第06讲 锐角三角函数（6个知识点+9种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第06讲 锐角三角函数（6个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、正弦的概念辨析 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．（2021·江苏苏州·一模）如图，中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，的平分线交于点，若，则的面积为 ． 3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根（）．抛物线经过点、，与交于点．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当最大时，点的坐标为 ； ③当最大时，点在抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、求角的正弦值 4．（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点在等边的内部，且，，将线段绕点按顺时针方向旋转 得到，连接，则的值为 ． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂足是点，若，，求的值． 题型三、已知正弦值求边长 7．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示） 9．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． (1)求的正弦值； (2)求点C到直线的距离． 题型四、求角的余弦值 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是斜边上的高，，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，则 ． 12．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为的射线l，在l上取点B，使（k为正整数），并在l下方作，，线段的中点分别为D，E． (1)当时，直接写出B，C两点的坐标； (2)若抛物线的顶点恰好为D点，且，求抛物线的解析式及此时的值； (3)当时，记线段的中点分别为，当时，记线段的中点分别为，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表达）． 题型五、已知正切值求边长 13．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若，则正方形与正方形的面积的比值为（    ）． A． B． C．5 D． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知在中，，则的长为 ． 15．（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A、B、C．求抛物线的解析式并写出它的顶点坐标． 题型六、特殊三角形的三角函数 16．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，如果，那么的值是 ． 18．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 题型七、特殊角三角函数值的混合运算 19．（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 20．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ． 21．（24-25九年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型八、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 22．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 23．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 题型九、三角函数综合 25．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若，，则的长为 ． 27．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． (1)当的面积为8时，求的值． (2)当时，求线段的长． (3)当点落在四边形的边上时，求的值． (4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 分层练习 一、单选题 1．已知在中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的度数（ 　） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是（　　） A． B．3 C． D．2 6．如图，内接于，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（　　）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 8．如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线l：分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆，延长OC交于点D，当△POD的面积最小时，则的半径长为（　　） A． B．2 C． D．3 10．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（　　）个 ①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③（BM+DG）²=AM²+AG²；④S△HMF= A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知是锐角，且，那么　 　． 12．已知α是锐角，如果 ，那么α＝　 　． 13．计算：　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，，，，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果，那么折痕DE的长为　 　． 15．计算：的结果为　 　． 16．如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图象上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则　 　；延长交轴于点，则点的坐标为　 　． 17．在中，都是锐角，且，则是　 　三角形． 18．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=　 　 . 三、解答题 19．（1）计算：； （2）已知，求代数式的值 20．计算：. 21．钓鱼岛是我国固有领土，年月日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点是岛上最西端“西钓角”，点是岛上最东端“东钓角”，长约米，点是岛上的小黄鱼岛，且、、三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛，并测得，根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛的距离的值．参考数据：，，，结果精确到米． 22． （1）根据个人爱好，从，和中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和； （2）采用配方法或公式法解一元二次方程． 23．如图，中，，，D是边的中点，连结． （1）已知，求的长； （2）求的值． 24．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F． （1）如图1，若AB=，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）； （2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF； （3）若AB=，设BP=2，求QF的长． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 26． 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接． （1）如图1，平分交y轴与点B，交于点D，直接写出点的坐标： B（　 　，　 　）C（　 　，　 　）D（　 　，　 　）； （2）如图1，在（1）的条件下，F为的中点，求的值，并直接写出的值； （3）如图2，点M从O点出发沿射线运动，点N从A点出发沿运动，分别为的中点，若两点以相同的速度同时出发运动，当时，直接写出当有最小值时的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 锐角三角函数（6个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、正弦的概念辨析 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．（2021·江苏苏州·一模）如图，中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，的平分线交于点，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ，可得，可得，解得：BE=9，BH=，由sin∠AFN=sin∠CFM，得AN=，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，AD∥BC，的平分线与的延长线交于点， ∴∠DAE=∠BAE=∠AEB， ∴BA=BE， ∵的平分线交于点， ∴BH⊥AE， 过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ， ∴CM∥BH，AH=EH=2+1=3， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠CFE=∠BAE， ∴∠CFE=∠AEB， ∴CE=CF=3， ∴ME=EF=×2=1， ∴， ∴，解得：BE=9，BH=， ∴CD=AB=BE=9， ∵∠AFN=∠CFM， ∴sin∠AFN=sin∠CFM，即：, ∴，解得：AN=， ∴的面积= CD×AN=9×=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键． 3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根（）．抛物线经过点、，与交于点．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当最大时，点的坐标为 ； ③当最大时，点在抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②③，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、正弦的概念辨析、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用表示出的长度，进而求出三角形的面积关于的函数； ②先求出时取最大值，在求得直线的解析式，设，根据，勾股定理即可求解； ③由②可得时，取最大值，再根据点、、、为顶点的四边形是矩形，分情况求出的坐标． 【详解】（1）解： 解得： ∵ ∴，即, 将、两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）①，， ， 过点作与点，则， ， ， ； ∴ ②∵， ∴当时，取最大值； ∴, 设直线的解析式为，将点代入得 解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴ 解得：或（舍去） ∴, 故答案为：． ③在抛物线对称轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形∵抛物线的解析式为∵的对称轴为， ∴的坐标为， 又, ∴ 当时，则在直线上， ∵在对称轴上， ∴ 当时，则的纵坐标与点纵坐标相同， ∴， 当时， 设， 则， 即， 解得： ， ∴， 如图所示，设的中点为,则, ∵， ∴关于点对称， ∴，    综上所述，，，， 【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值，解一元二次方程，正弦的定义，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型二、求角的正弦值 4．（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，首先根据三角形在网格纸中的位置可以得到、、，根据勾股定理可以得到，再根据正弦定义求出即可． 【详解】解：如下图所示， 由网格可知、、， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点在等边的内部，且，，将线段绕点按顺时针方向旋转 得到，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理，连接，如图，先利用旋转的性质得，则可判定为等边三角形得到，再证明得到，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后根据正弦的定义求解． 【详解】解：连接，如图， ∵线段绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂足是点，若，，求的值． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．首先根据的三角函数求出的长度，然后得出的长度，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可． 【详解】解：， ． ，， ， ． 在中， ， ． 题型三、已知正弦值求边长 7．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形．根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据，即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ． 故选：C． 8．（2024·山东聊城·三模）如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【知识点】求扇形面积、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了锐角三角函数，扇形面积；过点C作于E，求出，则可求得面积，再利用扇形面积减去面积，即得阴影部分面积． 【详解】解：如图，过点C作于E， C，D分别是半径的中点， ， ， ， 则； 故； 故答案为：． 9．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． (1)求的正弦值； (2)求点C到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、求角的正弦值、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义． （1）过点作于点．由等腰三角形三线合一的性质得出．在中，根据正弦函数的定义得出，根据三角形内角和定理求出，则； （2）过点作于点．解直角，求出，则．再解直角，求出，即点到的距离为． 【详解】（1）解：过点作于点． ，， ． 在中，，， ， 是的垂直平分线， ，， ， 又， ， ， 即的正弦值为； （2）解：过点作于点． 在中，，，， ， ． 在中，，， ， 即点到的距离为． 题型四、求角的余弦值 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是斜边上的高，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了：①勾股定理；②锐角三角函数的定义；③同角的余角相等．并且注意到三角函数值只与角的大小有关．易证，则求的值就可以转化为求的三角函数值．从而转化为求的边长的比． 【详解】解：由勾股定理得，， 由同角的余角相等知，， ， 故选：D． 11．（24-25九年级下·全国·期末）在中，，则 ． 【答案】 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，且，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：由题意得：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，以y轴正半轴上一点（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为的射线l，在l上取点B，使（k为正整数），并在l下方作，，线段的中点分别为D，E． (1)当时，直接写出B，C两点的坐标； (2)若抛物线的顶点恰好为D点，且，求抛物线的解析式及此时的值； (3)当时，记线段的中点分别为，当时，记线段的中点分别为，求直线的解析式及四边形的面积（用含m的代数式表达）． 【答案】(1)B点的坐标为， C点的坐标为． (2)， (3)； 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、求角的余弦值、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、平行四边形的判定和性质、勾股定理、余弦函数等知识点，掌握数形结合思想方法是解题的关键． （1）先分别求出点B、C到x轴和y轴的距离，然后确定B，C两点的坐标即可； （2）先求出B点的坐标和C点的坐标，然后根据三角形中位线的性质得出点D和E的坐标，再根据D恰为抛物线的顶点即可得出抛物线的解析式，最后根据得出为等边三角形，从而可以得出的值； （3）先分别求出点的坐标然后即可得出直线的解析式，再根据证出四边形为平行四边形，最后通过解直角三角形得出的长，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：过点B作轴，交y轴于点F，过点C作轴，垂足为G，交直线于点H， ∵当时，， ∴， ∴， ∴B点的坐标为， 同理可得：C点坐标为； ∴B点的坐标为， C点的坐标为； （2）解：当时，，与（1）同理可得B点的坐标为，C点的坐标为． 如图，过点B作y轴的垂线垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G， 两条垂线的交点为H，作于点M，于点N． 由三角形中位线的性质可得点D的坐标为，点E的坐标为． 由勾股定理得． ，即， ． 恰为抛物线的顶点，它的顶点横坐标为， ．解得． ∴抛物线的解析式． 此时D，E两点的坐标分别为． ． ． ∴此时为等边三角形，． （3）解：点的坐标分别为． 设直线的解析式为 则，解得 ∴直线的解析式为． 可得直线与y轴正方向的夹角为． 直线，与y轴正方向的夹角都等于， ． 两点的坐标分别为， 由勾股定理得， ， ∴四边形为平行四边形． 设直线与y轴的交点为P，作于Q．（如图） 可得点P的坐标为． ， ． 题型五、已知正切值求边长 13．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若，则正方形与正方形的面积的比值为（    ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、已知正切值求边长 【分析】本题考查了正切，全等的性质．熟练掌握正切是解题的关键． 设，由，可得，则，正方形的面积为，，正方形的面积为，进而可求正方形与正方形的面积的比值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，， ∴正方形的面积为， ∴正方形与正方形的面积的比值为， 故选：D． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知在中，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，先根据，，求出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在中， ，，， ， ． 故答案为：． 15．（22-23九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A、B、C．求抛物线的解析式并写出它的顶点坐标． 【答案】抛物线的解析式为；顶点坐标为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知正切值求边长 【分析】本题主要查了求二次函数的解析式，解直角三角形；利用锐角三角函数可得，可求出，再根据旋转的性质求出，，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵是由绕点O逆时针旋转而得到的， ∴， ∴， ∴； 把A、B、C的坐标代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ， 抛物线的顶点坐标为． 题型六、特殊三角形的三角函数 16．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：A． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，如果，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正切与余弦的定义．直接利用正切与余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 故答案为：． 18．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）0；（2）；． 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、二次根式的混合运算、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 题型七、特殊角三角函数值的混合运算 19．（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 20．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算，代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（24-25九年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算； （1）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解； （2）根据特殊角三角函数值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 22．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 23．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、求角的正切值、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 题型九、三角函数综合 25．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数综合 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 26．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、三角函数综合 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角函数，勾股定理等知识解题的关键是掌握相关的知识．过点作于，根据作图可知平分，由角平分线的性质和题意可得，在中，，设，则，则，进而得到，求出，进而得到，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作于， 平分，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 27．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． (1)当的面积为8时，求的值． (2)当时，求线段的长． (3)当点落在四边形的边上时，求的值． (4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、三角形中位线与三角形面积问题、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题； （2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得； （3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题； （4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的面积为8， ， 整理得， 解得或； （2）解：记延长线交于点， 由对称性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得，经检验是该方程的解， ，， ， ， ， 解得， ； （3）解：①当在上时， 四边形为平行四边形， ，， ， 由对称性质可知，，， ， ， ， ， 解得， ，， ； ②当在上时， 四边形为平行四边形， ， ∴， 由对称性质可知，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，解得：， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或； （4）解：或，理由如下： 的面积是四边形面积的， 四边形为平行四边形， 的面积是面积的， 直线与四边形的一条边交于点， ①当在上时，为的中点，为的中线， 四边形为平行四边形， ， ， 与（3）中①的情况一致， 故； ②当在上时，为的中点，为的中线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得，即或（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 分层练习 一、单选题 1．已知在中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同角三角函数的关系 2．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求特殊角的三角函数值；求正切值 3．在中，，，，则的度数（ 　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】求特殊角的三角函数值 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴BD=AD. ∵AC=8cm， ∴CD+AD=CD+BD=8cm. ∵cos∠BDC=， ∴CD=3， ∴BD=5cm， ∴BC==4cm. 故答案为：B. 【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，则CD+AD=CD+BD=8cm，结合三角函数的概念可求出CD的值，然后求出BD的值，再根据勾股定理进行计算. 5．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：B． 【分析】过点P作轴于点Q，根据，可得，再结合，可得。 6．如图，内接于，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图， 可得 根据圆周角定理可得， OB=OC， 的长 故答案为：C. 【分析】连接OB，OC，由垂径定理可得根据圆周角定理可得，结合OB=OC，求得再利用弧长公式即可求解. 7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（　　）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm. ∵△ABC，AB＝AC，， ∴. ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质可得DC=BC=22cm，∠ACB=∠ABC=27°，然后根据三角函数的概念就可求出AD. 8．如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图：连接AD ∵为的直径， ∴ ∵， ∴ ∴，，解得：． 故答案为：B． 【分析】连接，由为的直径， 可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据即可求解. 9．如图，直线l：分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆，延长OC交于点D，当△POD的面积最小时，则的半径长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：A（8，0），B（4，0）， OA=8，OB=4， 由勾股定理得， 在 中，OD是直径， ， ， ， ， ， 当最小时，则OP最小， 点P在线段AB上运动， 当时，OP最小， ， ， ， ， ， OD=4， 的半径长为 2. 故答案为：B. 【分析】将表示为，从而当 △POD的面积最小时 ，时，OP最小，再根据三角函数可解出直径得出结果. 10．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（　　）个 ①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③（BM+DG）²=AM²+AG²；④S△HMF= A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：①设MC与ND交于点P，如图所示. ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD=BC=AB=4 ∠MBC=∠NCD=90° ∵AM=BN=1 ∴NC=BC-BN=4-1=3 MB=AB-AM=4-1=3 ∴NC=MB 在△MBC与△NCD中， ∴△MBC≌△NCD ∴∠PNC=∠CMB ∵∠MBC =90° ∴∠CMB+∠PCN =90° 则∠PNC +∠PCN =90° ∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90° ∴MC⊥ND 故①MC⊥ND符合题意. ②延长AE，作FQ⊥AF于点Q ∵MB=3，BC=4.∠B=90° ∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得 ∠BCM+∠BMC =90° ∵MC⊥ND，MF∥ND ∴∠FMC=90° ∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90° ∴∠QMF=∠BCM ∵FQ⊥AF ∠B=90° ∴∠FQM=∠B ∴△MBC∽△FQM ∴即 ∵四边形ABCD是正方形，AF平分∠QAG ∴∠QAF= 又∵∠FQM=90° ∴∠QFA=∠QAF ∴QA=QF ∴变形为解得QA=QF =3 ∴QM=QA+AM=4 ∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得 ∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得 ∴sin∠MFC=故②符合题意 ③设（BM+DG）²=AM²+AG²存在 由上述可知BM=3，AM=1，AG=AD-GD=4-DG， 将其代入（BM+DG）²=AM²+AG² 得：（3+DG）²=1²+（4-DG）² 解得DG=，符合题意，故③符合题意. ④作HI⊥MF于点I ∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90° ∴△CPN∽△CBM ∴则即 解得 ∴MP=MC-PC=5- ∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90° ∴四边形MPHI是矩形 ∴IH= MP ∴S△HMF=故④符合题意 综上所述四项全部符合题意， 故答案为：D 【分析】①设MC与ND交于点P，通过证明△MBC≌△NCD，可得∠PNC=∠CMB，再证∠PNC +∠PCN =90°，即得MC⊥ND；②延长AE，作FQ⊥AF于点Q，利用勾股定理得求出MC=5，再证△MBC∽△FQM，可得即，再利用等腰三角形的性质可得QA=QF=3，利用比例式可求出QA=3，从而求出QM=QA+AM=4，再利用勾股定理先求出MF，再求出CF，根据sin∠MFC=求解，即可判断；③设（BM+GD）2=AM2+AG2存在，据此求出DG，即可判断；④作HI⊥MF于点I，证明△CPN∽△CBM，利用相似三角形的性质求出PC、MP，再证明四边形MPHI是矩形，可得IH= MP，根据S△HMF=求解，即可判断. 二、填空题 11．已知是锐角，且，那么　 　． 【答案】45° 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。 12．已知α是锐角，如果 ，那么α＝　 　． 【答案】30° 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ， ∴ ， 故答案为：30°． 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。 13．计算：　 　． 【答案】 【知识点】求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法 14．如图，在Rt△ABC中，，，，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果，那么折痕DE的长为　 　． 【答案】 【知识点】翻折变换（折叠问题）；同角三角函数的关系；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥AB于点H， 由翻折性质得AD=DP，∠ADE=∠PDE， ∵∠BPD=∠A，∠A+∠B=90°， ∴∠BPD+∠B=90°， ∴∠BDP=90°=∠ADP， ∴∠ADE=45°， ∵EH⊥AB， ∴∠DEH=∠EDH=45°， ∴DH=EH， ∴DE=DH， ∵cotA=2=， ∴AH=2HE，DP=2BD， ∴AD=DP=3DH， ∴BD=DH， ∵AB=9=BD+AD=DH+3DH， ∴DH=2， ∴DE=. 故答案为：. 【分析】过点E作EH⊥AB于点H，由翻折性质得AD=DP，∠ADE=∠PDE，由直角三角形量锐角互余及等量代换推出∠BPD+∠B=90°，由三角形的内角和定理得∠BDP=90°=∠ADP，则∠ADE=45°，推出△DEH是等腰直角三角形，则DE=DH，由等角的同名三角函数值相等得cotA=2=，则AH=2HE，DP=2BD，D=DP=3DH，BD=DH，然后根据AB=BD+AD建立方程可求出DH的长，从而得到DE的长. 15．计算：的结果为　 　． 【答案】3 【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解： ， 故答案为：3． 【分析】，，据此求解． 16．如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图象上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则　 　；延长交轴于点，则点的坐标为　 　． 【答案】8； 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：延长DA交x轴于点M，过A作AH⊥ND于点H， 设DE=a，则CE=2a，CD=AD=3a，AM=a，OD=2a， ∴S△ADB=S△AOD=OD·DA==15， ∴a=. ∵tan∠DOE=， ∴ON=2DN， ∴OD=， ∴D（2，4）. ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k=8. ∵D（2，4）， ∴B（4，8）. ∵∠EDN+∠NDO=90°，∠NDO+∠HDA=90°， ∴∠NDO=∠HDA， ∴△NDO∽△OND. ∵DA=， ∴DH=6，AH=3， ∴A（8，1）. 设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（8，1）、B（4，8）代入可得 解得， ∴y=x+15， 令y=0，可得x=， ∴F（，0）. 故答案为：8；（，0）. 【分析】延长DA交x轴于点M，过A作AH⊥ND于点H，设DE=a，则CE=2a，CD=AD=3a，AM=a，OD=2a，根据三角形的面积公式可得a的值，利用三角函数的概念可得ON=2DN，然后求出OD的值，得到点D的坐标，代入y=中可求出k的值；根据菱形的对角线互相垂直平分可得点B的坐标，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△NDO∽△OND，求出DH、AH的值，得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0，求出x的值，据此可得点F的坐标. 17．在中，都是锐角，且，则是　 　三角形． 【答案】等腰直角 【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；偶次方的非负性 【解析】【解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 【分析】先根据非负性得到，，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而结合等腰直角三角形的判定即可求解。 18．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=　 　 . 【答案】2 【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值；三角形-动点问题 【解析】【解答】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短， ∴OP⊥AB， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠POA=60°， ∵OP=OQ， ∴△POQ为等边三角形， ∴∠POQ=60°， ∴∠APQ=30°， ∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB= =3， ∴CQ=2， ∴CQ的最小值为2． 故答案为2． 【分析】以CQ为直径作 圆O，当圆 O与AB边相切，切点即动点P时，CQ最短，由切线的性质可知OP⊥AB，由∠A=30°，进而求得△POQ为等边三角形，得出∠APQ=30°，由此可得PQ=OQ=OP=OC，在Rt△ABC中利用余弦值求出AC的长 ，从而求得CQ的最小值． 三、解答题 19．（1）计算：； （2）已知，求代数式的值 【答案】（1）；（2）12 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求特殊角的三角函数值；求代数式的值-整体代入求值 20．计算：. 【答案】解： 【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=+2--，然后根据二次根式的减法法则进行计算. 21．钓鱼岛是我国固有领土，年月日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点是岛上最西端“西钓角”，点是岛上最东端“东钓角”，长约米，点是岛上的小黄鱼岛，且、、三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛，并测得，根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛的距离的值．参考数据：，，，结果精确到米． 【答案】解：设米， 中，， 米， 中，， 米， ， 解得， 答：执法船距离小黄鱼岛的距离约为米． 【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题 【解析】【分析】设米，利用正切的定义求出，再结合长约米，列出方程，求出x的值即可。 22． （1）根据个人爱好，从，和中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和； （2）采用配方法或公式法解一元二次方程． 【答案】（1）解：若选取和， ∴； 若选取和， ∴； 若选取和， ∴； （2）解：配方法：， ， ， ， ， 解得：，； 公式法：， ∵， ∴， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值 【解析】【分析】（1）熟记 ，和 ，再任意选取两个计算三角函数的平方和即可. （2）根据配方法解一元二次方程的一般步骤或公式法求解方程即可. 23．如图，中，，，D是边的中点，连结． （1）已知，求的长； （2）求的值． 【答案】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于， 由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际应用 【解析】【分析】（1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解； （2）作于，求得，根据余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解． 24．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F． （1）如图1，若AB=，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）； （2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF； （3）若AB=，设BP=2，求QF的长． 【答案】（1）1 （2）证明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP， ∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP， ∴∠BAP=∠EAQ． 在△ABP和△AEQ中， ， ∴△ABP≌△AEQ（SAS）， ∴∠AEQ=∠ABP=90°， ∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°， ∵∠EBF=90°﹣60°=30°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF； （3）如图，过点F作FD⊥BE于点D， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=， 由（2）得∠EBF=30°， 在Rt△BDF中，BD=BE=， ∴BF==1， ∴EF=1， ∵△ABP≌△AEQ， ∴QE=BP=2， ∴QF=QE+EF=2+1=3． 【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（1）∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上 ∴AB=AE，∠BAE=60° ∴∠APB=30° ∴ ∴点E是AP的中点 ∴QE⊥AP ∴ ∵∠APQ=30°，∠APB=30° ∴∠QPF=90° ∴QF=4 ∴EF=QF-QE=1 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，则∠APB=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理求出QE长，QF长，再根据EF=QF-QE=1即可求出答案. （2）根据全等三角形的判定定理可得△ABP≌△AEQ（SAS），则∠AEQ=∠ABP=90°，再进行角之间的转换可得∠BEF=∠EBF，根据等角对等边性质即可求出答案. （3）过点F作FD⊥BE于点D，根据等边三角形性质可得BE=AB=，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD=BE=，根据锐角三角函数可得，则EF=1，再根据全等三角形性质可得QE=BP=2，则QF=QE+EF=2+1=3，即可求出答案. 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；同角三角函数的关系；二次函数-角度的存在性问题 26． 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接． （1）如图1，平分交y轴与点B，交于点D，直接写出点的坐标： B（　 　，　 　）C（　 　，　 　）D（　 　，　 　）； （2）如图1，在（1）的条件下，F为的中点，求的值，并直接写出的值； （3）如图2，点M从O点出发沿射线运动，点N从A点出发沿运动，分别为的中点，若两点以相同的速度同时出发运动，当时，直接写出当有最小值时的长度． 【答案】（1）0；m；m；n；m-n；n （2）解： =； （3）解：PQ= 【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；四边形的综合 【解析】【解答】解：（1）如图所示， 四边形为矩形，， ，，． 坐标为． 平分， ，． ，为等腰直角三角形， ，， 点坐标， 过作于， ，， 点坐标为． 故答案为：0，m；m，n；m-n，n； （2）解：如图所示，连接， 为等腰直角三角形，为中点， ，为等腰直角三角形， ， 为为等腰直角三角形， ， 即， ， ，， ， ，． （3）解：如图所示，以为边长，在轴下方作正方形， 两点以相同的速度同时出发运动， ， ， ， ， ， 三点共线时，有最小值，即的长， 连接交于点，即为此时的位置， 在中，，， ， ， 此时，， 坐标为，坐标为， 又 ，，分别为中点， 坐标为，坐标为， ． 【分析】（1）由于四边形为矩形，平分，可得，为等腰直角三角形，于是，对应的横纵坐标的长度都可求，由此得解． （2）要求的值，两个角不在同一个三角形内，因此考虑将其中一个角进行转化，将两个角转化成在同一个三角形内，可证，于是，的值等于外角，同时得到相似三角形三边对应成比例，即得解． （3）要求的最小值，两条线段的和最小值考虑利用“两点之间线段最短”来求解．以为边长作正方形，，得到，即可将转化为，由此确定此时的位置，利用两点的中点坐标表示出坐标，然后利用两点间的距离公式即可求． 学科网（北京）股份有限公司 $$