第1章 数与式-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

教师备课尊享·山东数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第一章　 数与式 　 第 一 章 数 与 式 一 知识思维导图串讲 2 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 二 2024 山东考情分析 1. 2024 山东统考卷、统考样卷、青岛、济宁题型、题位、分值的分析与总结 　 　 　 地市 题型　 　 　 2024 统考卷 2024 统考样卷 2024 青岛 2024 济宁 选择题 1 题 3 分 3 题 3 分 5 题 3 分 1 题 3 分 3 题 3 分 5 题 3 分 7 题 3 分 1 题 3 分 3 题 3 分 5 题 3 分 1 题 3 分 3 题 3 分 10 题 3 分 填空题 11 题 3 分 16 题 3 分 11 题 3 分 16 题 3 分 10 题 3 分 11 题 3 分 12 题 3 分 解答题 17 题 10 分 17(1)题 4 分 17(2)题 5 分 22 题 8 分 16 题 6 分 总题量 6 道 7 道 6 道 6 道 总分值 25 分 22 分 25 分 21 分 【考情总结】 (1)总题量为 6~ 7 道,总分值为 21~ 25 分; (2)选择题考查 3~ 4 道,9~ 12 分; (3)填空题考查 1~ 2 道,3~ 6 分; (4)解答题考查 1~ 2 道,4~ 13 分. 2. 章内各版块考查频次、特点的分析与总结 　 　 　 地市 版块　 　 　 2024 统考卷 2024 统考样卷 2024 青岛 2024 济宁 实数 1 题 3 分 3 题 3 分 17(1)题 5 分 1 题 3 分 3 题 3 分 17(1)题 4 分 1 题 3 分 3 题 3 分 10 题 3 分 1 题 3 分 11 题 3 分 二次根式 17(1)题涉及 11 题 3 分 17(1)题涉及 10 题涉及 3 题 3 分 代数式与整式 5 题 3 分 11 题 3 分 16 题 3 分 5 题 3 分 16 题 3 分 5 题 3 分 22 题 8 分 10 题 3 分 12 题 3 分 16 题 6 分 分式 17(2)题 5 分 7 题 3 分 17(2)题 5 分 【考情总结】 (1)实数考查 2~ 3 道,必在选择题中考查 1~ 2 道; (2)二次根式单独考查较少,一般在实数运算中涉及考查; (3)代数式与整式考查 2~ 3 道; (4)分式是高频考点,仅 2024 济宁未考查. 3 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 三 2024 山东统考卷、统考样卷、青岛、济宁真题分类+好题类推 版块 1　 实　 数 1. [2024 山东统考样卷 1 题 3 分]下列计算结果是负数的是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. | -3 | B. -( -2) C. 3 -1 D. ( -1) 2 2. [2024 济宁 1 题 3 分]-3 的绝对值是 (　 A　 ) A. 3 B. 1 3 C. -3 D. - 1 3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 2-1 [2024 泰安 1 题 4 分]- 5 6 的相反数是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 5 B. - 6 5 C. 5 6 D. - 5 6 3. [2024 山东统考卷 3 题 3 分]2023 年山东省扎实落实民生实事,全年新增城乡公益性岗位61. 9 万个, 将 61. 9 万用科学记数法表示应为 (　 C　 ) A. 0. 619×103 B. 61. 9×104 C. 6. 19×105 D. 6. 19×106 4. [2024 山东统考样卷 3 题 3 分]山东省 2023 年上半年地区生产总值为 44 125 亿元,同比增长 6. 2%. 将 44 125 用科学记数法表示为 (　 D　 ) A. 44. 125×103 B. 4. 412 5×105 C. 0. 441 25×105 D. 4. 412 5×104 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 4-1 [2024 烟台 5 题 3 分]目前全球最薄的手撕钢产自中国,厚度只有 0. 015 毫米,约是 A4 纸厚度的 六分之一. 已知 1 毫米= 1 百万纳米,0. 015 毫米等于多少纳米? 将结果用科学记数法表示为 (　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0. 15×103 纳米 B. 1. 5×104 纳米 C. 15×10-5 纳米 D. 1. 5×10-6 纳米 4-2 [2024 威海 2 题 3 分]据央视网 2023 年 10 月 11 日消息,中国科学技术大学中国科学院量子创新 研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了 255 个光子的量 子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录. “九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时 间内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间. 将“百 万分之一”用科学记数法表示为 (　 B　 ) A. 1×10-5 B. 1×10-6 C. 1×10-7 D. 1×10-8 5. [2024 山东统考卷 1 题 3 分]下列实数中,平方最大的数是 (　 A　 ) A. 3 B. 1 2 C. -1 D. -2 4 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 6. [2024 青岛 3 题 3 分]实数 a,b,c,d 在数轴上对应点的位置如图所示,这四个实数中绝对值最小的 是 (　 C　 ) 第 6 题图 A. a B. b C. c D. d 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 6-1 [2024 德州 6 题 4 分]实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　 D　 ) 第 6-1 题图 A. | a | > | b | 　 　 　 　 　 B. a+b<0　 　 　 　 　 C. a+2>b+2　 　 　 　 　 D. | a-1 | > | b-1 | 7. [2024 青岛 10 题 3 分]计算: 18 +( 1 3 ) -1 -2sin45°= 　 2 2 +3　 . 8. [2024 山东统考卷 17(1)题 5 分]计算: 4 +2-1 -( - 1 2 ) . 解:原式=2+ 1 2 + 1 2 =3. 9. [2024 山东统考样卷 17(1)题 4 分]计算:4cos60°+2×( - 1 2 ) + 12 ÷ 3 ; 解:原式=4× 1 2 +2×(- 1 2 )+ 12÷3 =2+(-1)+2 =3. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 9-1 [2024 泰安 19(1)题 5 分]计算:2tan60°+( 1 2 ) -2 - | - 12 | + ( -3) 2 . 解:原式=2 3 +4-2 3 +3 =7. 9-2 [2024 济南 16 题 7 分]计算: 9 -(π-3. 14) 0 +( 1 4 ) -1 + | 3 | -2cos30°. 解:原式=3-1+4+ 3 -2× 3 2 =3-1+4+ 3 - 3 =6. 版块 2　 二次根式 1. [2024 山东统考样卷 11 题 3 分]若 3x-6在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为　 x≥2　 . 2. [2024 济宁 3 题 3 分]下列运算正确的是 (　 B　 ) A. 2 + 3 = 5 B. 2 × 5 = 10 C. 2÷ 2 = 1 D. ( -5) 2 = -5 5 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 2-1 [2024 淄博 11 题 4 分]计算: 27 -2 3 = 　 3 　 . 2-2 [2024 威海 11 题 3 分]计算: 12 - 8 × 6 = 　 -2 3 　 . 版块 3　 代数式与整式 1. [2024 济宁 12 题 3 分]已知 a2 -2b+1 = 0,则 4b a2 +1 的值是　 2　 . 2. [2024 山东统考卷 5 题 3 分]下列运算正确的是 (　 D　 ) A. a4 +a3 =a7 B. (a-1) 2 =a2 -1 C. (a3b) 2 =a3b2 D. a(2a+1)= 2a2 +a 3. [2024 山东统考样卷 5 题 3 分]下列运算正确的是 (　 D　 ) A. 3m2 +4m2 = 7m4 B. (m+n) 2 =m2 +n2 C. 2m5 ÷( -m) 2 = -2m3 D. (m3n) 2 =m6n2 4. [2024 济宁 16 题 6 分]先化简,再求值:x(y-4x) +(2x+y)(2x-y),其中 x= 1 2 ,y= 2. 解:原式=(xy-4x2)+(4x2-y2) =xy-4x2+4x2-y2 =xy-y2, 当 x= 1 2 ,y=2 时,原式= 1 2 ×2-22 =1-4=-3. 5. [2024 山东统考卷 11 题 3 分]因式分解:x2y+2xy= 　 xy(x+2) 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 5-1 [ 2024 淄博 13 题 4 分] 若多项式 4x2 -mxy + 9y2 能用完全平方公式因式分解,则 m 的值 是　 ±12　 . 5-2 [2024 东营 12 题 3 分]因式分解:2a3 -8a= 　 2a(a+2)(a-2) 　 . 5-3 [2024 威海 12 题 3 分]因式分解:(x+2)(x+4) +1 = 　 (x+3) 2 　 . 6. 新定义 [2024 山东统考卷 16 题 3 分]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘 3 再加上 1;若是偶数, 就将该数除以 2. 反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈 1→4→2→1,这就是 “冰雹猜想” . 在平面直角坐标系 xOy 中,将点(x,y)中的 x,y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算 得到新的点的横、纵坐标,其中 x,y 均为正整数. 例如,点(6,3)经过第 1 次运算得到点(3,10),经 过第 2 次运算得到点(10,5),以此类推,则点(1,4)经过 2 024 次运算后得到点　 (2,1) 　 . 【解析】点(1,4)经过 1 次运算后得到点为(1×3+1,4÷2),即为(4,2),经过 2 次运算后得到点为(4÷2,2÷2),即 为(2,1),经过 3 次运算后得到点为(2÷2,1×3+1),即为(1,4),…,发现规律:点(1,4)经过 3 次运算后还是 (1,4),∵2 024÷3=674……2,∴点(1,4)经过2 024 次运算后得到点(2,1) . 6 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 7. [2024 山东统考样卷 16 题 3 分]“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产. 如图,在“杨辉三角” 中,两腰上的数都是 1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和. 如 2 = 1+1,10 = 4+6. 在“杨辉三 角”中,若从第三行的“2”开始,按图示箭头所指依次构成一列数:2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则 在该列数中,第 23 个数为　 28　 . 第 7 题图 　 　 　 　 第 7 题解图 【解析】由题意知,箭头所指的数第一行有 1 个数,第二行有 2 个数,第三行有 3 个数,…,∴第 n 行有 n 个数. ∵1+2+3+4+5+6=21,∴该列数中的第 23 个数是“杨辉三角”中的第 9 行第 3 个数. 如解图所示,∵从第 3 行 开始,每行第三个数分别为 1,3,6,10,…,且 1=1,3=1+2,6=1+2+3,…,∴该列数中的第 7 个数为 1+2+3+4+ 5+6+7=28,即“杨辉三角”中的第 9 行第 3 个数是 28,∴在该列数中第 23 个数为 28. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 7-1 [2024 德州 17 题 4 分]观察下列等式: S1 = 1+1+ 1 4 ; S2 = 1+1+ 1 4 + 1+ 1 4 + 1 9 ; S3 = 1+1+ 1 4 + 1+ 1 4 + 1 9 + 1+ 1 9 + 1 16 ; … 则 S10 的值为　 10 10 11 　 . 【解析】∵ 　 1+1+ 1 4 = 　 9 4 = 3 2 =1+ 1 1×2 , 　 1+ 1 4 + 1 9 = 　 49 36 = 7 6 =1+ 1 2×3 , 　 1+ 1 9 + 1 16 = 　 169 144 = 13 12 =1+ 1 3×4 ,…, ∴S1 =1+ 1 1×2 =1+1- 1 2 =2- 1 2 ,S2 =1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 =2+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 = 3- 1 3 ,S3 = 1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 +1+ 1 3×4 = 3+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 =4- 1 4 ,…,∴S10 =11- 1 11 =10 10 11 . 8. [2024 济宁 10 题 3 分]如图,用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形. 第一幅图有 1 个正方 形,第二幅图有 5 个正方形,第三幅图有 14 个正方形,……按照此规律,第六幅图中正方形的个 数为 (　 B　 ) 第 8 题图 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 7 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 9. [2024 青岛 22 题 8 分]如图,点 A1,A2,A3,…,An,An+1 为反比例函数 y= k x (k>0)图象上的点,其横坐 标依次为 1,2,3,…,n,n+1. 过点 A1,A2,A3,…,An 作 x 轴的垂线,垂足分别为点 H1,H2,H3,…,Hn;过点 A2 作 A2B1⊥A1H1 于点 B1,过点 A3 作 A3B2⊥A2H2 于点 B2,…,过点 An+1 作 An+1Bn⊥AnHn 于点 Bn . 记△A1B1A2 的面积为 S1,△A2B2A3 的面积为 S2,…,△AnBnAn+1 的面积为 Sn . 第 9 题图 (1)当 k= 2 时,点 B1 的坐标为　 (1,1) 　 , S1 +S2 = 　 2 3 　 , S1 +S2 +S3 = 　 3 4 　 , S1 +S2 +S3 +…+Sn = 　 n n+1 　 (用含 n 的代数式 表示); (2)当 k= 3 时,S1 +S2 +S3 +…+Sn = 　 3n 2n+2 　 (用含 n 的代数式表示) . 解:(1)(1,1), 2 3 , 3 4 , n n+1 ;【解法提示】当 k=2 时,y = k x = 2 x ,当 x = 1 时,y = 2;当 x = 2 时,y = 1,∴ A1(1,2), A2(2,1),∴B1H1 =1,∴ B1(1,1),∵ A1(1, 2 1 ),A2(2, 2 2 ),A3(3, 2 3 ),A4(4, 2 4 ),…,An(n, 2 n ),An+1(n+1, 2 n+1 ),∴S1 = 1 2 ×1×( 2 1 - 2 2 ),S2 = 1 2 ×1×( 2 2 - 2 3 ),S3 = 1 2 ×1×( 2 3 - 2 4 ),…,Sn = 1 2 ×1×( 2 n - 2 n+1 ),∴ S1+S2 = 1 2 ×1×( 2 1 - 2 2 + 2 2 - 2 3 )= 1 2 ×1×( 2 1 - 2 3 )= 2 3 ;S1+S2+S3 = 1 2 ×1×( 2 1 - 2 4 )= 3 4 ,…,S1+S2+S3+…+Sn = 1 2 ×1× ( 2 1 - 2 n+1 )= n n+1 . (2) 3n 2n+2 . 【解法提示】当 k=3 时,y= 3 x ,∴ A1(1, 3 1 ),A2(2, 3 2 ),A3(3, 3 3 ),…,An(n, 3 n ),An+1(n+1, 3 n+1 ), ∴S1+S2+S3+…+Sn = 1 2 ×1×( 3 1 - 3 n+1 )= 3n 2n+2 . 版块 4　 分　 式 1. [2024 山东统考样卷 7 题 3 分]已知 M= x x-1 ,N= 1 1-x ,则 (　 A　 ) A. M+N= 1 B. M-N= 1 C. M·N= 1 D. M N = 1 【解析】∵M= x x-1 ,N= 1 1-x ,∴M+N= x x-1 + 1 1-x = x x-1 - 1 x-1 =x-1 x-1 =1,M-N= x x-1 - 1 1-x = x x-1 + 1 x-1 =x+1 x-1 ,M·N= x x-1 · 1 1-x = x x-1 ·(- 1 x-1 )= - x (x-1) 2 ,M N =M÷N= x x-1 ÷ 1 1-x = x x-1 ÷(- 1 x-1 )= - x x-1 ·x -1 1 =-x,∴A 选项的计算 正确,B,C,D 选项的计算错误. 8 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 2. [2024 山东统考卷 17(2)题 5 分]先化简,再求值:(1- 1 a+3 ) ÷ a +2 a2 -9 ,其中 a= 1. 解:原式=a +2 a+3 ÷ a+2 (a+3)(a-3) =a+2 a+3 ·(a +3)(a-3) a+2 =a-3, 当 a=1 时,原式=1-3=-2. 3. [2024 青岛 17(2)题 5 分]先化简( a2 +1 a -2) ÷a 2 -1 a ,再从-2,0,3 中选一个合适 ∙∙ 的数作为 a 的值代入 求值. 解:原式=a 2+1-2a a ÷(a+1)(a-1) a =(a-1) 2 a · a (a+1)(a-1) =a-1 a+1 , ∵ a≠0,(a+1)(a-1)≠0,∴ a≠0,a≠±1,∴ a=-2 或 3, 当 a=-2 时,原式= -2-1 -2+1 =3;当 a=3 时,原式=3 -1 3+1 = 1 2 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 3-1 [2024 东营 19(2)题 4 分]计算: a2 -4a+4 a-1 ÷(a+1- 3 a-1 ) . 解:原式=(a -2) 2 a-1 ÷a 2-1-3 a-1 =(a-2) 2 a-1 · a -1 (a+2)(a-2) =a-2 a+2 . 3-2 [2024 烟台 17 题 6 分]利用课本上的计算器进行计算,按键顺序如下: ,若 m 是 其显示结果的平方根,先化简:( m m-3 +7m-4 9-m2 ) ÷4 -2m m+3 ,再求值. 解:原式=(m 2+3m m2-9 -7m-4 m2-9 )· m +3 4-2m = (m-2) 2 (m+3)(m-3) · m +3 -2(m-2) = m-2 6-2m , 根据计算器计算可得 m=± 32-5 =± 4 =±2,∵4-2m≠0,∴m≠2,∴m=-2, 当 m=-2 时,原式= -2-2 6+4 =- 2 5 . 9 教师备课尊享·山东数学 　 第 一 章 数 与 式 四 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 1. 理解负数的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增);理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小; 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法; 3. 了解无理数和实数(删“的概念”),知道实数由有理数和无理数组成􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增),了解􀪍􀪍实数与数轴上的点一一对应 (“知道”调整为“了解”); 4. 能用数轴上的点表示实数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,能比较实数的大小;(新增) 5. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会􀪍求实数的相反数和绝对值(“能”调整为“会”); 6. 会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示); 7. 了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (“对结果取 近似值”调整为“进行简单的近似计算”) 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) 1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根; 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根;(“整数”调整为“完全平方数”,“百以内整数” 调整为“千以内完全平方数”) 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围; 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简 单的四则运算. 命题点 3　 实数的运算 1. 理解乘方的意义; 2. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);理解有理数的运算律,能运用运算律简 化运算; 3. 能运用有理数的运算解决简单问题. 命题点 4　 整式与因式分解 1. 借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义; 2. 能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式; 3. 会把具体数代入代数式进行计算􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍;(说法调整) 4. 了解代数推理(新增); 5. 了解整数指数幂的意义和基本性质; 6. 理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算 (多项式乘法仅限于􀪍􀪍􀪍一次式之间和一次式与二次式的乘法); 7. 理解􀪍􀪍乘法公式(a +b)(a-b)= a2 -b2,(a±b) 2 =a2 ±2ab+b2(“能推导”调整为“理解”),了解公式的几何背景,能利􀪍􀪍 用公式进行简单的计算和推理􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增); 8. 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数) . 命题点 5　 分式及其运算 了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. (说法调整) 　 　 01