专题03 二次根式的加减（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题03 二次根式的加减（六大题型） 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 【题型1 同类二次根式的相关概念】 1.（23-24八年级上·河南漯河·期末）下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，此项错误； B、，与是同类二次根式，此项正确； C、，与不是同类二次根式，此项错误； D、，与不是同类二次根式，此项错误； 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：，与可以合并， ，与可以合并； ，与不可以合并； 则与可以合并的个数有2个． 故选：C． 3．（2022八年级上·四川成都·专题练习）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意； B、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得． 【详解】解： ， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 【题型2 二次根式的加减】 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键． 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值以及二次根式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类二次根式，即可作答． （2）分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的开平方运算和完全平方公式及平方差公式是解题的关键． （1）将二次根式先开平方再利用二次根式加减运算即可得到答案； （2）将式子根据平方差公式变形，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． 12．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】原式． 13．（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 【题型3 二次根式的混合运算】 14．（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则，乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）先化简各二次根式和绝对值，再合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键； （1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解； （2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）解下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算； （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法； （2）先用平方差公式计算，同时进行除法计算，最后计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先乘方，除法，利用二次根式和绝对值的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= 19．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先说明，再根据平方差公式以及二次根式的性质化简，最后再按二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的混合运算； （1）先化简各二次根式，求解立方根，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法运算，化简二次根式，再合并即可； （3）先计算零次幂，化简二次根式，化简绝对值，计算算术平方根，再合并即可； （4）先计算二次根式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【题型4 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ． 22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．先因式分解，后变除法为乘法，约分化简，后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)22 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式可计算出答案； （2）将原式变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：已知， 那么 （2）解：原式= 其中， 那么原式 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键． （1）根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解即可； （2）先分母有理数求得a值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式 ． （2）∵， ∴， ∴ ． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， （1）将和的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可； （2）先将转化为，然后和的值代入计算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 【题型5 二次根式的实际应用】 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差即可求解． 【详解】（1）解长方体体积相同，高相同， 甲、乙底面积相同． ． ， ． ． 甲盒子的侧面积； （2）解：①由②可知， 故答案为：； ②由题意，， ， 均为非负数，， ， 即， ． ， ， ． 28．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，然后求和即可得到答案； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形的边长； （2）解：∵大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 29．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． (2)求剩余木料的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可； （2）利用面积公式进行计算即可； 本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为： , ． （2）这两个正方形的边长分别为：， ∴剩余木料的面积为． 30．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）． (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴______． 根据海伦公式可得：______． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则即可求解； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 31．（23-24八年级下·河南周口·期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）    (1)求肇事汽车的速度； (2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)没有超速，理由见解析 【分析】（1）将，代入公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，根据题意，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：∵肇事汽车的速度为 ∴肇事汽车没有超速． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【题型6 分母有理化】 32．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 33．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据平方差公式计算； （2）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 35．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 36．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 37．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减（六大题型） 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 【题型1 同类二次根式的相关概念】 1.（23-24八年级上·河南漯河·期末）下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2022八年级上·四川成都·专题练习）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 6．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ． 【题型2 二次根式的加减】 7．（24-25八年级上·上海·期末）计算：＝ ． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 12．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：； 13．（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【题型3 二次根式的混合运算】 14．（24-25八年级上·全国·期末）计算． (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 16．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 17．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）解下列各题： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 19．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算： (1) (2) 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)；(4)． 【题型4 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【题型5 二次根式的实际应用】 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 28．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 29．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． (2)求剩余木料的面积． 30．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）． (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴______． 根据海伦公式可得：______． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 31．（23-24八年级下·河南周口·期中）交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）    (1)求肇事汽车的速度； (2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？ 【题型6 分母有理化】 32．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则有（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 34．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 35．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 36．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 37．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 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