，即可得答案. 【详解】∵四边形与四边形位似，点为位似中心． ， ∴四边形与四边形的位似比是1∶3， ∴四边形与四边形的相似比是1∶3， ∴AB∶OA∶OA′=1∶3， 故答案为1∶3. 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 12．在某一时刻，测得一根高为1.5 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为60 m，则这栋楼的高度为 m． 【答案】30 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为hm， ∵在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m， ∴＝， 解得h＝30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 13．将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画 个，你的理由是 ． 【答案】 无数 多边形的形状发生了变化 【知识点】相似多边形的性质、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【详解】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的，只是周长缩小为原来的，根据相似多边形的定义，可知多边形的形状会发生变化，故这样的多边形可以画无数个． 解：将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画无数个，理由是：将一个多边形缩小为原来的时，只是周长缩小为原来的，对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，即多边形的形状发生了变化，故这样的多边形可以画无数个． 考点：相似图形． 点评：本题主要考查了相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个多边形是相似多边形．即形状相同，大小不一定相同的多边形叫做相似多边形． 14．如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做 图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ． 【答案】 位似, 位似中心, 位似比 【分析】根据位似图形的定义进行回答即可. 【详解】根据位似图形的定义：两个多边形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比叫做位似比. 故答案为（1）位似（2）位似中心（3）位似比 【点睛】本题考查位似图形的定义，熟练掌握位似图形的定义是解题关键. 15．如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是 ．    【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 16．高的旗杆在水平地面上的影子长，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是 ． 【答案】米 【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可 【详解】设建筑物的高为h米， 则= ， 解得：h=24． 故答案为24米． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 17．小刚在高米的塔上看远方，离塔米处有一高米的障碍物，小刚看不见离塔 米远的地方（小刚身高忽略不计）． 【答案】 【详解】解：如图，高塔AB高18米，障碍物CD高12米，障碍物和高塔的距离为BD即5米．易知△EDC∽△EBA，∴，即，解得：ED=10（米）； 因此EB=ED+DB=15（米）； 根据盲区的定义知：小刚看到离高塔5米～15米的地方． 故答案为5～15． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，以原点O为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形对应点坐标与位似比之间的关系进行求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为，以原点O为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大， ∴点B的对应点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 三、解答题 19．在同一时刻木竿米，它的影子米，木竿的影子有一部分落在地面，一部分落在墙上，米，米，求木竿的长度．    【答案】木竿的长度为米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解题的关键．过点作于，则四边形为矩形，根据矩形的性质得出米，米，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点作于，    则四边形为矩形， 米，米， ， 即， 解得：（米）， （米） 答：木竿的长度为米． 20．如图，是一张锐角三角形硬纸片，是边上的高，，．从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在，上．设与交于点M． (1)求证：； (2)求矩形的宽的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长． （1）由矩形的性质得，则可判断，然后根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）设，，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 而， ， ， ； （2）解：由题意可设，， ∵，， ∴， 由（1）可得， 解得， ． 21．安顺白塔又叫望城塔，位于安顺新大十字的西秀山上，始建于元泰定三年（1326年），是安顺三大元代建筑之一．小聪来游玩白塔后，很想知道白塔的高度，于是他用所学的知识进行测量求解，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，小聪站在距A点1米的点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向移动3.6米至点D处（即米），小聪站在距D点1.6米的点E处，佮好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出白塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）．    【答案】白塔的高度为米． 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据题意证明出和，然后利用相似三角形的性质得到和，联立求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴，即①； ∵， ∴， ∴＝，即②， 联立①②得：， 解得， ∴， 解得， 答：白塔的高度为米． 22．某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 23．教学楼旁边有一棵树，学习了相似三角形后，数学小组的同学想利用树影来测量树高．课外活动时，在阳光下他们测得一根长为的竹竿的影长是，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组的同学认为继续测量也可以测出树高，他们测得落在地面的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为，请你和他们一起算一下，树高为多少． 【答案】4.2米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，能够画出示意图找到相似三角形是解题关键． 先画出示意图，延长、相交于点．根据与，列出比例式求解即可． 【详解】如图，画出示意图． 延长、相交于点． 由题意，得， ∴，即， ∴， ∴． 又∵． ∴， ， ∴，即树高为． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是，，． (1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的． (2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到，请在y轴的左侧画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，正确得出对应点是解题的关键． 25．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 【答案】大树的高度为8.6米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】如图，作于H，交于G，则，；然后再证明，运用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】如图，作于H，交于G，则，， ∵， ∴， ∴=，即=， ∴ ， ∴（m）． 答：大树的高度为8.6米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 26．如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）． （1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？ （2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长； （3）计算路灯的高度．    【答案】（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子；（2）王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m；（3）路灯A的高度为12m 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】（1）影长为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）易得Rt△CEP∽Rt△CBD，利用对应边成比例可得QD长； （3）易得Rt△DFQ∽Rt△DAC，利用对应边成比例可得AC长，也就是路灯A的高度． 【详解】解：（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子． （2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD， ∴， 解得：QD=1.5m． 所以王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m （3）由题意得Rt△QDF∽Rt△CDA， ∴， ∴， 解得：AC=12m． 所以路灯A的高度为12m. 【点睛】本题考查了中心投影及相似的判定和性质，利用两三角形相似，对应边成比例来求线段的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$