第02讲 二次根式的乘除（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第02讲 二次根式的乘除 【题型1 二次根式的乘法运算】 【题型2 二次根式的除法运算】 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【题型4 最简二次根式的判定】 【题型5 化简二次根式】 【题型6 已知最简二次根式求参数】 考点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算: (1)-5×3； (2)(a>0，b>0). 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ×； (2)4×； (3)6×（﹣3）； (4)3×2． 【变式1-3】（23-24八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 考点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2-2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 考点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 化简二次根式】 【典例5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简的结果是（    ） A．10 B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（    ） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式6-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【变式6-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的值为 （   ） A．2 B． C． D． 5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知数列，，，，…，则是它的（    ） A．第19项 B．第22项 C．第25项 D．第28项 二、填空题 6．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 7．（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）计算： ． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简： ． 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ． 三．解答题 10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 【题型1 二次根式的乘法运算】 【题型2 二次根式的除法运算】 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【题型4 最简二次根式的判定】 【题型5 化简二次根式】 【题型6 已知最简二次根式求参数】 考点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4)6000 【分析】（1）根据，开方计算即可． （2）根据，开方计算即可． （3）根据，开方计算即可． （4）根据，开方计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4） ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算: (1)-5×3； (2)(a>0，b>0). 【答案】(1)-30；(2) . 【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则结合二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）直接利用二次根式的乘法法则进行计算即可. 【详解】(1) -5×3=-15=-15=-15×=-30； (2) . 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键. 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)×； (2)4×； (3)6×（﹣3）； (4)3×2． 【答案】(1)4 (2)4 (3)-72 (4)30 【分析】根据二次根式的乘法进行求解各个小题即可． 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1-3】（23-24八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 考点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式2-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【变式2-2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． 考点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：，即A不是最简二次根式，不符合题意； ，即B不是最简二次根式，不符合题意； ，即C不是最简二次根式，不符合题意； 无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式；     B．是最简二次根式；     C．中被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式．     故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放开的尽的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【题型5 化简二次根式】 【典例5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵，， ∴可以表示为；． 故选：C． 【变式5-1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简的结果是（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次根式的性质与化简．化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．将20转化为的形式，然后化简即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（    ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式、解一元一次方程，根据最简二次根式的定义可得，再求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，， ∴， 解得， 故选：B． 【变式6-1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 【变式6-3】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可：（1）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，（2）被开方数不能含有分母． 【详解】解：、，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的值为 （   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的乘法运算，把化为，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知数列，，，，…，则是它的（    ） A．第19项 B．第22项 C．第25项 D．第28项 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律． 通过观察得出第项为：，再根据，得出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵数列①，②，③，④，…， ∴通过观察可得：第项为， ∵， ∴， 解得：， ∴是它的第项． 故选：C． 二、填空题 6．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】1 【分析】由最简二次根式与能合并可得，计算即可. 【详解】解：最简二次根式与能合并， ∴， 解得 , 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键. 7．（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法计算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·上海普陀·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 三．解答题 10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$