专题07指数运算与指数函数（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 07 指数运算与指数函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：指数运算 题型二：指数式子运算 题型三：指数图像定点与渐近线 题型四：复合型指数函数值域 题型五：复合型指数函数单调性 题型六：指数不等式：定义域型 题型七：复合型一元二次指数型 题型八：恒成立求参：双变量 题型九：能成立求参 题型十：指数函数核心复合型：反比例型 题型十一：指数函数型高斯取整 题型十二：比大小：指数幂型 题型十三：综合型求参 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 指数运算 ⭐技巧积累与运用 指数运算公式与指数函数 ①a＝ ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn. 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】依题意可得，又幂的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C 3．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由根式与指数幂的转换即可求解. 【详解】原式，又， 则原式． 故选：B 题型02 指数式子运算 ⭐技巧积累与运用 有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【答案】A 【分析】由，变形代值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知，正实数，且满足， 可得，即，所以. 故选：A. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与之间的平方关系运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 题型03 指数图像定点与渐近线 ⭐技巧积累与运用 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 1．函数，且的图象过定点，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由指数函数的性质求解. 【详解】由指数函数的性质可知的图象过定点， 则，故. 故选：B 2．关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质，要使关于x的方程有负根，可得，解出，再根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 要使关于x的方程有负根， 则，即，即， 即，解得， 分析选项有真包含于， 所以关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是. 故选：A. 3．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数得图象，根据图象先确定，再由函数确定出的取值范围，再由确定出，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则． 由，即，得，求得， ， 故选：D． 题型04 复合型指数函数值域 ⭐技巧积累与运用 指数函数值域，根据底数大于1或者小于1，结合对应单调性求解值域。要注意指数函数的“一点一线”是否会限制值域范围 求解形如的指数型函数值域的思路： （1）分析的单调性以及值域； （2）分析的单调性； （3）根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域. 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】函数的定义域为，又当时，所以， 当时，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，先求出的取值范围，再根据指数函数的单调性求的值域即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， ∵，∴， 故函数的值域为. 故选：C. 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对符合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域. 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 题型05 复合型指数函数单调性 ⭐技巧积累与运用 (1)单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； (2) 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得答案. 【详解】因为是 开口向下、对称轴为的抛物线，且是增函数， 由复合函数的单调性判断可知，，解得， 故选：A. 2．已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论. 【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D 3．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质求得二次函数对称轴解不等式可得结果. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可； 因此，可得. 故选：D 题型06 指数不等式：定义域型 ⭐技巧积累与运用 指数函数不等式解法 1. 同底法。化为同底型 2. 讨论底数比1大还是比1小，借助单调性比大小 3. 转化为指数幂的新不等式求解 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形给定函数，换元并借助二次函数、指数函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 题型07 复合型一元二次指数型 ⭐技巧积累与运用 求解形如的指数型函数值域的思路： （1） 、换元法，令=t，构造关于t的一元二次函数，分类讨论求值域。 （2）、直接配方法。配凑为，结合定义域用“包装法”求值域。 1．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 3．设a>0，且a≠1，函数在[-1，1]上的最大值是14，则实数a的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．2或 【答案】B 【分析】令t=ax，可得y=f(t)=(t+1)2-2(t>0)，分别求得当0<a<1和a>1两种情况下f(t)的最大值，结合题意即可得结果. 【详解】令t=ax(a>0，且a≠1)，则， 则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0)， ①当0<a<1时，，则， 此时f(t)在区间上单调递增， 所以， 所以， 所以a=或a=， 又因为0<a<1，所以a=； ②当a>1时，，， 此时f(t)在区间上单调递增， 所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14， 解得a=3或a=-5(舍去负值). 综上得a=或3. 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、换元法的应用，考查分析理解，计算化简的能力，分类讨论的思想，属中档题. 题型08 恒成立求参：双变量 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由恒成立和能成立思想可确定，根据对号函数和指数函数的单调性可求得，由此构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，， 在上单调递减，； 在上单调递增，， ，解得：，即实数的取值范围为. 故选：A. 2．已知， 若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数最值的性质得出，求出，得出实数的取值范围. 【详解】解：因为，使得，所以 因为，所以解得， 故选：A 3．已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据方程组的方法求函数是解析式，再根据不等式恒成立转化为，再转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】， 函数在区间单调递减，所以的最大值为， 对任意的，均有成立， 对任意的恒成立， 对任意的恒成立， ，解得：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键一是求函数的解析式，关键二是利用不等式恒成立，转化为求的最值. 题型09 能成立求参 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， 相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； 1．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意，求得，根据幂函数的单调性，求得当时，，再由指数函数的单调性，求得当时，，结合题设条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数在上单调递增， 可得，解得，即， 当时，函数为单调递增函数，所以当时，， 又由函数为单调递增函数， 可得时，， 又因为任意时，总存在使得， 所以，解得. 故选：D. 2．已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将问题转化为的值域是的值域的子集，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】设函数在上的值域为，函数在上的值域为， 因为若，，使得成立，所以， 因为，，所以在上的值域为， 因为， 当时，在上单调递减，所以在上的值域为， 因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意， 当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方， 令得，即， ①当时，即时，在，上单调递减， ，，所以的值域， 又，所以，解得， ②当时，即时，在上单调递减，在 上单调递增， ，或， 所以的值域或，又，所以或， 当时，解得或，又，所以， 当时，解得或，又，所以，所以的取值范围． ③当时，时，在上单调递增， 所以，，所以在上的值域， 又，所以，解得，综上所述，的取值范围为. 故选：C 3．已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出函数的图象如图： 则当，，的最大值为，最小值， 若，，此时满足，，，，使成立， 若，则直线过定点， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 综上， 故选：A 题型10 指数函数核心复合型：反比例型 ⭐技巧积累与运用 1.指数函数一次反比例型，可以通过分离常数求值域 2.指数型反比例函数，可以通过指数换元后，转化为反比例函数求解值域，反比例函数图像性质。 形如：。对称中为P，其中 1．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分三种情况当时，当时，当时，求得函数的值域，问题转化为，对任意，，，恒成立求解． 【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 2．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】由指数函数与反比例函数的单调性，根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】由，则在上单调递增， 所以，，. 故选：B. 3．已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，，即可判断函数的奇偶性，再由，令，根据指数型函数的性质判断的单调性，即可得到的最值，即可求出函数的最大值与最小值之和； 【详解】解：， 令，，， 由 ， 可知， 故函数的图象关于原点对称， 设的最大值是，则的最小值是， 由， 令， 当时，在，递减， 所以的最小值是，的最大值是， 故， 的最大值与最小值的和是， 当时，在，单调递增， 所以的最大值是，的最小值是， 故， 故函数的最大值与最小值之和为8， 综上：函数的最大值与最小值之和为8， 故选：A． 题型11 指数函数型高斯取整 ⭐技巧积累与运用 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 取小数函数 ，， 可画出函数图像，如图： 指数型取整函数，多可以通过分离变量，分离出整数后讨论底数与定义域，进行“取整”运算 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值域，然后根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】，因为，所以， ，所以函数值域为. 故选：C 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义及分式型函数、指数函数性质求的值域判断D． 【详解】由且，则是奇函数，A对； 由，根据指数函数、复合函数单调性易知：在上是增函数，C对； 由，，显然，B错； 当时，，则，此时； 当时，，则，此时； 所以的值域是，D对． 故选：B 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解． 【详解】因为，所以, 又，所以, 由高斯函数的定义可得：函数的值域为, 故选：C. 题型12 比大小：指数幂型 ⭐技巧积累与运用 指数幂比较大小 ①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较； ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较； ③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”. 1．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 因为在上单调递增，且， 所以，故， 是减函数，且， 所以，即， 故， 故选：A. 2．已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为与，，在上交点的横坐标，数形结合，即可判断. 【详解】由可把看作函数与函数在上交点的横坐标， 同理，，可看作函数与，在上交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作出，，，的图象，由图象可知. 故选：A    3．若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式化为，构造函数，判断是定义域上的增函数，根据不等式的性质逐项判断即可得出结论. 【详解】因为，所以， 设， 因为是定义在上的增函数，是定义在上的减函数， 所以是定义在上的增函数，则， 时，不一定成立，如时，选项A错误； 成立，选项B正确； 不一定成立，如，选项C错误； 不一定成立，如时，选项D错误. 故选：B. 题型13综合型求参 1．已知函数，设，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性情况，及分段函数在每段内的最值情况可得与的取值范围及与间关系，进而可得，利用换元法可得取值范围. 【详解】由，易知函数在和上分别单调递增， 所以， 又当时，， 因为， 则，，即，， 又，所以， 所以， 设，则，， 所以， 故选：C. 2．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果. 【详解】因为在上为增函数，在上为减函数， 所以在为增函数， 所以函数在区间上的值域为， 所以，整理得， 所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下： （1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为. （2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围. 3．已知函数若关于x的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，有个实根，故方程有个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围. 【详解】 由，得或， 作出的图象，如图所示，由图可知，方程有2个实根， 故方程有3个实根，故m的取值范围为. 故选：A 【点睛】方法点睛： 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 能力培优 1．已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案； 【详解】当时，， 所以，即，所以， 则， 因为在上递增， 所以； 当，，所以， 所以，不存在，使得； 当时，， 因为，所以， 所以， 则， 令，则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围. 2．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析每一段函数的单调性，并且在分段点处也要满足单调性要求，即可求出结果. 【详解】当，，令， 则，根据复合函数的单调性得到在上单调递增， 所以对称轴，即， 此时最小值点，解得， 所以； 当，，因为在上单调递增， 令，则， 根据复合函数的单调性得到在上单调递减， 所以对称轴，即， 此时最大值点，解得， 所以； 综上，的取值范围是， 故选：A. 3．已知函数 ，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性，进而根据函数的性质，列出方程推得，然后根据“1”的代换，结合基本不等式，求解即可得出答案． 【详解】，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 且为单调递增函数， 所以， 所以， 可得，即， 又，，所以 ， 当且仅当即等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据函数的奇偶性、单调性得出. 4．已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可得函数在上递增，利用可得的值. 【详解】解法1：因为， 所以， 所以关于对称. 因为，函数在区间上的值域为，所以. 解法2：因为在上递增， 所以. 解法3：取，因为在上递增， 所以. 故选D. 5．已知函数，则（    ） A．是R上的减函数 B．不等式的解集为 C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】A选项，根据在R上单调递增，且恒成立，得到A正确；B选项，先计算出，从而得到，由函数单调性得到不等式，求出解集；C选项，由得到，求出；D选项，根据得到对称中心. 【详解】A选项，在R上单调递增，且恒成立， 故是R上的减函数，A正确； B选项，， 故，所以， 由A知，是R上的减函数，故，解得， 故等式的解集为，B正确； C选项，若是奇函数，则， 由B选项知，，故，解得，C正确； D选项，由B选项知，，故的图象关于点对称， 由于与不一定是同一个点，D错误. 故选：ABC 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 6．已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 又因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，故D正确. 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据和函数无限接近直线但又不与该直线相交，得到，结合函数的奇偶性和单调性计算即可. 7．已知函数，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，结合图象可得，，的范围，再由，，即可求得和的范围. 【详解】因为， 所以时，且在上单调递减； 当时，且在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，，作出函数的图象： 因为，且， 由图象可知，，，，由得不出，故正确，错误； 因为，所以，所以，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即，故正确； 因为，所以，所以 函数在上单调递增，所以， 即的取值范围为，故正确； 故选：. 【点睛】方法点睛：作出的图象，将图象位于轴下方的部分翻折到轴上方的部分，其余不变，即可得到的图象. 8．设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法将方程化简成一元二次方程，原方程要有3个不等的实根，需要一元二次方程应该有两个不相等的实根，再数形结合分情况讨论即可求得实数的取值范围. 【详解】令，则，即， 可得， 作出函数的图象如下图所示：    若方程有3个不等的实根， 由图可知方程必有两根，， 当，时，可得，解得，，不合题意； 当，时，需满足， 解得，即. 当，时，可得，解得，，满足题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用换元法将原方程转化为方程必有两根的问题，再利用函数与方程的思想由二次函数根的分布情况即可求得结果. 9．已知函数，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，定义域为，， 则， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则， 所以，即，则， 又，，则，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧： （1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件； （2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 10．已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，的解析式，然后对的范围进行分类讨论，将不等式问题转化为函数最值问题，从而求解. 【详解】由①可得， 又函数分别为上的偶函数和奇函数， 则，， 则②， ①②可得，则， ①②可得，则， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，， 其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ，即， 由任意，使得成立， 当时，则，此时满足对于任意，任意， 使得成立， 当时，可得，即，解得，即， 综上，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于将的范围分类讨论，转化为函数最值问题. 高考真题 1．(2024年天津高考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．(2023年全国甲卷高考）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 3．(2023年全国新课标1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4.(2022年北京高考）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 5．．(2023年全国乙卷高考）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 07 指数运算与指数函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：指数运算 题型二：指数式子运算 题型三：指数图像定点与渐近线 题型四：复合型指数函数值域 题型五：复合型指数函数单调性 题型六：指数不等式：定义域型 题型七：复合型一元二次指数型 题型八：恒成立求参：双变量 题型九：能成立求参 题型十：指数函数核心复合型：反比例型 题型十一：指数函数型高斯取整 题型十二：比大小：指数幂型 题型十三：综合型求参 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 指数运算 ⭐技巧积累与运用 指数运算公式与指数函数 ①a＝ ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn. 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 指数式子运算 ⭐技巧积累与运用 有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 2．若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型03 指数图像定点与渐近线 ⭐技巧积累与运用 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 1．函数，且的图象过定点，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 复合型指数函数值域 ⭐技巧积累与运用 指数函数值域，根据底数大于1或者小于1，结合对应单调性求解值域。要注意指数函数的“一点一线”是否会限制值域范围 求解形如的指数型函数值域的思路： （1）分析的单调性以及值域； （2）分析的单调性； （3）根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域. 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型05 复合型指数函数单调性 ⭐技巧积累与运用 (1)单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； (2) 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 指数不等式：定义域型 ⭐技巧积累与运用 指数函数不等式解法 1. 同底法。化为同底型 2. 讨论底数比1大还是比1小，借助单调性比大小 3. 转化为指数幂的新不等式求解 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型07 复合型一元二次指数型 ⭐技巧积累与运用 求解形如的指数型函数值域的思路： （1） 、换元法，令=t，构造关于t的一元二次函数，分类讨论求值域。 （2）、直接配方法。配凑为，结合定义域用“包装法”求值域。 1．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设a>0，且a≠1，函数在[-1，1]上的最大值是14，则实数a的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．2或 题型08 恒成立求参：双变量 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知， 若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 能成立求参 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， 相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； 1．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 2．已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10 指数函数核心复合型：反比例型 ⭐技巧积累与运用 1.指数函数一次反比例型，可以通过分离常数求值域 2.指数型反比例函数，可以通过指数换元后，转化为反比例函数求解值域，反比例函数图像性质。 形如：。对称中为P，其中 1．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 3．已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 题型11 指数函数型高斯取整 ⭐技巧积累与运用 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 取小数函数 ，， 可画出函数图像，如图： 指数型取整函数，多可以通过分离变量，分离出整数后讨论底数与定义域，进行“取整”运算 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，设，则下列结论错误的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 题型12 比大小：指数幂型 ⭐技巧积累与运用 指数幂比较大小 ①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较； ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较； ③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”. 1．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若则（    ） A． B． C． D． 题型13综合型求参 1．已知函数，设，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数若关于x的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 能力培优 1．已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．已知函数，则（    ） A．是R上的减函数 B．不等式的解集为 C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称 6．已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 7．已知函数，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 8．设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是 . 9．已知函数，若，且，则的最小值为 ． 10．已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 高考真题 1．(2024年天津高考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(2023年全国甲卷高考）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 3．(2023年全国新课标1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.(2022年北京高考）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 5．．(2023年全国乙卷高考）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$