第06讲 正多边形与圆（1个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 正多边形与圆（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2022•黄浦区校级二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正多边形与圆的中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，设圆内接正九边形的一条边为，连接、， ， 过点作，交于点，则，， 在中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，掌握正多边形的中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 2．（2024•闵行区三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　，　 【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为，连接． 点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形， ，， ， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（嘉定区二模）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径； （2）作半径的垂直平分线，交于，两点； （3）连接、、，那么为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出，然后给出是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 【分析】利用锐角三角函数关系得出，进而得出，再利用圆心角定理得出答案． 【解答】解：两位同学的方法正确． 连、， 垂直平分， 直角中．， ，由垂径定理得， 由于为直径，， ， 即为等边三角形． 【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出是解题关键． 题型二、求正多边形的中心角 4．（九年级·上海金山·期末）下列正多边形中，中心角等于内角的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题、求正多边形的中心角 【分析】正边形的内角和为，则它的内角等于，边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】∵正边形的内角和为， ∴它的内角等于，中心角等于， ∵中心角等于内角， ∴=， 解得：，即这个多边形是正四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和，熟知多边形内角和为，正边形的中心角等于是解题关键． 5．（2024·上海·模拟预测）正二十边形中心角的正弦值为 【答案】/0.5 【知识点】特殊三角形的三角函数、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：正二十边形中心角为， 正二十边形中心角的正弦值为， 故答案为：． 6．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①；②理由见解析，双同正多边形的边数为 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、相似三角形的判定与性质综合、求正多边形的中心角、根据旋转的性质求解 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 题型三、正多边形和圆的综合 7．（2022·上海黄浦·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形 B．正六边形的每一个外角都等于中心角 C．正六边形每条对角线都相等 D．正六边形的边心距等于边长的一半 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、判断命题真假 【分析】根据正六边形的性质判定即可． 【详解】解：A、正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形，假命题，故此选项不符合题意； B、正六边形的每一个外角都等于中心角，真命题，故此选项符合题意； C、正六边形每条对角线都相等，假命题，故此选项不符合题意； D、正六边形的边心距等于边长的一半，假命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查判定命题真假，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 8．（2024·上海·模拟预测）在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正六边形的性质可得边长为，为较短对角线，，，所以可得，，再根据勾股定理即可求出的长，进而求出较短对角线的长． 【详解】解：如图， 六边形是正六边形，连接，作于点， 根据题意可知：为较短对角线， ∵六边形是正六边形，最长对角线长为4， ∴外接圆的直径为4，半径为2， ∴正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 9．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图①，连接，由正六边形，可得，，证明是等边三角形，则，，，由Q为弧的中点，可得，，则，由圆周角定理可得，，如图①，作的延长线于，则，，设，则，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，根据，计算求解即可； （2）如图②，在上取点，使，连接，证明是等边三角形，则，，，，证明，则，即，可求，由点G不与点C、D重合，可得； （3）由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；①点在边上时，如图③，由题意知，，当与相似，分，两种情况求解；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，联立，计算求出满足要求的解即可；②当点在边的延长线上，如图④，同理（3）①，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接， ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵Q为弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 如图①，作的延长线于， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的正弦值为； （2）解：如图②，在上取点，使，连接， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵点G不与点C、D重合， ∴， ∴，； （3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解； ①点在边上时，如图③， 由题意知，， ∴当与相似，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，或均不符合要求，舍去； ②当点在边的延长线上，如图④， 当时，，即， 解得，， 同理，解得，或，均不符合要求，舍去； 当时，，即， 解得，， 同理，解得，（不符合要求，舍去）或， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形内角和，垂径定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正弦，相似三角形的判定与性质，并分情况求解是解题的关键． 题型四、求弧长 10．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（　　）cm． A．π B．12π C．15π D．36π 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】根据AB＝32cm，BD＝14cm，可以得到AD的长，然后根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到的长． 【详解】解：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°， ∴AD＝AB﹣BD＝18cm， ∴的长为：＝15π（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键． 11．（21-22九年级下·上海·期中）在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了圆的周长以及线段的比．解题的关键是弄懂的长就是的周长．由题意可知：的长就是的周长，列式即可得出结论． 【详解】解：∵以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合， ∴的长就是的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024·上海·三模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆和等边组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接， ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号） ②当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2-图3）过程中，点在上移动的距离． 【答案】(1) (2)①，；② 【知识点】求弧长、含30度角的直角三角形、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图1：连接，，先根据等边三角形及勾股定理求得，，，三点共线，，之间的距离为，最后根据线段的和差即可解答； （2）①如图2：延长交于，过点C作，，先说明、可得，进而得到；再说明，最后根据角的和差即可解答；解可得，故，点C到桌面的距离为②根据①可得，进而从滚动到过程中经过的圆心角为，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接，， 等边， ， ， 半圆与相切于点，半圆的中点为点， ∴，， ， ∴， ，重合，， ∴ ，，三点共线，，之间的距离为， 故答案为：； （2）解：①如图2：延长交于，过点C作，， 等边， ， ，， ， ， 半圆的中点为点，为半径， ， ； ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴点C到桌面的距离为； ②如图：当时， 由①可得， ， 从滚动到过程中经过的圆心角为， 点在上移动的距离等于． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 题型五、求扇形面积 13．（上海虹口·期末）扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（    ） A．不变 B．面积扩大为原来的3倍 C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的 【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案． 【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n， ∴原来扇形的面积为， ∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的， ∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为， ∴变化后的扇形的面积为， ∴扇形的面积不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键． 14．（2024·上海·模拟预测）如图，已知等腰直角中，，D是斜边的中点且，以B为圆心，为半径画弧，交于F，以C为圆心，为半径画弧，分别交，于E，G，则阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【知识点】求扇形面积、斜边的中线等于斜边的一半、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积减去扇形的面积和右上角空白部分的面积，由题目中的数据可以求出各部分的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：等腰直角中，，D是斜边的中点且， ∴， ， ∴， ∴阴影部分的面积是：， 故阴影部分的面积是4． 故答案为：4 15．（2023·上海黄浦·二模）已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】（1）连接，则，由线段垂直平分线性质得．进而由勾股定理得，再由垂径定理即可求解； （2）连接，，先证是等边三角形，再证，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，则， ∵弦垂直平分， ∴． 在中， ∵半径垂直， ∴ ∴； （2）解：在中，， ∴． 连接，， ∵， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，． ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键是由条件推出阴影的面积=扇形的面积． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置，则边BA扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AB，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2. ∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置， ∴边BA扫过的面积是：. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，掌握扇形面积公式是解题的关键． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、圆周角定理 【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可． 【详解】∵AQ⊥BQ， ∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴CO＝OA＝1， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴的长为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键． 4．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，进一步求得旋转角为，由即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， 绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处， ， ， ， 即， ， ，即旋转角为， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键． 5．要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的关键．根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是， ∵每个喷水龙头喷洒的面积是， 则． 故选：B． 6．如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO=60°，若点B的坐标为（0，3），则弧OA的长为（　　）      A．2π B．3π C．π D．2π 【答案】A 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】作辅助线，先根据圆周角定理可知：AB为⊙P的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：根据弧长公式可得结论． 【详解】解： 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键． 二、填空题 7．如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长公式 即可求解． 【详解】解：由题意得， ，故 ∴传送带上的物体平移的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式的运用，理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过角的扇形的弧长是解题的关键． 8．如图，在ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2，ABC绕点A逆时针旋转至AED，连接CD，AE垂直平分CD于点F，则点C在旋转过程中经过的路径长是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、求某点的弧形运动路径长度、线段垂直平分线的性质 【分析】首先根据旋转的性质得到，然后根据AE垂直平分CD得出，进而求出的度数，然后根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ABC绕点A逆时针旋转至AED， ∴， ∵AE垂直平分CD， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，点C在旋转过程中经过的路径是以点A为圆心，AC为半径的圆弧CD， ∴， ∴点C在旋转过程中经过的路径长是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，扇形的弧长公式，解题的关键是根据旋转的性质得出以及熟练掌握扇形的弧长公式． 9．如图，在扇形中，，、分别是半径、上的点，以、为邻边的▱的顶点在上若，，则阴影部分图形的面积是 结果保留． 【答案】/ 【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据勾股定理可以求得的长，然后由图可知，阴影部分的面积扇形的面积-矩形的面积，代入数据计算即可解答本题． 【详解】解：连接， ，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ， 又， ， ∴ ∴阴影部分图形的面积是： 故答案为： 【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图，是半圆的直径，，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．记与半圆交于点，连接，作于点，先证明是等腰直角三角形，再求出，根据三角形面积公式算出，再根据圆周角定理和扇形面积公式算出，即可解题． 【详解】解：记与半圆交于点，连接，作于点， 由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，， 图中阴影部分的面积， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 (结果保留π). 【答案】12﹣π 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积. 【详解】解：在矩形中，， 故答案为：. 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键． 12．如图，将等边三角形沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与AC相交于点O，以O为圆心，长为半径作．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、求扇形面积、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平移的性质，扇形的面积计算，连接，过O点分别作与点D，设与交与点E，连接．利用等边三角形的性质先证明和是等边三角形，然后根据计算即可． 【详解】解：连接，过O点分别作与点D，设与交与点E，连接． 如下图： ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵等边三角形沿方向平移得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵是以O为圆心，长为半径， ∴， 又， ∴是等边三角形，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是 ；秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索 【分析】设第n秒时P的位置为Pn， P5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x轴，P4n(4n，0)，由2019=504×4+3，回到在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB，此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求． 【详解】设n秒时P的位置为Pn，过P5作P5A⊥x轴于A， OP4=OP2+P2P4=4，P4（4，0），当t=5时，由扇形知P4P5=2，OP4=4，在Rt△P4P5A中，∠P5P4A=60º，则∠P4P5A=90º-∠P5P4A=60º =30º，P4A=P4P5=1， 由勾股定理得PA=，OA=OP4+AP4=5，由点P在第一象限，P（5，）， 通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，由P3在第四象限，则P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB=4×504+3=2019，P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，此时P2019坐标为（2019，- ），秒时，点的坐标是（2019，- ）． 故答案为：（5，），（2019，- ）． 【点睛】本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x轴上，由此发现规律便可解决问题． 14．如图，在中，，，，以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，以B为圆心，长为半径画弧，交于点D．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形与扇形的面积之和与的面积之差． 【详解】解：中，，，， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查的是阴影部分面积的求解，勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，扇形面积与弓形面积的理解，正多边形与圆，掌握以上知识是解题的关键．如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，再由勾股定理可得：，从而可得答案． 【详解】解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积， 小圆的半径为2， ， ， ， ； 故答案为： 16．如图，是的直径，，是的弦，连接．若．则的长为 （结果保留π）． 【答案】 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握相关的定理和公式是解答本题的关键．根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴可设，则， 是直径， ∴， ， 解得：， ， 的长， 故答案为：． 17．如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求扇形面积、根据旋转的性质求解 【分析】连接，由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积，即得扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，又由可得是等边三角形，得到，利用扇形面积公式求出扇形的面积，过点作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求出等边三角形的面积，进而即可求解． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积， ∴扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积， 过点作于，则， ∴， ∴等边三角形的面积， ∴扇形空白部分的面积扇形的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18．如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线…是由多段的 圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点循环，则弧的长是 （结果保留）    【答案】 【知识点】图形类规律探索、求弧长 【分析】先分别求出弧、弧、弧的半径，再归纳类推出一般规律，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：弧的半径， 弧的半径， 弧的半径， 归纳类推得：弧的半径（为正整数）， 则弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，正确规律类推出一般规律是解题关键． 三、解答题 19．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)在图①中，画一个菱形； (2)在图②中，画出正五边形的中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】无刻度直尺作图、正多边形和圆的综合、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接，交于点，则：四边形即为所求； （2）作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点O即为所求． 【详解】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，点即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，在中，直径，弦，，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查扇形的面积，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握平行线间距离处处相等及扇形的面积公式．连接、，由知，从而可得，根据，知、，利用扇形的面积公式即可得． 【详解】解：连接、， ， ， 则， ，直径， ，， ， ， 则． 21．如图，在中，弦弦，于点，且，，连结，，． 求证：． 若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；（2）． 【知识点】求弧长、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）由，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，即，那么，根据圆周角定理得到，利用等角对等边得出； （2）先求出，再根据圆周角定理得出.又，代入弧长公式计算即可求解. 【详解】证明：∵， ∴，即， ∴， ∵、所对的圆周角分别为，， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，证明出是解题的关键. 22．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将△ABC绕点O旋转90°，得到△A1B1C1； (2)求点B旋转到点B1的路径长(结果保留π)． 【答案】(1)见解析；(2) 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度 【分析】(1)依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△A1B1C1； (2)利用扇形弧长计算公式进行计算，即可得到点B旋转到点B1的路径长． 【详解】解：(1)若△ABC绕点O顺时针旋转90°，可得△A1B1C1，如图所示： 若△ABC绕点O逆时针旋转90°，可得△A1B1C1，如图所示： (2)若△ABC绕点O顺时针旋转90°，点B旋转到点B1的路径长为＝； 若△ABC绕点O逆时针旋转90°，同理可得点B旋转到点B1的路径长为． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 23．如下图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点A″的位置时． 求：(1)点A经过的路线的长度； (2)点A经过的路线与直线l所围成的面积(计算结果保留π)． 【答案】（1）π＋π （2）π＋ 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【详解】解：(1)在Rt△ABC中， ∵BC＝1，AC＝， ∴AB＝2，∠CBA＝60°， ∴弧AA′长度为＝π， 弧A′A″长度为＝π， ∴点A经过的路线的长是π＋π. (2)S扇形ABA′＋S△A′BC″＋S扇形A′C″A″＝＋＋ ＝π＋. 24．【问题提出】车轮制作成圆形的相关原理 【合作探究】 （1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_______；    （2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差； （3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值、求某点的弧形运动路径长度 【分析】（1）根据题意可得车轮最高点到地面的距离始终等于圆的直径，据此可得答案； （2）画出图形，找到最高点和最低点的情形，即可得到答案； （3）当正三角形无滑动地滚动三分之一圈时，设点O运动到，过点O作水平面的垂线，垂足为C，根据正三角形的性质先推出，，则，进而可得，再求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切， 车轮最高点到地面的距离始终等于圆的直径， 圆形车轮半径为， 故车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹， 点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点， 由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为 车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为， 故答案为：；    （3）如图所示，当正三角形无滑动地滚动三分之一圈时，设点O运动到，过点O作水平面的垂线，垂足为C， ∵为正三角形三条垂直平分线的交点，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴的长为， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为．    【点睛】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键． 25．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变． (1)若，求的长（结果保留到小数点后一位）； (2)当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取） 【答案】(1)的长约为； (2)点O在此过程中运动的路径长约为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查解直角三角形的应用，求弧长： （1）作于H，解直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据题意，点运动的路径长为半径为，圆心角为60度的弧长，利用等边三角形的性质和弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，作于H， ， ， 在中， ， ， ， 的长约为； （2）， ， ， 是等边三角形， 半径为，圆心角为60度的弧长， 点O在此过程中运动的路径长约为． 26．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布. 27．如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 【答案】(1)弹袋B转过的路程为米 (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，求弧长： （1）根据弧长公式求解即可； （2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可． 【详解】（1）解：∵米， ∴弹袋B转过的路程（米）， 答：弹袋B转过的路程为米； （2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E， 在中，∵米， ∴（米）， ， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 正多边形与圆（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2022•黄浦区校级二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是　　 A． B． C． D． 2．（2024•闵行区三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　　 3．（嘉定区二模）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径； （2）作半径的垂直平分线，交于，两点； （3）连接、、，那么为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出，然后给出是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 题型二、求正多边形的中心角 4．（九年级·上海金山·期末）下列正多边形中，中心角等于内角的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形 5．（2024·上海·模拟预测）正二十边形中心角的正弦值为 6．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 题型三、正多边形和圆的综合 7．（2022·上海黄浦·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形 B．正六边形的每一个外角都等于中心角 C．正六边形每条对角线都相等 D．正六边形的边心距等于边长的一半 8．（2024·上海·模拟预测）在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为 9．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 题型四、求弧长 10．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（　　）cm． A．π B．12π C．15π D．36π 11．（21-22九年级下·上海·期中）在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 12．（2024·上海·三模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆和等边组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接， ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号） ②当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2-图3）过程中，点在上移动的距离． 题型五、求扇形面积 13．（上海虹口·期末）扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（    ） A．不变 B．面积扩大为原来的3倍 C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的 14．（2024·上海·模拟预测）如图，已知等腰直角中，，D是斜边的中点且，以B为圆心，为半径画弧，交于F，以C为圆心，为半径画弧，分别交，于E，G，则阴影部分的面积为 ．    15．（2023·上海黄浦·二模）已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分面积（结果保留π）． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置，则边BA扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（        ） A． B． C． D． 5．要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO=60°，若点B的坐标为（0，3），则弧OA的长为（　　）      A．2π B．3π C．π D．2π 二、填空题 7．如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为 ． 8．如图，在ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2，ABC绕点A逆时针旋转至AED，连接CD，AE垂直平分CD于点F，则点C在旋转过程中经过的路径长是 ． 9．如图，在扇形中，，、分别是半径、上的点，以、为邻边的▱的顶点在上若，，则阴影部分图形的面积是 结果保留． 10．如图，是半圆的直径，，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点，则图中阴影部分的面积是 ． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 (结果保留π). 12．如图，将等边三角形沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与AC相交于点O，以O为圆心，长为半径作．若，则阴影部分的面积为 ． 13．如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是 ；秒时，点的坐标是 ． 14．如图，在中，，，，以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，以B为圆心，长为半径画弧，交于点D．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 15．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，是的直径，，是的弦，连接．若．则的长为 （结果保留π）． 17．如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 （结果保留）． 18．如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线…是由多段的 圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点循环，则弧的长是 （结果保留）    三、解答题 19．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)在图①中，画一个菱形； (2)在图②中，画出正五边形的中心点． 20．如图，在中，直径，弦，，连接，，求阴影部分的面积． 21．如图，在中，弦弦，于点，且，，连结，，． 求证：． 若，求的长． 22．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A，B，C及点O均在格点上请按要求完成以下操作或运算： (1)将△ABC绕点O旋转90°，得到△A1B1C1； (2)求点B旋转到点B1的路径长(结果保留π)． 23．如下图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点A″的位置时． 求：(1)点A经过的路线的长度； (2)点A经过的路线与直线l所围成的面积(计算结果保留π)． 24．【问题提出】车轮制作成圆形的相关原理 【合作探究】 （1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_______；    （2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差； （3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长． 25．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变． (1)若，求的长（结果保留到小数点后一位）； (2)当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取） 26．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 27．如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$