6.2.1 排列（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.1 排列 分层作业 题型研究 题组一　“排列”判断 【例题1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 题组二　排列解决“排数”问题 【例题2】用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 1、 基础达标 1．已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（    ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙丙，乙丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 5．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(    ) A．9 B．12 C．15 D．18 6．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 8.用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 9．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，写出所有的站法. 2、 能力提升 1.从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 2.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 3.在1,2,3,4,5的排列中,满足的排列的个数为 A．24 B．16 C．10 D．8 4.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. （1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. （2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 3、 直击高考 1．（2024·河南·高考模拟）设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列．且满足，则的最大值是 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1 排列 分层作业 题型研究 题组一　“排列”判断 【例题1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果. 【详解】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误. 故选：B. 题组二　排列解决“排数”问题 【例题2】用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 【答案】(1)120 (2)216 【分析】根据排列定义及分步乘法的计算原理即可求解结果． 【详解】（1）解：三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一． 第一步，得首位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有5种不同结果； 第三步，得个位数字，有4种不同结果． 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)； （2）三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个， 共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)． 1、 基础达标 1．已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据排列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题； ②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题； ③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题； ④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题. 故选：B. 3．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（    ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙丙，乙丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【答案】C 【解析】根据题意依次列出即可. 【详解】解：若选出的是甲、乙， 则站法有甲乙、乙甲； 若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲； 若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙. 故选：C. 4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案. 【详解】由题意所有排列的方法种数为， 故答案为：C 5．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(    ) A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】利用数形图将满足条件的四位数逐一列出即可. 【详解】本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为： 由此可知共有12个符合题意的四位数． 故选：B 6．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【详解】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了. 解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 7.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】BD 【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 8.用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 【答案】(1)9900 (2)6 (3)120 【分析】（1）由乘法原理可直接求解； （2）先确定个位数，再结合乘法原理即可； （3）由乘法原理可直接求解. 【详解】（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有（个）． （2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有（个）． （3）可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位，共有（个）分配方案． 9．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，写出所有的站法. 【答案】答案见解析 【分析】利用树状图进行求解. 【详解】作出“树形图”如下: 故所有的站法是BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 2、 能力提升 1.从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序． 【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题； ∵除法不满足交换律，∴②是排列问题； 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题； 在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题． 故选：B． 2. 三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 【答案】C 【分析】列出树状图，由分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故选：C. 3. 在1,2,3,4,5的排列中,满足的排列的个数为 A．24 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【详解】显然,,故 若则有3种选择,此时确定.故有3种选择 同理,也各有3种选择. 若则,此时,有2种选择. 同理也有2种选择. 综上,共有16种满足条件的排列. 选B. 4. 从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. （1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. （2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据分步乘法计数原理分步排列，结合树状图即可求解； （2）结合树状图即可求解； 【详解】(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法. 由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数. 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为： 102，103，120，123，130，132，201，203，210， 213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个： 201，210，230，231，301，302，310，312. 3、 直击高考 1．（2024·河南·高考模拟）设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列．且满足，则的最大值是 【答案】21 【分析】根据题意，分析可得满足条件的排列可以为，从而可解. 【详解】要使的值最大， 又且， 所以排列可以为， 则的最大值是 . 故答案为：21 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$