第24章 圆 章节整合练习（25个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第24章 圆 章节整合练习（25个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点15．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点16．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点17．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点18．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点19．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 知识点20．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点21．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点22．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点23．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点24．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点25．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 章节题型整合练习 题型一．圆的认识 1．（2023春•怀远县月考）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 题型二．垂径定理 2．（2024•利辛县开学）如图，在直角中，，，，，分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于，，则的最大值为　　 A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6 3．（2024•蚌埠模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 　　． 题型三．垂径定理的应用 4．（2023•合肥开学）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为　　 A． B． C． D． 5．（2020•安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以为圆心，为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请求出路面的宽度．（精确到 题型四．圆心角、弧、弦的关系 6．（2023•合肥模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为　　 A．5 B．4 C．4.5 D．3 7．（2024•利辛县开学）如图，已知为的直径，弦，，交于．求证：． 题型五．圆周角定理 8．（2024•蜀山区模拟）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•太和县期中）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 题型六．圆内接四边形的性质 10．（2024春•无为市月考）如图，四边形内接于，连接，，，且平分，则错误的结论是　　 A． B． C． D． 11．（2024•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线，相交于点，为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 题型七．相交弦定理 12．（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 题型八．点与圆的位置关系 13．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与轴交于点，点为抛物线的顶点，以点为圆心的半径为2，点为上一动点，点为的中点，则的最大值与最小值和为　　 A． B． C． D．5 14．（2022•庐阳区校级模拟）如图，直角的直角顶点，另一顶点及斜边的中点都在上，已知：，，则的半径为　　． 题型九．三角形的外接圆与外心 15．（2024•安徽模拟）一副三角板如图所示放置，，，，，为的中点，将绕点旋转过程中，的最大值为　　 A． B．2 C．4 D． 16．（2023•怀宁县一模）如图，是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上，若，． ①　　； ②的外接圆的面积为 　　（结果保留． 题型一十．直线与圆的位置关系 17．（2022•琅琊区校级开学）圆的圆心到直线的距离是5厘米，直线与圆有唯一公共点，问圆的半径是多少厘米？　　 A． B． C． D． 18．（2023•黄山二模）如图，矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与、分别交于点、，且． （1）请判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）当　　时，直线与相切（只需填出比值即可）． 题型一十一．切线的性质 19．（2024•安徽一模）如图，在直角三角形中，，，分别是，上两点，以为直径作圆与相切于点，且，．若，，则的长度为　　 A． B． C．5 D． 20．（2024•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 　　． 题型一十二．切线的判定 21．（2024•蚌埠模拟）如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，． （1）求的周长； （2）求证：是的切线． 题型一十三．切线的判定与性质 22．（2023•南陵县校级一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若直径，，求的长． 题型一十四．三角形的内切圆与内心 23．（2024•瑶海区一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是　　 A． B． C． D． 24．（2024•瑶海区校级模拟）如图，在中，，是的内切圆，，，是切点，连接，．交于，两点．点是上的一点，连接，，则的度数是 　　． 题型一十五．正多边形和圆 25．（2024•庐江县二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 26． （2024•安徽模拟）如图，与正六边形的两边，分别相切于，两点，则　 　． 题型一十六．弧长的计算 27．（2024•瑶海区三模）如图，△的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为　　 A． B． C． D． 28．（2024•无为市三模）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　． 题型一十七．扇形面积的计算 29．（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 30．（2024•鸠江区一模）已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径　　． 题型一十八．圆锥的计算 31．（2024•安徽模拟）如图，以正方形纸片的顶点为圆心，长为半径画弧，得到扇形纸片，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为　　 A． B． C． D．1 32．（2024•淮北一模）如图，圆锥底面半径为，母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为 　　． 题型一十九．圆柱的计算 33．（2020•瑶海区校级模拟）如图，和是圆柱的两条高，现将它过点用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与的交点为，连接，已知该圆柱的底面半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则的值为　　． 题型二十．生活中的旋转现象 34．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是　　 A． B． C． D． 题型二十一．旋转的性质 35．（2024秋•太和县期中）如图，是等边△内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是　　 A．△可以由△绕点逆时针旋转得到 B．点与的距离为5 C． D． 36．（2024秋•太和县期中）如图，在△中，，，，在直线上，将△绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1） 　　； （2）猜想： 　　； （3）连接，求△的面积． 题型二十二．旋转对称图形 37．（界首市校级期末）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为　　 A． B． C． D． 题型二十三．中心对称 38．（2021•安徽）如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为　　 A． B． C． D． 题型二十四．中心对称图形 39．（2024•镜湖区一模）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　　 A．2 B．4 C． D． 题型二十五．作图-旋转变换 40．（2024•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，． （1）以点为旋转中心，将旋转得到△，画出△； （2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆 章节整合练习（25个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点15．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点16．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点17．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点18．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点19．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 知识点20．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点21．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点22．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点23．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点24．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点25．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 章节题型整合练习 题型一．圆的认识 1．（2023春•怀远县月考）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【分析】当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可． 【解答】解：连接， 点和关于对称， ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 当，，三点共线时，最短， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点在以为圆心，3为半径的圆上． 题型二．垂径定理 2．（2024•利辛县开学）如图，在直角中，，，，，分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于，，则的最大值为　　 A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6 【答案】 【分析】作于，根据垂线段最短，当经过圆心时，最小，根据垂径定理，勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，作于， ，，， ， ， ， ， 根据垂线段最短，当经过圆心时，最小，有最大值， ， 连接， ， 根据垂径定理，得， 故选． 【点评】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，过作于，作于，连接，，得出、、三点在一条直线上最小是解题的关键． 3．（2024•蚌埠模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出． 【解答】解：连接，如图所示： ，， ， 设的半径， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 题型三．垂径定理的应用 4．（2023•合肥开学）有创新意识的小亮同学将自行车轮胎如图放置在台阶直角处，他测量了台阶高为，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离为，请帮小亮计算此轮胎的直径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，作，根据勾股定理得进而即可求解． 【解答】解：如图，自行车轮胎为，连接，作， ， ，， ， ， ， 轮胎的直径为． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键． 5．（2020•安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以为圆心，为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请求出路面的宽度．（精确到 【分析】连接，求出和，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出即可． 【解答】解：如图，连接，交于， 由题意知：， 所以， ， 由题意可知：， 过， ， 在中，由勾股定理得：， ， 所以路面的宽度为． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 题型四．圆心角、弧、弦的关系 6．（2023•合肥模拟）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为　　 A．5 B．4 C．4.5 D．3 【答案】 【分析】连接，首先证明，设，在△中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在△中，则有， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．（2024•利辛县开学）如图，已知为的直径，弦，，交于．求证：． 【答案】见解析． 【分析】连接，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得，即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接， 为的直径，弦， ， ， 弧弧， ， ． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键． 题型五．圆周角定理 8．（2024•蜀山区模拟）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【解答】解：如图所示，连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． 9．（2024秋•太和县期中）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，因此，判定平分． （2）由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 平分． （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，等腰三角形的性质推出；由垂径定理，勾股定理求出的长． 题型六．圆内接四边形的性质 10．（2024春•无为市月考）如图，四边形内接于，连接，，，且平分，则错误的结论是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】无法证明，故可判断；由平分可得，故可判断；由圆内接四边形的性质可判断；由垂径定理可判断． 【解答】解：、无法证明，故选项错误，符合题意； 、平分， ， ，故选项正确，不符合题意； 、四边形内接于， ，故选项正确，不符合题意； 、平分， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，关键是相关知识点的熟练掌握． 11．（2024•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线，相交于点，为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）根据及三角形的外角定理得，再根据可得出结论； （2）作于，先证明得，则，，进而得，由此可证明和全等，则，进而得，然后证明得，则，进而得，据此可得的值． 【解答】（1）证明：，， 又， ， 即， ， ， （2）解：作于，如图所示： ， ， 又， ， 由（1）可知：， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 题型七．相交弦定理 12．（2022•南陵县自主招生）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明； （2）连接、，由于是的中点，由垂径定理得，利用勾股定理可求出的值，根据（1）的结论，求出． 【解答】解：（1），， ， 即． （2）连接并延长，交圆于点、，连接，， ，， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了与的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 题型八．点与圆的位置关系 13．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与轴交于点，点为抛物线的顶点，以点为圆心的半径为2，点为上一动点，点为的中点，则的最大值与最小值和为　　 A． B． C． D．5 【答案】 【分析】为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大或最小． 【解答】解：如图，连接． 因为为中点，为中点， 所以是的中位线，则，当最大时，则最大． 由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大． ，， ， 的最大值为，的最小值， 的最大值为．的最小值为， 的最大值与最小值的和为5． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题． 14．（2022•庐阳区校级模拟）如图，直角的直角顶点，另一顶点及斜边的中点都在上，已知：，，则的半径为　　． 【分析】如图连接、、，延长交于，设半径为，先证明，，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图连接、、，延长交于，设半径为． 在中，，，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型九．三角形的外接圆与外心 15．（2024•安徽模拟）一副三角板如图所示放置，，，，，为的中点，将绕点旋转过程中，的最大值为　　 A． B．2 C．4 D． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，先求出、的长，即可求出的长，利用勾股定理求出的长，再证为的中位线，即可求出的长，根据三角形三边关系定理即可求出的最大值． 【解答】解：取的中点，连接、， ，，， ， 由勾股定理得， ， ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，最大， 的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理，三角形三边关系定理，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2023•怀宁县一模）如图，是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上，若，． ①　　； ②的外接圆的面积为 　　（结果保留． 【答案】①6； ②． 【分析】①根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，过点作于，解直角三角形即可得到结论；②设的外接圆与交于，连接，根据圆周角定理得到是的外接圆的直径，设，，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：①将沿直线折叠，点的对应点恰好落在的外接圆上， ， ， ， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②设的外接圆与交于，连接， ， 是的外接圆的直径， ， ， 设，， ， ， ， 的外接圆的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型一十．直线与圆的位置关系 17．（2022•琅琊区校级开学）圆的圆心到直线的距离是5厘米，直线与圆有唯一公共点，问圆的半径是多少厘米？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直线和相切，解决问题即可． 【解答】解：直线与有唯一公共点， 直线与相切， ， 答：的半径为． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（2023•黄山二模）如图，矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与、分别交于点、，且． （1）请判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）当　　时，直线与相切（只需填出比值即可）． 【答案】（1）与相切，证明见解析； （2）． 【分析】（1）连接，则是半径，结合矩形性质易证即，即可求得，即，即可证得结论； （2）如图，当直线与相切时，假设直线与相切于点，易证，可得，即，求得，在中，，求得，结合矩形性质即可求解． 【解答】解：（1）与相切， 证明：连接， 与交于点， 是半径， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 与相切； （2）如图，当直线与相切时， 假设直线与相切于点， 由（1）可知与相切， ， ，， ， ， ， ， 由矩形性质可知，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，切线的证明和性质，全等三角形的判定和性质的应用，依据特殊角的三角函数值求解；解题的关键是熟练掌握相关知识，综合求解． 题型一十一．切线的性质 19．（2024•安徽一模）如图，在直角三角形中，，，分别是，上两点，以为直径作圆与相切于点，且，．若，，则的长度为　　 A． B． C．5 D． 【答案】 【分析】连接，由可得为的直径，即，即可证明，得到，求出，再利用勾股定理即可得到的长度． 【解答】解：连接， ， ， 为的直径， 与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，推导出是的直径是解题的关键． 20．（2024•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接、，则，由，，得，所以，则，由为的直径，得，则，求得，由切线的性质得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、，则， ， ，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等往右，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型一十二．切线的判定 21．（2024•蚌埠模拟）如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，． （1）求的周长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据题意推出，根据相似三角形的性质推出，则的直径为4，根据圆的周长公式求解即可； （2）连接，结合（1）等量代换得到，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质推出，根据切线的判定定理即可得解． 【解答】（1）解：， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 的周长； （2）证明：连接， 由（1）得，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． 题型一十三．切线的判定与性质 22．（2023•南陵县校级一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若直径，，求的长． 【答案】（1）见解答（2）． 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又． ， 即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 题型一十四．三角形的内切圆与内心 23．（2024•瑶海区一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出，得，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：为的内心， ，， ， ， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 24．（2024•瑶海区校级模拟）如图，在中，，是的内切圆，，，是切点，连接，．交于，两点．点是上的一点，连接，，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案． 【解答】解：是的内切圆， ，是的角平分线， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 题型一十五．正多边形和圆 25．（2024•庐江县二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出正五边形的内角度数，由圆的内接四边形对角互补，求出，再利用三角形内角和求出答案即可． 【解答】解：正五边形的内角和为， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 在三角形中， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 26． （2024•安徽模拟）如图，与正六边形的两边，分别相切于，两点，则　 　． 【答案】120． 【分析】先根据六边形的内角和求，由切线的性质得：，最后利用五边形的内角和相减可得结论． 【解答】解：正六边形的内角， ， ，分别相切于，两点， ， 正五边形的内角和是， ， 故答案为：120． 【点评】本题考查了正多边形和圆，切线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型一十六．弧长的计算 27．（2024•瑶海区三模）如图，△的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，首先根据圆周角定理由求出，再由求出，进而利用三角形外角的性质求出，再求出，确定△是等边三角形，进而根据求出半径长，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， △是等边三角形， ， 的长为：． 故选：． 【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是正确添加辅助线． 28．（2024•无为市三模）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　． 【答案】． 【分析】连接，根据垂径定理，知，设圆的半径为，根据勾股定理求出，计算求出答案． 【解答】解：连接，如图： 是的弦中点，， ， ，，共线， ， ， 设圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理， 得， 即， 解得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度． 题型一十七．扇形面积的计算 29．（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用扇形面积公式，根据即可求解． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 30．（2024•鸠江区一模）已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径　　． 【分析】根据扇形的面积公式解答即可． 【解答】解：根据题意得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 题型一十八．圆锥的计算 31．（2024•安徽模拟）如图，以正方形纸片的顶点为圆心，长为半径画弧，得到扇形纸片，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 32．（2024•淮北一模）如图，圆锥底面半径为，母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则的值为 　　． 【分析】直接根据弧长公式即可得出结论． 【解答】解：圆锥底面半径为，母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形， ， 解得． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键． 题型一十九．圆柱的计算 33．（2020•瑶海区校级模拟）如图，和是圆柱的两条高，现将它过点用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与的交点为，连接，已知该圆柱的底面半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则的值为　　． 【分析】根据题意得出线段上面部分的体积是该圆柱体积的，线段下面部分的体积是该圆柱体积的，即可得出的长，进而求出即可． 【解答】解：过点作于点， 如图所示：截去部分的体积是该圆柱体积的， 线段上面部分的体积是该圆柱体积的， 线段下面部分的体积是该圆柱体积的， ， ， 圆柱的底面半径为2，则， ． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了圆柱体的计算以及锐角三角函数应用等知识，根据题意得出各部分的体积比是解题关键． 题型二十．生活中的旋转现象 34．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【解答】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转后得到的图片是． 故选：． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键． 题型二十一．旋转的性质 35．（2024秋•太和县期中）如图，是等边△内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是　　 A．△可以由△绕点逆时针旋转得到 B．点与的距离为5 C． D． 【答案】 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明△△，即可判断选项正确，证明△是等边三角形，即可判断选项错误；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证△是直角三角形，即可判断选项正确；将△绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置，连接，过点作，垂足为，可求△和△的面积，即可判断选项正确． 【解答】解：如图所示： △为正三角形， ，， 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 又，， △△， 又， △可以由△绕点逆时针旋转得到，故选项正确； 连接， ，， △是等边三角形， ，故选项错误； △△， ， 在△中，，， ， △是直角三角形，， ，故选项正确； 如图所示：将△绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至，连接， ，，， △是等边三角形， ， ，， ， △是直角三角形，且， ，； ，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 36．（2024秋•太和县期中）如图，在△中，，，，在直线上，将△绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1） 　　； （2）猜想： 　　； （3）连接，求△的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）△的面积为． 【分析】（1）根据规律可得； （2）求出△周长为，可知； （3）求出，再用三角形面积公式可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，； 故答案为：； （2）根据题意知，△周长为， ， ； 故答案为：； （3）， ， ； △的面积为． 【点评】本题考查直角三角形的旋转问题，解题的关键是找到图形的变化规律． 题型二十二．旋转对称图形 37．（界首市校级期末）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答． 【解答】解：正六边形被平分成六部分， 因而每部分被分成的圆心角是， 因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合． 则最小值为60度． 故选：． 【点评】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 题型二十三．中心对称 38．（2021•安徽）如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，即可． 【解答】解：如图，连接，． 四边形是菱形，， ，，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 同法可证，，，都是等边三角形， ，， 四边形的周长， 故选：． 【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型二十四．中心对称图形 39．（2024•镜湖区一模）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　　 A．2 B．4 C． D． 【答案】 【分析】在直角中根据角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解． 【解答】解：在中，，， ， 根据中心对称的性质得到． 故选：． 【点评】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 题型二十五．作图-旋转变换 40．（2024•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，． （1）以点为旋转中心，将旋转得到△，画出△； （2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）40； （3）． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可； （3）根据，利用等腰三角形的性质解决问题（答案不唯一）． 【解答】解：（1）如图，画出△； （2）以，，，为顶点的四边形的面积； （3）如图，点即为所求（答案不唯一），点的坐标． 【点评】本题考查作图旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会用分割法求四边形面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$