第01讲 二次根式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-3】（23-24八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【变式2-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（23-24八年级下·全国·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【变式5-1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【变式5-2】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（24-25八年级上·陕西西安·期中）若，则x的值为（   ） A． B．4 C．16 D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 7．（24-25八年级上·四川·期中）已知m，n为实数，且，则 ． 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点在第四象限，化简 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 10．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 【变式1-2】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【变式1-3】（23-24八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式求值；把a的值代入二次根式求值即可． 【详解】解：时，； 故选：B． 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式2-1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 【变式2-2】（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，且是整数，是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，，且是整数， ∴的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（23-24八年级下·全国·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．首先根据二次根式中被开方数为非负数可得，根据分式的分母不为可得，从而可得函数中，自变量的取值范围． 【详解】解：中是被开方数， ， ， 中是分母， ， ， 函数中，自变量的取值范围是且． 故选：D ． 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ； 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 【变式4-3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 【答案】． 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出x的取值范围是解题关键．首先利用三角形三边关系得出的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ∴，即， ∴，， ∴． 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式5-2】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式5-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先变形得到，根据题意必须是的正奇数次方，所以满足条件的最小正整数n为． 【详解】解：，而是整数， 最小正整数n为， 故选：． 4.（24-25八年级上·陕西西安·期中）若，则x的值为（   ） A． B．4 C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、二次根式和绝对值的化简、合并同类项，先由数轴知，，则，再利用二次根式和绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，，则， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 7．（24-25八年级上·四川·期中）已知m，n为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．先由得且，即可得出的值，再将的值代入可得的值，最后将、的值代入即可得解． 【详解】解：由得： 且， 解得：， 将代入得： ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点在第四象限，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，坐标系中各象限坐标的特点，牢记第四象限的点满足横、纵坐标，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 根据第四象限的点满足横、纵坐标，得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：点在第四象限， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 10．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$