第一章 三角形的证明 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 三角形的证明（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．13，14，15 2．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 3．如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如图所示，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于点N，若，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 7．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 8．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 10．如图，在中，平分则的面积为 ．    11．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 12．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 13．如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 15．如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上． (1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰． (2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰． 16．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 18．如图，在中，，，交于点D．动点P从点C出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为．    (1)求边上的高； (2)当点P在边上运动时，若是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）． 20．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 21．已知，如图，在中，，，，点D是边上的一点，，作射线，点E在射线上，按顺时针方向作等腰直角，连接，当时， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 23．如图，等边三角形的边长为4，点O为中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 25．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“黄金线”．    (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形______（填“存在”或“不存在”）“黄金线”，若存在，直接写出两个等腰三角形顶角的度数；若不存在，请说明理由； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“黄金线”； (3)如图3，已知中，，是三角形的“黄金线”，且． ①求∠C的度数． ②若，，求的长． 26．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．13，14，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可判断． 【详解】解：A、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； D、∵，∴组成的三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 2．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．故选：A． 3．如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，两个底角相等，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角为， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B ． 4．如图所示，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于点N，若，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，然后利用，即可求出的值． 【详解】∵BE平分 ，CE平分 ∴ ∵，∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答本题的关键．先根据中，，求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出，即即可解答． 【详解】解：等腰中，，， ， 是线段垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】A 【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 【详解】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． 7．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 10．如图，在中，平分则的面积为 ．    【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据在中，平分且，得出，再结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作，    ∵在中，平分且， ∴， ∴的面积， 故答案为：34． 11．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的定义，三角形的三边关系，是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当5是腰时， ∵， ∴能构成三角形． ∴周长为：． 当2是腰长时， ∵， ∴不能构成三角形． 故答案为：12． 12．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的定义，分为腰及为腰两种情况，求出点的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点的坐标，即可得出点的坐标，综上所述，即可得出结论． 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． 13．如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据证明，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2)32 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 15．如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上． (1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰． (2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，和勾股定理，正确利用网格结合勾股定理及其逆定理分析是解题关键． （1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． 【详解】（1）如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ，为以为腰的等腰三角形． （2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ，为以为底的等腰三角形． 16．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，得到，由得到，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）如图，在上截取，连接， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形． 18．如图，在中，，，交于点D．动点P从点C出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为．    (1)求边上的高； (2)当点P在边上运动时，若是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)；(2)t的值为或或 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积计算，等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）作于H．根据勾股定理求解即可． （2）先根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出；根据点P在上，得出，分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，作于H，    ∵， ∴， ∴， ∴边上的高为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，， ①如图中，当时，    ∴， 解得：； ②如图中，当时，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ③如图中，当时，过点D作于H．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线过，，再求解一次函数的解析式即可． 【详解】解：如图，直线过，， ∴为等腰直角三角形， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 故答案为：，（答案不唯一．） 20．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是 ． 【答案】3 【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再利用面积求解即可． 【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线上的点到角两边的距离相等． 21．已知，如图，在中，，，，点D是边上的一点，，作射线，点E在射线上，按顺时针方向作等腰直角，连接，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接交于点，证明，推出，，再证明是等边三角形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质与含度角的直角三角形的性质，分别求得前几个点的坐标，找到规律，即可求解． 【详解】解：，，…都是等边三角形，， ∵，， ， ， ，则的纵坐标为， ， ，则的纵坐标为， 同理可得，则的纵坐标为， …… ∴的纵坐标是 故答案为：． 23．如图，等边三角形的边长为4，点O为中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．证明点E在的外角平分线上，推出当时，的长度最小，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的等边三角形，点O是的中点，∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的外角平分线上， ∴当时，的长度最小， ∵，，∴， ∴，∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析；(2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据的面积是16，，可求出，从而可得，然后再利用 的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴ ， ∴， ∴线段与的长度之和为20. 25．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“黄金线”．    (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形______（填“存在”或“不存在”）“黄金线”，若存在，直接写出两个等腰三角形顶角的度数；若不存在，请说明理由； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“黄金线”； (3)如图3，已知中，，是三角形的“黄金线”，且． ①求∠C的度数． ②若，，求的长． 【答案】(1)存在；见解析；(2)见解析；(3)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）从三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形； （2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得； （3）①由是三角形的“黄金线”，且．得，，从而求得；②过点作于点，中，，中，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：存在“黄金线”， 线段是的“黄金线”，每个等腰三角形各角的度数如图： 等腰的顶角为，等腰的顶角为；    故答案为：存在； （2）证明：线段的垂直平分线交于点， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的一条“黄金线”； （3）解：①是三角形的“黄金线”，且． ， ， ， ； ②过点作于点， ， ， 设为， 中，， 中，， ， 解得，， ． 26．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵，∴， 故答案为：； 结论2：∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$