专题16.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【要点提示】 （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）. （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 2. 积的算术平方根: 　　即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【知识点2】二次根式的除法及商的算术平方根 2商的算术平方根的性质: 【知识点3】最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【要点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断..................................................2 【题型2】化为最简二次根式....................................................2 【题型3】已知最简二次根式求参数..............................................3 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法......................................................3 【题型5】二次根式的除法......................................................3 【题型6】二次根式的乘除混合运算..............................................3 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值..........................................4 【题型8】二次根式的乘除运算的应用............................................4 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接............................................................5 【题型10】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】最简二次根式的判断 【例1】（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【题型2】化为最简二次根式 【例2】（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： （1）（a>0）； （2）． 【变式1】（19-20八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【题型3】已知最简二次根式求参数 【例3】（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【题型4】二次根式的乘法 【例4】（23-24八年级下·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知,则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 【变式2】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【题型5】二次根式的除法 【例5】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）（，）． 【变式1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【题型6】二次根式的乘除混合运算 【例6】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值 【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【变式1】（19-20八年级下·四川南充·期末）已知，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 ★【变式2】（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【题型8】二次根式的乘除运算的应用 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级下·山东滨州·期中）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输出的值为时，输入的 ． ★★【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2022·贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【例2】（2021·广东广州·中考真题）已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）设，，当t为 时，代数式． ★【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）和关于x轴对称，请在坐标系中画出； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【要点提示】 （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）. （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 2. 积的算术平方根: 　　即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【知识点2】二次根式的除法及商的算术平方根 2商的算术平方根的性质: 【知识点3】最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【要点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断..................................................2 【题型2】化为最简二次根式....................................................3 【题型3】已知最简二次根式求参数..............................................4 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法......................................................6 【题型5】二次根式的除法......................................................7 【题型6】二次根式的乘除混合运算..............................................9 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值.........................................11 【题型8】二次根式的乘除运算的应用...........................................13 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接...........................................................16 【题型10】拓展延伸..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】最简二次根式的判断 【例1】（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 解：（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点拨】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 解：A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型2】化为最简二次根式 【例2】（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： （1）（a>0）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分； （2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去； 解：（1）原式． （2）原式． 【变式1】（19-20八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 解：原式：， 故答案为：． 【题型3】已知最简二次根式求参数 【例3】（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点拨】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【题型4】二次根式的乘法 【例4】（23-24八年级下·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）;（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知,则的值为（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】B 解：由题意得解得,把代入,可得,所以 【变式2】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 解： ， 故答案为：． 【题型5】二次根式的除法 【例5】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）（，）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点拨】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级下·重庆·自主招生）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法，根据二次根式的除法法则可判断A，B；根据二次根式的性质可判断C和D． 解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【变式2】（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 【题型6】二次根式的乘除混合运算 【例6】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键； （1）先根据乘方的意义、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的乘法法则运算和二次根式的除法法则运算即可； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 解：（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 解： ， 故选：A． 【变式2】（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果． 解：∵ 即， ∴ ∴， 故答案为：，2． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值 【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 【变式1】（19-20八年级下·四川南充·期末）已知，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算和完全平方公式进行计算，即可得到结果． 解：∵，， ∴ ∴ 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟悉相关运算法则是解题的关键 ★【变式2】（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 解：∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【题型8】二次根式的乘除运算的应用 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，勾股定理，二次根式的乘除，利用面积法求三角形的高是解题的关键．先用割补法求出的面积，再根据勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式即可求出答案． 解：设边上的高为h， ， ， ， 解得， 即边长的高为． 故选：C． 【变式1】（21-22八年级下·山东滨州·期中）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输出的值为时，输入的 ． 【答案】/ 【分析】根据框图得出方程，解方程即可． 解：由题意得：， 两边同时乘以得：， 右边计算得：， 移项得：， ∴当输出为时，则输入的． 故答案为：． 【点拨】本题考查一元一次方程的应用，二次根式的乘除法，读懂框图，正确列出方程是解答的关键． ★★【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④． 解：∵平分，，， ∴， ∴①正确； ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴若平分，则，与矛盾， ∴③错误； 如图所示：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，中，， ∴， ∴， ∴④正确； 综上可知，正确的有①②④， 故选D． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2022·贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先化简分式，再代值求解即可； 解：原式= = = =， 将代入得，原式=． 【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【例2】（2021·广东广州·中考真题）已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可； （2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可． 解：（1）； （2）∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）设，，当t为 时，代数式． 【答案】2 【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可． 解：， ， ，解得（舍去），． 故答案为：2 【点拨】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键． ★【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）和关于x轴对称，请在坐标系中画出； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为2；（3）图见分析，的最小值为 【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题． （1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案． 解：（1）解：如图所示； ； （2）解：的面积为：； （3）解：连接，交轴于点， 此时长度最小， 最小值为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$