第06讲 垂径定理与圆周角和圆心角关系（5个知识点+9种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 垂径定理与圆周角和圆心角关系（5个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点4．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点5．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 （3）几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一、利用垂径定理求值 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，如果的半径为，弦，那么圆心到的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，的直径与弦交于点，已知，，，求的长． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4．（四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 题型三、利用垂径定理求解其他问题 7．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2024·河南平顶山·二模）如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 9．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 题型四、垂径定理的实际应用 10．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图是直径为的圆柱形油槽内装入一些油后的截面示意图，若油面宽，则油的最大深度为 . 12．（2024九年级下·全国·专题练习）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边，上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 题型五、圆心角概念辨析 13．（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 14．（19-20九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 15．（22-23·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型六、求圆弧的度数 16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 17．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O两个点（C，D两点分别在直径AB的两侧），连接AD，CD，OC．若∠BOC=130°， 则∠D= 度． 18．（2022·辽宁大连·一模）如图，大连森林动物园浪漫之星摩天轮是大连市著名建筑之一.已知摩天轮是一个圆形，匀速旋转一周需20分钟.小明测得摩天轮上Ａ处顺时针旋转到B处需6分钟，且这两处到地面的距离（AC和BD）都恰好为64米，OF上MN交⊙O于点E，EF=8米. (1)劣弧AB所对的圆心角度数为__________°； (2)请您帮助小明估算摩天轮的半径（结果取整数）. （参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38） 题型七、圆周角的概念辨析 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 20．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，，平分，则弦长为 ． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 题型八、90度的圆周角所对的弦是直径 22．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 23．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）已知的三边a、b、c满足，则的外接圆半径为 ； 24．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 题型九、求四边形外接圆的直径 25．（2022·四川乐山·一模）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是（    ） A． B．2 C． D． 26．（2024·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 27．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 分层练习 一、单选题 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 2．下列命题中，正确的是（    ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．五边形的内角和是500 C．平行四边形是轴对称图形 D．弦的垂直平分线经过圆心 3．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 4．如图，是的弦，，交于点，连接，，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（  　） A．CE=DE B．∠ADG=∠GAB C．∠AGD=∠ADC D．∠GDC=∠BAD 6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（   ） A．55° B．45° C．35° D．25° 7．如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF：DF＝1：4，则CF的长等于(　　) A． B．2 C．3 D．2 8．如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，连接BD，若的半径为4，则BD的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 9．如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 10．已知，如图，（Ⅰ）作的直径AB；（Ⅱ）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于C，D两点；（Ⅲ）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断： ①； ②； ③． 其中正确的推断的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD=116°，则∠BCD的度数是 ． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若BC＝1，AC＝3，则tan∠ADC的值为 ． 13．如图，扇形的圆心角，点C、D在上，沿折叠扇形，若点A、B的对应点落在劣弧上同一点E处，则的度数为 ．（用的代数式表示）    14．如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径 ． 15．如图四边形为的内接四边形，于点E，若，，则的半径为 ． 16．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB= cm． 17．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为 cm． 18．如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 三、解答题 19．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，求圆的半径． 20．一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家完成下面两项工作： （1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出弓形所在圆的半径. 21．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽，水面到拱顶距离为，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于．当洪水泛滥时，水面宽时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 23．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 24．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示： 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷 A 20 B 5 C 10 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到公顷）； （2）先化简下式，再求值：，其中，； （3）如图，已知A，B，C，D是上的四点，延长，相交于点E，若．求证：是等腰三角形．    25．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 26．根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 垂径定理与圆周角和圆心角关系（5个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点4．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点5．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 （3）几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型强化 题型一、利用垂径定理求值 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，如果的半径为，弦，那么圆心到的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了是垂径定理以及勾股定理的应用，首先根据，可知，在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示， ， ， 在中，， ， 故选：A． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，的直径与弦交于点，已知，，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理，连接，过点作于点，根据垂径定理可以得到，直角中利用30度直角三角形的性质即可求得，再由勾股定量可得的长，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长，从而得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， ∵是的直径，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、利用垂径定理求平行弦问题 4．（四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 5．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 题型三、利用垂径定理求解其他问题 7．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】实数与数轴、证明四边形是菱形、利用垂径定理求解其他问题、判断命题真假 【分析】本题考查了判断真假命题，根据实数与数轴，垂径定理，垂线的性质，菱形的判定，平行线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故原命题是假命题； ②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； ③平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题． 故选：D． 8．（2024·河南平顶山·二模）如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 【答案】米 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、三角函数综合 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【详解】解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 9．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 题型四、垂径定理的实际应用 10．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图是直径为的圆柱形油槽内装入一些油后的截面示意图，若油面宽，则油的最大深度为 . 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理，过圆心向作垂线，交于点，，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出油的最大深度长． 【详解】解：连接，过圆心向作垂线，交于点， 则， 根据勾股定理可得， 所以油的最大深度为 故答案为：4． 12．（2024九年级下·全国·专题练习）（1）如图①，，点P在的平分线上，．点E，F分别在边，上，且，连接．求线段的最小值； （2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 【答案】（1）；（2）或 【知识点】全等三角形综合问题、垂径定理的实际应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过P作于C，作于D，证明，可得，即可得，而，知，故，设，则，过F作于G，有，，由勾股定理得，即知线段的最小值是； （2）当整个水面都被灯光照到时，①C与A重合，F与B重合，设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，由点P是拱桥的中点，，设半径为，则，可得，，求出， ，，，可得，故，，可得是等腰直角三角形，即得，即，同理可得，即，故，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为；②当E与A重合，D与B重合时，可得，而，可得，同理，故． 【详解】解：（1）过P作于C，作于D，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 过F作于G，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值， ∴线段的最小值是； （2）当整个水面都被灯光照到时， ①C与A重合，F与B重合，设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，如图： ∵点P是拱桥的中点，， ∴O，P，H共线，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②当E与A重合，D与B重合时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴； ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型五、圆心角概念辨析 13．（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 14．（19-20九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 【答案】/20度 【知识点】圆心角概念辨析、圆周角定理 【分析】本题考查了同圆中等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（22-23·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 题型六、求圆弧的度数 16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【知识点】等边对等角、 求圆弧的度数 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 17．（19-20九年级下·吉林·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O两个点（C，D两点分别在直径AB的两侧），连接AD，CD，OC．若∠BOC=130°， 则∠D= 度． 【答案】25 【知识点】 求圆弧的度数、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据角度互补，求出∠AOC的大小，再利用圆心角和圆周角的关系推导出∠ADC的大小 【详解】∵∠COB=130° ∴∠AOC=50° ∴∠ADC=25° 【点睛】本题考查圆周角和圆心角的关系，在求解圆的角度问题中，这个关系是常被考查到的 18．（2022·辽宁大连·一模）如图，大连森林动物园浪漫之星摩天轮是大连市著名建筑之一.已知摩天轮是一个圆形，匀速旋转一周需20分钟.小明测得摩天轮上Ａ处顺时针旋转到B处需6分钟，且这两处到地面的距离（AC和BD）都恰好为64米，OF上MN交⊙O于点E，EF=8米. (1)劣弧AB所对的圆心角度数为__________°； (2)请您帮助小明估算摩天轮的半径（结果取整数）. （参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38） 【答案】(1)108 (2)35cm 【知识点】 求圆弧的度数、三角函数综合 【分析】（1）根据A处顺时针旋转到B处所需时间与旋转一周的时间的比值乘360°即可求解； （2）连接AB，作OG⊥AB，由（1）得∠BOG=∠AOB=54°，由余弦值即可求解； 【详解】（1）解：∠AOB==108° （2）如图，连接AB，作OG⊥AB 由（1）知，∠AOB=108° ∴∠BOG=∠AOB=54° ∵BD=64m，EF=8m ∴OG+OE=BD-EF=64-8=56m 设OE=x，OG=56-x cos∠BOG= 解得：x=35 故半径为35cm 【点睛】本题主要考查圆的性质、锐角三角函数值，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 题型七、圆周角的概念辨析 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和圆心角等知识点，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，，由轴对称性可得，则，故当、P、B三点共线时，最小，最小值为，由圆周角定理，弧和圆心角的关系可求，，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，， ∵点A与点关于对称， ∴，， ∴， 则当、P、B三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点B是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为2， ∵， ∴的周长的最小值是， 故选：A． 20．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，，平分，则弦长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质、圆心角、弧弦之间的关系，连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据弧、弦之间的关系得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题综合考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型八、90度的圆周角所对的弦是直径 22．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）已知的三边a、b、c满足，则的外接圆半径为 ； 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及圆周角定理，掌握圆周角定理以及求得a、b、c的值是解答本题的关键． 先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最进而可求出的外接圆半径． 【详解】解： 则，，，即，，， ∵ ∴是直角三角形， ∴外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点处，则半径是斜边的中线， ∴的外接圆半径． 故答案为． 24．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)或 (4)是等边三角形，理由见解析 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； （4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； （4）解：是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 题型九、求四边形外接圆的直径 25．（2022·四川乐山·一模）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、圆周角定理、求四边形外接圆的直径、求角的正切值 【分析】连接BE，根据勾股定理逆定理可得∠AEB=90°，再由，可得A、D、E、B四点共圆，从而得到∠AED=∠ABD，即可求解． 【详解】解：如图，连接BE， 根据题意得：，AB=2，∠CAB=90°，AC=1， ∴， ∴∠AEB=90°， ∵，即∠ADB=90°， ∴A、D、E、B四点共圆， ∴∠AED=∠ABD， ∵， ∴的正切值是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，求正切值，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 26．（2024·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求四边形外接圆的直径、求角的正切值 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键． 根据题意可得四点共圆，由两角对应相等判定三角形相似，由此得到的值与有关，当最大时即取最大值． 【详解】解：， ∴四点共圆， ， ∴为直径， ， ， ， ， ， 在圆中，直径是最长的线段，因此当为直径时，最大，， ， 故答案为：． 27．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、求四边形外接圆的直径 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 2．下列命题中，正确的是（    ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．五边形的内角和是500 C．平行四边形是轴对称图形 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、利用垂径定理求解其他问题、同旁内角互补两直线平行、轴对称图形的识别 【分析】根据平行线的判定、多边形的内角和、轴对称图形、垂径定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，则此项命题错误，不符题意； B、五边形的内角和是，则此项命题错误，不符题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，则此项命题错误，不符题意； D、弦的垂直平分线经过圆心，则此项命题正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定、多边形的内角和、轴对称图形、垂径定理，熟练掌握各判定定理和概念是解题关键． 3．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解． 【详解】解：∵∠APD是△APC的外角， ∴∠APD=∠C+∠A； ∵∠A=30°，∠APD=70°， ∴∠C=∠APD-∠A=40°； ∴∠B=∠C=40°； 故选C． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键． 4．如图，是的弦，，交于点，连接，，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、 求圆弧的度数、圆周角定理 【分析】根据垂径定理得出 ，，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍计算即可． 【详解】∵ ∴ , 又∵ ∴= ∴ 【点睛】掌握垂径定理、圆周角相关定理是解决本题的关键． 5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（  　） A．CE=DE B．∠ADG=∠GAB C．∠AGD=∠ADC D．∠GDC=∠BAD 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE，A成立； ∵G是的中点， ∴， ∴∠ADG=∠GAB，B成立； ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠AGD=∠ADC，C成立； ∠GDC=∠BAD不成立，D不成立， 故选D． 6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（   ） A．55° B．45° C．35° D．25° 【答案】D 【知识点】圆周角定理 【分析】首先连接AD，由AB为 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得答案． 【详解】 如图，连接AD， AB为O的直径 ADB = 90° ABD= 65° A = 90°- ABD = 25° BCD = A = 25° 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7．如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2．若CF：DF＝1：4，则CF的长等于(　　) A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】连接BD，连接AC，找到相似三角形△AFC∽△DFB，再根据比例式求解. 【详解】 解：连接BD，连接AC， ∵∠C＝∠B，∠AFC＝∠DFB， ∴△AFC∽△DFB. ∵CF：DF＝1：4 ∴DF＝4CF 又AB＝10，AF＝2 ∴BF＝10－2＝8 ∵△AFC∽△DFB. ∴ 即2×8＝FC×4FC 解得FC＝2． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的应用，找到题中的相似三角形是解题的关键． 8．如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，连接BD，若的半径为4，则BD的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形 【分析】连接OB，OD，利用圆的内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理，求出．最后利用勾股定理求出BD即可． 【详解】解：连接OB，OD，如图： ∵四边形ABCD是的内接四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理，求出． 9．如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、圆周角定理、求一次函数解析式、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，最大，设圆心，用n的代数式表示出，，即可求解． 【详解】解：设的中点为M，作轴于点H，作轴于点G， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 当C与Q重合时，最大， ∵，， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，特殊角的三角函数值，求一次函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，找出使最大的位置． 10．已知，如图，（Ⅰ）作的直径AB；（Ⅱ）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于C，D两点；（Ⅲ）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断： ①； ②； ③． 其中正确的推断的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】①连接，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得，即是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半即可得结论． 【详解】解：如图，连接， ①∵是的直径， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于两点， ∴， 根据垂径定理，得：，所以①正确； ②∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴②正确； ③∵， ∴．所以③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图． 二、填空题 11．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD=116°，则∠BCD的度数是 ． 【答案】122° 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝58°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数． 【详解】解：∵∠BOD=116°， ∴∠A＝∠BOD＝58°， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠BCD＝180°−∠A＝122°． 故答案是：122°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若BC＝1，AC＝3，则tan∠ADC的值为 ． 【答案】3 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、求角的正切值、圆周角定理 【分析】根据AB是⊙O的直径，求出∠ACB＝90°，根据圆周角定理得出∠ADC＝∠ABC，运用锐角三角函数的概念求出答案． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵ ∴∠ABC=∠ADC ∵BC＝1，AC＝3， ∴tan∠ADC＝tan∠ABC 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用和锐角三角函数的应用，掌握直角所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 13．如图，扇形的圆心角，点C、D在上，沿折叠扇形，若点A、B的对应点落在劣弧上同一点E处，则的度数为 ．（用的代数式表示）    【答案】 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质． 14．如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】设圆的半径为，利用垂径定理可得，然后利用勾股定理列方程进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， ∵弦于E点，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 15．如图四边形为的内接四边形，于点E，若，，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】作直径，连．证明，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：作直径，连． ∵是的直径， ∴ ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB= cm． 【答案】5. 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求值 【详解】试题分析：根据轴对称性易求CD长，AB=CD．∵DE=1，∴CF=1，∵EF=3，∴DC=5，∴AB=5． 故答案为5. 考点：垂径定理；矩形的性质． 17．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为 cm． 【答案】8cm 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】首先根据题意画出图形，然后连接OA，根据垂径定理得到OC平分AB，即AC=BC，而在Rt△OAC中，根据勾股数得到AC=4，这样即可得到AB的长． 【详解】解：如图，连接OA，则OA=5，OC=3，OC⊥AB， ∴AC=BC，∴在Rt△OAC中，AC==4，∴AB=2AC=8． 故答案为8．   【点睛】本题考查垂径定理；勾股定理． 18．如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，求圆的半径． 【答案】圆的半径为米． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出的长，设米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：连接， 有， 路面米， 米， 设米， 拱高米， 米， ， ， 解得， 圆的半径为米． 20．一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家完成下面两项工作： （1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出弓形所在圆的半径. 【答案】（1）作图见解析；（2）. 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值 【分析】（1）作AC的垂直平分线交CD的延长线于点O，点O即为所求作的点； （2）在Rt△ACD中，∠CAD=30º，所以∠C=60º，因此△AOC为等边三角形，在Rt△ACD中求出AC的长即可求出圆的半径长. 【详解】解：（1）作图如下： 答：点O即为所求作的点. （2）解：连接AO 在Rt△ACD中，∠CAD=30º ∴，∠ACD=60º ∵AO=CO ∴AO=CO=AC= 答：此弓形所在圆的半径为. 【点睛】本题考查基本几何作图；垂径定理及勾股定理，掌握相关定理灵活应用是本题的解题关键． 21．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽，水面到拱顶距离为，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于．当洪水泛滥时，水面宽时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】不需采取紧急措施，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用，把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，先利用求出半径，再利用勾股定理求出的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断． 【详解】解：如图，连接， 设， 在中，，， 得， 解得， 设，在中，， ， 解得：， (不合题设，舍去)， ， ， 此时不需采取紧急措施． 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 这个紫砂壶的壶口半径为， 23．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【知识点】圆周角定理、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 24．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示： 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷 A 20 B 5 C 10 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到公顷）； （2）先化简下式，再求值：，其中，； （3）如图，已知A，B，C，D是上的四点，延长，相交于点E，若．求证：是等腰三角形．    【答案】（1）（公顷） （2） （3）证明见解析 【知识点】分式化简求值、已知圆内接四边形求角度、求一组数据的平均数 【分析】（1）求出总面积和总人口，再相除即可． （2）先算加法，再约分化简，再代入化简后的代数式求解即可． （3）求出，即可得出． 【详解】（1）解：甲市郊县所有人口的人均耕地面积是： （公顷）． （2）解： ； 当，时． 原式． （3）证明：∵A、D、C、B四点共圆， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是平均数的计算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键． 25．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 【答案】(1)1 (2)；证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、圆周角定理、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解； （2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，即， ， ， ． （2）解：． 证明：在上截取，连接、、、， 是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即． （3）解：如图，当点在下方时，过点作于点， 是圆的直径， ， ，圆的半径为5， ， ， ， ， ． 当点在上方时，，同理易得． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键． 26．根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 情境1 图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．测得公路宽，涵洞直壁高，涵洞顶端高出道路（）（即）． 情境2 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽，涵洞直壁高和涵洞顶端到的距离保持不变．    改造方案 方案一 如图4，将涵洞上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式．    方案二 如图5，将涵洞上半部分劣弧改造成仍为劣弧的形式    问题解决 任务1 按方案一改造 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧所在圆的半径． 任务3 隔离带最大宽度的确定 要使高，宽的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下的最大值（，，结果精确到）． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：的最大值分别为2.4和2.9 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式求解，垂径定理，勾股定理以及线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出，结合算出抛物线的表达式； 任务二：设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结．得出垂直平分，，，在中用勾股定理即可求解； 任务三：（1）按方案一改造．当时，求出，即可求解． （2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为，作于点．由任务二知半径．求出时，的值，在中由勾股定理求出，即可求解； 【详解】任务一：解：如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，， ， 故设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：． ． 任务二：解：如图，设圆心为，劣弧所在圆的半径为，连结交于点，连结． 由题意得垂直平分， ， ，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 即劣弧所在圆的半径为． 任务三： （1）按方案一改造． 解：当时，， 解得：． ． 从而的最大值为2.4． （2）按方案二改造． 解：如图，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为， ， 作于点． 由任务二知半径． 当时，． 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 从而的最大值为2.9． 综上所述，的最大值分别为2.4和2.9． 学科网（北京）股份有限公司 $$