6.2.1 排列（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.1 排列 教学设计 1、 教学目标 1. 通过实例理解排列的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列 2. 能应用排列知识解决简单的实际问题. 3. 通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养 2、 教学重难点 重点：通过实例理解排列的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 难点：能应用排列知识解决简单的实际问题. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 这一节课之前，已经掌握了分类加法计数原理与分步乘法计数原理，为排列的学习提供了必要的数学基础。然而，排列的概念和计算方法相对抽象，要求学生具备较强的抽象思维能力和逻辑推理能力。 学生对排列的学习需求主要体现在理解排列的定义和性质，为后面掌握排列数的计算公式打基础，并能运用排列知识解决简单的实际问题。本节的学习，为后面学习组合，以及排列与组合的练习和区别，做知识储备。 为了激发学生的学习兴趣，教师可以通过引入生活中的排列问题，如座位排列、运动会项目安排等，让学生认识到排列知识在实际生活中的重要性。同时，教师需要注重公式推导过程的教学，让学生理解排列数公式的来源，并通过大量练习巩固公式应用。 在教学设计中，教师还可以设计一些生活化的实际问题，让学生在解决具体问题的过程中，逐步构建排列模型，培养其数学建模能力。通过反复练习和巩固，学生能够更好地掌握排列的知识，提高数学应用意识和问题解决能力。 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第一章《计数原理》，本节课主要学习《排列》. 本节课在教材体系中起着承上启下的作用，既是对前面学习的计数原理的深化，也为后续的组合学习打下基础。 教材从排列的基本概念入手，通过实例讲解排列数的计算方法，并引导学生理解排列与组合的区别。排列数的计算公式是本节课的重点，也是后续解决排列问题的关键。教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生熟练掌握排列数的计算方法，并能运用这些知识解决实际问题。 此外，教材还注重培养学生的数学应用意识。通过引入生活中的排列问题，如密码组合、座位排列等，让学生认识到排列知识在实际生活中的重要性。这些实际问题的引入，不仅激发了学生的学习兴趣，也锻炼了学生的数学建模能力和问题解决能力。 综上所述，《排列》这一节课在教材体系中具有重要地位。通过学习本节课，学生不仅能够掌握排列的基本概念和计算方法，还能培养数学应用意识和问题解决能力。同时，本节课也为后续的组合学习打下了坚实的基础. 4、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐． 分了三大类：①没有字母，②有1个字母，③有2个字母．其中：②中分了五个子类， ③中分了十个子类． 教师：能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？ 设计意图：根据熟悉的例题的解答过程入手，提出问题，问题引导激发学生的学习兴趣 2． 探究新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法? 要求：先用两个计数原理求得结果 学生：学生利用所学的两个计数原理，尝试着解决该问题. 预设：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法． 根据分步乘法计数原理：3×2=6 种 追问：用树状图表示所有不同选法 学生：自主画树状图，得出结论. 预设： 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 学生：根据以上问题的解答过程得出结论，并做好分享答案的准备. 预设：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．不同的排列方法种数为 3×2=6 追问：以上问题1中的“顺序”是什么？ 学生：思考得出答案：问题1的顺序为参加活动的顺序，即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 设计意图：通过问题1,采用问题串的形式，引导学生 深入思考，为抽象出排列的概念作准备. 问题2：问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 要求：先用两个计数原理求得结果 学生：学生利用所学的两个计数原理，尝试着解决该问题. 预设：完成的事情：从4个数字中，取出3个，顺序排成一列，得到一个三位数． 即：从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数，因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数． 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24 追问：用树状图表示所有不同选法 学生：自主画树状图，得出结论. 预设： 要求：用列举法，列举出所有的三位数. 师生：自主完成列举，教师巡视，并拍照准备上传展示学生结果. 预设：由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342， 412，413，421，423，431，432． 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 学生：根据以上问题的解答过程得出结论，并做好分享答案的准备. 预设：所有不同的排列是 不同的排列方法种数为4×3×2=24 追问：以上问题2中的“顺序”是什么？ 学生：思考得出答案：问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后. 设计意图：在这一问题中元素的个数增加到了 4个， 取其中3个，增加了问题的复杂度，但本问题的解决过程 和问题1是一样的.让学生再次经历用计数原理解决这一 问题的过程，为形成排列的概念做好了准备. 思考：上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 师生：教师提出上述问题，让学生思考、交流、 讨论. 指名学生展示讨论交流的结果，教师进一步规范学生 的表述，从而归纳出排列的定义； 预设：问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(arrangement)． 辨析：定义中包含两个基本内容：①取出元素，②按照一定的顺序排列 思考：根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是什么？ 学生：思考和讨论，并尝试得出答案. 预设：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 要求：根据问题1和问题2，将自己的以上结论进行举例说明 学生：将以上问题具体化，并分享. 预设：在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列； “甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 设计意图：通过对上面的两个问题进行数学抽象，在 学生充分思考、交流、讨论的基础上得出排列的定义，让学 生经历这一过程，提升学生的数学抽象核心素养. 3． 应用新知 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 师生：教师提出问题：这一问题是不是排列问题？你能根据 排列的定义分析这一问题吗？ 学生分析、思考.教师在学生思考的同时，可以给出提示： 分析预设：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 设计意图：引导学生用排列的概念去思考分析这一问 题，加深对排列概念的理解与认识，提升学生用所学知识 分析问题、解决问题的能力. 总结：排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 跟踪练习：从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，那么共有多少种不同的选法? 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：分析：可以看作是从4名同学中选出2名同学，按“数学、物理”的顺序排成的一个排列． 可以先从4名同学中选出1名同学参加数学学习小组，然后从剩下的3名同学中选1名同学参加物理学习小组．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 师生：教师引导学生分析：3名同学每人从5盘不同的菜中 取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位 置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗 口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个 排列. 预设：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 ． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 ． 总结：解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ． 跟踪练习：（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ 预设：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，可以先从7本不同的书中选1本给第1位同学，再从剩下6本中选1本给第2位同学，最后从剩下5本中选1本给第3位同学，根据分步乘法计数原理，共有7×6×5＝210(种)不同的送法. （2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，每一次有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种). 4． 能力提升 类型一：“排列”判断 例1 判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信. 预设：（1）虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. （5）中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题. （6） A给B写信与 B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题. 综上，（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题. 总结：排列问题的判断方法： (1) 元素的无重复性 (2) 元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。 题型二：排列解决“排数”问题 例题2 用1，2，3，4，5，6六个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 预设：由题意，可以看作是从6个元素中，取三个元素，按照一定顺序排列的排列问题. 先从6个数字中，选择一个数字，作为个位，共有6种选法； 再从剩下5个数字中，选择一个数字，作为十位，共有5种选法； 最后从剩下的4个数字中，选择一个数字，作为百位，共有4中选法， 由分步乘法计数原理可得，则共有6×5×4=120(种)不同排法； 总结：排列解决“排数”问题 (1) 先根据排列的定义，判断所解决的问题是否为排列问题 (2) 将排列问题，进行分步进行 (3) 结合分步计数原理即可得解 5． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 6． 随堂限时小练 1．判断下列问题是否为排列问题 （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【详解】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线中，不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 2．（1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； （2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列． 【详解】（1）从4个字母中取出2个字母的排列有； （2）从4个字母中取出3个字母的排列有，； 3．甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠、亚军的可能情况. 【详解】（1）所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种； （2）所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种． 4．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 【详解】因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上， 所以其中任意3个点为顶点构成的三角形有共4个. 5．将不同的8封信随意放入8个写好地址的信封，共有多少种不同的放法？ 【详解】显然一个信封中放入1封信，因此8封不同的信随意放入8个写好地址的信封，相当于8个不同元素放在8个位置上，每个位置放1个， 第1步：先摆第1个位置，共有8种摆法； 第2步：剩下的7封信，再摆第2个位置，共有7种摆法； .... 第8步：剩下的1封信，摆在第8个位置. 根据分步乘法计数原理，所求不同的放法种数是（种）. 7． 课后作业布置 作业1：完成教材：第16页 练习1；第17页 练习2,3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列》.  8． 课后作业答案 练习（第16页） 1．写出： （1）用0～4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； （2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列． 【解析】（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． （2）ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc． 2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序? 【解析】将4个班进行全排列，即．所以有24种轮流次序． 3．学校乒乓球团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还各出场1次． （1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况? （2）甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况． 【解析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种； （2）可分为三类： 第一类，3场决胜负，有种：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲． 第二类，4场决胜负，有种，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙甲丙乙，乙甲丙甲，乙丙甲丙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲乙，丙乙甲丙． 第三类，5场决胜负，有种，甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲丙乙，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲乙丙，丙乙甲丙乙． 因此，全部顺序共有种. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$