专题16.4 二次根式的乘除（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.4 二次根式的乘除（精选精练）（专项练习） 【特别说明】序号前带两颗“★”难度系数0.65，三颗“★”难度系数0.4，四颗“★”难度系数0.15. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2022·四川绵阳·一模）若等式成立，则字母应满足条件（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．-5 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 ★9．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．100 D．5050 ★10．（2021九年级·全国·专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（    ）． 2、 A． B． C．2 D．3 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式的结果为 ． 12．（14-15八年级上·江苏南通·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ， ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则 ． 14．（20-21八年级上·福建福州·期末）若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ． 15．（21-22八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 16．（17-18八年级下·重庆·阶段练习）把中根号外的移入根号内得 ． ★17．（20-21八年级上·四川成都·阶段练习）若，，是实数，且，则 ． ★18．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·浙江·期中）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知，，先化简，再求值． ★22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： （1） （2） ★23．（本小题满分10分）（16-17八年级下·福建莆田·阶段练习）探究过程：观察下列各式及其验证过程. （1）；（2） 验证：（1） ； （2） . （1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________； （2）通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论． ★★24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C B D B B C A 1．D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 3．C 【分析】关键二次根式运算法则，逐项计算即可． 解：A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，不正确，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确计算． 4．C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义得条件、二次根式得除法运算．直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的除法运算法则得出关于的不等式组，进而得出答案． 解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 6．D 【分析】根据二次根式的意义可以得知，构成不等式组就可以求出其的取值范围． 解：， ， 解得． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键． 7．B 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的运算，根据完全平方公式变形即可求解． 解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键． 10．A 【分析】根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案． 解：∵△ABC的三边分别是3，和，即，， ∴△ABC的面积S＝ 故选：A． 【点拨】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解． 解：， 故答案为：． 12． 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 解：根据题意得： 解得 故答案为：，． 13． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的除法计算，把方程两边同时除以即可得到答案． 解：∵， ∴， 故答案为：． 14． 解：根据完全平方公式进行添加减项将原式凑成完全平方公式，即可得出答案正数． 【解答】解：a+4+3b﹣2﹣c＝0， ， ， ∵a，b，c是正数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点拨】本题考查完全平方公式的应用，掌握配方法，和完全平方公式是解题关键． 15．18 【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， 故答案为：18． 【点拨】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 16． 【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可． 解：根据二次根式有意义的条件可得：且 解得： 则， 故答案为：． 【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键． 17．21 【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点拨】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 18． 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 解：， 故答案为：． 19．（1）3；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法和零指数幂计算即可； （2）根据负整数指数幂，二次根式的乘法，最简二次根式计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： 21．，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算和平方差公式，首先把括号里分式加减，然后进行约分化简，最后把，代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 22．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）把各式子的分子、分母进行因式分解，然后把除法转换为乘法，再进行约分，最后根据二次根式的乘法、二次根式的性质化简计算即可． 解：（1）解∶ ； （2）解： ． 23．（1），；（2），验证过程见分析 【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可； （2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可. 解：（1）解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下： ， ； 故答案为：， （2）通过上述探究你能猜测出， 验证如下： . 故答案为：； 【点拨】此题是二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 24．（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 解：（1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$