第一章 三角形的证明 （B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 三角形的证明（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点Q是边上的任意一点，则的长度不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及点到直线的距离，根据角平分线上的点到角两边距离相等，再根据垂线段最短逐个判断即可得到答案． 【详解】解：∵点在的角平分线上，点到边的距离等于， ∴点到边的距离等于， ∴， 故选：C． 2．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，角的和差计算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：    ∴， ∴； 故选C． 3．如图，在中，，边上有一点，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边对等角，设，根据等边对等角得，由三角形外角的性质得，继而得到，根据三角形内角和得，进一步得，再根据等边对等角得，求解即可．利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：B． 4．下列命题中属于真命题的个数是（      ） ①三角形的一个外角大于三角形的每一个内角； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③有两边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等； ④如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的判定．解题的关键是根据三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定及等边对等角依次对各个命题进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题，不符合题意； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题，不符合题意； ③有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题，不符合题意； ④如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形原命题是真命题，符合题意； ∴属于真命题的个数是1个． 故选：A． 5．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：C． 6．如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，所以可知，根据等边对等角可知，利用三角形内角和定理可以求出的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，所以可知，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、解决本题的关键是根据尺规作图判断直线是线段的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质找边和角之间的关系． 7．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形， 又，， ，， ， 故选：C． 8．如图，在中，，、分别是、边上的点，作于，于，若，，则下列结论错误的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，连接，由于R，于S，得，可根据“”证明，得，可判断B不符合题意，由，得，则，所以，由，得，推导出，则，所以，则，可判断A不符合题意；由，根据“”证明，可判断C不符合题意；若，则，与已知条件不符，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵于R，于S， ∴， 在和中， ∴， ∴，故B不符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，即，故C不符合题意； 若，则，与已知条件不符， ∴与不一定相等， ∴这一结论是错误的，故D符合题意， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于6，它的周长是 ． 【答案】或 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． ②当腰为时，，能构成三角形，周长是：； 故答案为：或． 10．如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：40． 11．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10，6，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形性质和勾股定理． 根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形面积由此即可解题． 【详解】解：过点D作，垂足为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵10，6， ∴， 故答案为4． 13．如图，为边上的一点，且，，已知，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边对等角和等角对等边，作辅助线构造出直角三角形和等腰三角形是解题的关键．过点作于，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据等边对等角求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，根据等角对等边可得，根据求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，根据等角对等边可得，最后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，连接； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知：如图，，点在上． (1)在射线上找一点，使； (2)在的内部找一点，使到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求； （2）连接，由题意可得为等边三角形，作平分交于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图：点即为所求， ． 15．如图，已知是等腰直角三角形，，D为的中点，E为上一点，，F为上一点，，且．    (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出的长，过点作于，然后求出、，再利用勾股定理列式求出的长，在中，利用勾股定理列式求解即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可得四边形的面积，再求解即可． 【详解】（1）：为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 过点作于，    则， ， 在中，， 故； （2）解：， ，， 四边形的面积， ，， ， ， D为的中点， ， 四边形的面积 16．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接与交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得，可得，即可证明结论； （2）结合（1）的结论，可证明，可得，可证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）可知，在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 17．如图，在等腰中，，点是上的点，点是延长线上的点，连接交于点，已知恰好是的中点；过点向作垂线交于． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）作交于，可证，得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质得到，即得，得到，即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：作交于，则， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）若，可得， ，再根据角平分线的性质即可求解； （2）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （3）如图3，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（2）可得，然后根据三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证． 【详解】（1）解：若，则，， ，， 平分， ， 故答案为：； （2）证明：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，在上取， 是等腰三角形，， ， 平分， ， ，， ， 由（2）可得，， ， ， ，， ， ， 即． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据，可得，，根据三角形的外角性质可知；进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数； 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 20．已知为等边三角形，为的高，点E在延长线上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，外角的性质，先由等边三角形的性质得，，再由得，再由外角的性质得，进而得，即可得的长和等边三角形的边长，进而可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，即的面积， ∵， ∴， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴，即的面积， 依次类推，，即的面积， ，即的面积，…， ∴，的面积， 故答案为：． 22．如图，在中，，，，以为边作等边三角形，连接，则的值为 ． 【答案】40或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，结合题意作图图形，并分情况讨论是解题关键．分两种情况讨论，当等边在的上方时，在的上方作等边，连接，证明，推出，再利用勾股定理求解即可；当等边在的下方时，在的下方作等边，连接并延长交于点，推出是等边的角平分线，据此求解即可． 【详解】解：当等边在的上方时，在的上方作等边，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当等边在的下方时，在的下方作等边，连接并延长交于点， 同理， ∴，， ∴， ∴是等边的角平分线， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：40或． 23．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在中，，点在边上，， (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，，详见解析 【分析】(1)由条件得到直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一边，再利用等腰三角形的性质，等角对等边，从而可证得结果； (2)通过作辅助线，得到,再利用，得到为等边三角形，从而可得到结果． 【详解】（1）证明：当时， ， ， ， 且， ， ， ， ； （2）解：当时，，理由如下： 取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质的应用，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 25．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 26．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点Q是边上的任意一点，则的长度不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D． 2．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，边上有一点，使得，则（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中属于真命题的个数是（      ） ①三角形的一个外角大于三角形的每一个内角； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③有两边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等； ④如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 6．如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，、分别是、边上的点，作于，于，若，，则下列结论错误的（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于6，它的周长是 ． 10．如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ． 11．如图，为边上的一点，且，，已知，，则的长度为 ． 12．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 13．如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10，6，则 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知：如图，，点在上． (1)在射线上找一点，使； (2)在的内部找一点，使到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 15．如图，已知是等腰直角三角形，，D为的中点，E为上一点，，F为上一点，，且．    (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 16．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接与交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 17．如图，在等腰中，，点是上的点，点是延长线上的点，连接交于点，已知恰好是的中点；过点向作垂线交于． (1)求证：； (2)当时，求的长． 18．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证： B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 20．已知为等边三角形，为的高，点E在延长线上，且，若，则 ． 21．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 22．如图，在中，，，，以为边作等边三角形，连接，则的值为 ． 23．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，在中，，点在边上，， (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由． 25．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 26．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． / 学科网（北京）股份有限公司 $$