湘教版数学九年级上册（新）教案：4.1.2 正弦和余弦的相互关系公式
课题 | 正弦和余弦的相互关系公式 | ||||
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教学目标 | 知识与技能：使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题。 过程与方法：通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力。 情感态度与价值观：培养学生运用知识结构总结问题的能力。 | ||||
重点 | 公式的推导和应用 | ||||
难点 | 公式的应用 | ||||
教学方法 |
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| 教具 |
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教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 （投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c＞a，c＞b 答：（1）边的关系：②a+b＞c，… ③a2+b2=c2. （2）角的关系：∠A+∠B=90°. （3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，… 教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题） 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1．复习特殊角三角函数值. （边问边按下列格式白板演示） sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？ 答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°. 2．从特殊到一般提出猜想. 猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，cosA=sinB. 3．证明猜想，形成公式. （采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.） 互为余角的正、余弦的相互关系： （1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB. （2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）. （3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. |
个案修改 |
练习1（口答） sin37°=cos ； cos62°=sin ； sin47°-cos43°= ； 4．应用公式，变式练习. 例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB； （2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°； （3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇. 分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式. 三、sin2A+cos2A=1的教学过程 1． 从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式 （投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°. 复习：a+b＞c，a2+b2=c2. 引导： 发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1. 由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角） （1）sinA+cosA>1，（了解） （2）sin2A+cos2A=1.（重点） 对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用. 2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形. sin2A+cos2A=1， sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA）， sinA= cosA= 3． 解公式成立的条件. 4． 应用举例，变式练习. 练习2（口答）下列等式是否成立？ （1）sin230°+cos245°=1； （2）sin237°+sin253°=1； （3）cos256°+sin256°=1； （4）sin246°+cos246°=1； （5）sin2α+sin2（90°-α）=1. 例2 已知∠A为锐角，且cosA= 解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以 sinA= 教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同 |
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