17.2 一元二次方程的解法（第1课时 直接开平方法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.2 一元二次方程的解法 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方程进行直接开平方法求解； 2.掌握形如ax2+c=0和e(ax+m)2+n=p的一元二次方程的解法； 3.通过探究和学习直接开平方法的过程，使学生体会“换元”与“分类讨论”的数学思想； 4. 经历运用直接开平方法解一元二次方程的过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值. 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.如果 x2=64 ,则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 情景导入 新知探究 以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比如，求 x2=9中x的值． 它的解法，就是开平方，即 所以直接开平方就可求得方程 x2=9 的两个根：x1=3， x2= –3. 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, ∵负数没有平方根，∴原方程无解. 新知探究 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 探究归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 例题讲解 在解方程(1)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: (x+3)2=5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 探究交流 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 总结归纳 例2 解下列方程： (1) 即x1=3，x2=-1. 解：移项，得 ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. ∴ x1= ， x2= (2) 解： 移项，得 两边都除以12，得 ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5. 例题讲解 课堂练习 直接开平方解下列方程： (1)x2=25 (2) x2 – 0.81=0 (3) 3(x +1) 2 =48 (4) 2(x –2) 2 – 4=0 解： (1) x1=5， x2= – 5 (2) x1= 0.9 ， x2= – 0.9 (3) 把原方程两边同除以3，得(x +1) 2 =16.直接开平方，得x +1=±4. 所以原方程的根是x1=3，x2= – 5. (4)原方程可化为(x –2)2 =2. 直接开平方，得x–2=± . 所以原方程的根是x1=， x2= . 分层练习 知识点1 方程的解法 1.[2024厦门期中] 关于的一元二次方程 的根是( ) B A. B.， C. D. 2.若2是关于的方程 的一个根，则这个方程的另一 个根是( ) A A. B. C. D. 3.解方程： （1） ； 【解】 , ， ， ， . （2） . （2） ， ， ， ， ， . 知识点2 方程的解法 4.若，则 等于( ) D A.4 B. C. D. 或4 5.[2024太原五中期末] 如果关于的方程 可 以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 6.下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤 最先出错的是( ) A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.[2024南京阶段练习] 如图，数轴上点， 分别表示方程 的两个根， ，它们在数轴上的 对应点的位置可以是( ) D A. B. C. D. 【点拨】， ， ,， . ，, . ， ， ， ， 它们在数轴上的对应点的位置可以是D. 8.解方程： （1） ; 【解】 ， ， ， . （2） . ， ， ， ， . 易错点 因开平方时漏掉负根而致错 9.阅读下列解答过程，并完成问题. 解方程： . 解： ，① .② .③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤____（填序号）， 原因是 _____________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ________________ ，请写出正确的解答过程. ② 【解】正数的平方根有两个，它们互为相反数 正确的解答过程如下： ,或 . 或 . 直接开平方法利用的是平方根的意义，注意不要只 取正的平方根而遗漏负的平方根. 10.[2024合肥期中] 已知关于的方程 ，，为常数，的解是，，那么方程 的解为( ) D A.， B.， C.， D.， 【点拨】 关于的方程，， 为常 数，的解是， ，方程 可变形为 ， 或，解得或 . 11. 给出一种运算：对于函数 ，规定. 例如：若函数，则有 .已知函数 ，当的值是____________时，对应的 . 或 【点拨】 对于函数，规定， 函数 对应的 ， 令，解得， . 12.[2024广州] 定义新运算： 例如：， .若 ，则 的值为_______. 或 【点拨】 ， 当时， ， 解得或 （不合题意，舍去）； 当时，，解得 . 综上，的值为或 . 13.[2024临沂一模] 对于实数，，我们用符号, 表 示，两数中较大的数，如 ，若 ，则 ______. 1或0 【点拨】当 时，不可能得出最大值为1； 当时，则 ； 当时，则 ， 解得（不符合题意，舍去）， . 综上所述， 的值为1或0. 14.先化简，再求值：，其中 是一元二次方 程 的解. 【解】原式 . , . ， 原式 . 15. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元 二次方程 的一个根，试求三角形的周长. 【解】由方程，得或 . 根据三角形的三边关系可知，三角形的三边长为3，6，7. 故三角形的周长为 . 16.将4个数，，， 排成2行、2列，两边各加一条竖直线 记成,规定 ，上述记法就叫做二阶行列 式.若，求 的值. 【解】由题意得 ， 整理得，，解得， . 17.（1）若,求 的值； 【解】两边开平方得 , 即或 . 因为，所以 . （2）如果,求 的值. 设 ， 则,所以,所以 . 所以或 （舍去）. 所以 . 课堂小结 直接开平方法 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$