专题01 二次根式（五大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题01 二次根式（五大题型） 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 【题型1 二次根式的概念】 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 【题型2 求二次根式的参数】 5．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 7．（23-24九年级下·山东烟台·期中）若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 【答案】A 【分析】根据题意，利用完全平方式和二次根式的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（）2＝x+27+2＝9， ∵0， ∴3， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方式，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 8．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵|x+2|+＝0， ∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 9．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 10．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 13．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解： ， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 【题型3二次根式有意义的条件】 14．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被开方数是非负数，得到，即可得．解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，绝对值的意义． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．（24-25八年级上·四川达州·期末）若，a，b为实数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集．根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 　∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：3． 16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 17．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握相关有意义的条件成为解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 18．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）若有意义，则能取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得不等式，解不等式可得，在这个范围内的最小整数为． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 能取的最小整数值是． 故答案为： ． 19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，，，是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，然后分析作出判断即可． 【详解】解：A． ，故A正确，符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 21．（24-25八年级上·四川眉山·期中）的平方根是为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，平方根的计算，熟练掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义计算即可求解； 【详解】解：， 的平方根是； 故选：C 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故 ， 故选：D． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．先利用完全平方公式，二次根式性质，绝对值的性质，结合进行化简，再合并同类项即可得解． 【详解】解： ， ，， ． 故选A． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 25．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则化简后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 27．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，先根据二次根式的性质，绝对值的意义化简，再算加法． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【题型5复合二次根式的化简】 29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足， 则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 30．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3） ， ， ． 32．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式（五大题型） 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 【题型1 二次根式的概念】 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的参数】 5．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 7．（23-24九年级下·山东烟台·期中）若，则的值是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 8．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 9．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 10．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）当时，二次根式的值是 ． 11．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 13．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【题型3二次根式有意义的条件】 14．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如果实数满足．那么的值是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·四川达州·期末）若，a，b为实数，则的值为 ． 16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是 ． 18．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）若有意义，则能取的最小整数值是 ． 19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知实数x、y满足值是 ． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·四川眉山·期中）的平方根是为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是 （     ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则化简后为 ． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 27．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）化简 ． 28．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简： 【题型5复合二次根式的化简】 29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足， 则等于（　　） A． B． C．2 D．4 30．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 32．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 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