第01讲 6.1平面向量的概念（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第01讲 6.1平面向量的概念 课程标准 学习目标 ①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。 ②会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别。 ③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。 1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系； 2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别； 3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法； 知识点01 向量的概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. ①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②向量与向量之间不能比较大小. 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A,B,D只有大小，C即有大小又有方向 故选:C （2）数量 只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等 （3）向量与数量的区别 ①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小 ②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的). 知识点02 向量的几何表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头. ②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. （4）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 ①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. ②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. ③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. ④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点03:相等向量与共线向量 (1)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (2)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. （3）共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线. 共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D． 【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 题型01 向量的有关概念 【典例1】（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 【典例2】（多选）（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）在下列结论中，正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量 C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；     B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确； C. 相等向量方向相同，模相等，正确；     D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选： 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题. 【变式1】（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 【变式2】（24-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同； 若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量； 两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题． 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是 A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【解析】根据向量的定义，既有大小，又有方向的量，即可选出结果． 【详解】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量. 故选：D 【点睛】本题考查了向量的定义，物理的意义，属于基础题. 题型02 向量的几何表示 【典例1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量的方向和模长画出和，利用相反向量画出. 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 【变式1】（24-25高一·湖南·课后作业）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，点A在点O北偏西45°方向； (2)，点B在点O正南方向． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】(1)根据描述找出终点A即可； (2)根据描述找出终点B即可. 【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点： (2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点： 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）． 【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可. （2）由题设知，易知为平行四边形，即可求. 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 题型03 向量的模 【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【答案】 【知识点】向量的模 【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求. 【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示： 在中，，，所以. 故答案为： 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量的模 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【知识点】向量的模 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 题型04 零向量与单位向量 【典例1】（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量 【分析】由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误. 【详解】A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确； 故选：B 【典例2】（23-24高一下·上海·课后作业）若为单位向量，，则可用表示 . 【答案】 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量的模和的倍数关系即可得到答案. 【详解】∵为单位向量,∴,又∵,∴, 故答案为: . 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可. 【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 【变式2】（24-25高一下·全国·课前预习）单位向量 长度为 的向量称为单位向量．对于任一非零向量，都可得到与它方向相同的唯一单位向量． 【答案】1 【知识点】零向量与单位向量 【分析】略 【详解】略 题型05 相等向量 【典例1】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可． 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【知识点】相等向量 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 【变式1】（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【答案】，，，. 【知识点】相等向量 【分析】根据正八边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】依题意可得，，，. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 【答案】，，. 【知识点】相等向量 【分析】根据几何性质得到向量之间的关系，结合相等向量的概念即可直接得到答案. 【详解】∵分别是各边的中点， ∴，，，，， ∴；；. 题型06 共线向量 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 【典例2】（多选）（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】BD 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量模的定义即可求解C，根据向量共线定义可判断B，根据向量相等的定义即可求解AD. 【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误， 对于B，若，则，B正确， 对于C，向量不能比较大小，故C错误， 对于D，若，则，D正确， 故选：BD 【典例3】（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 【变式1】（多选）（2024·海南·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【答案】CD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】由向量的表示、共线向量的概念以及向量的模的定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，可以用有向线段表示向量，故A不符合题意； 对于B，非零向量与非零向量共线即平行，则与的方向相同或相反，故B不符合题意； 对于C，例如在平行四边形中，向量与向量共线， 但，，，四点不在一条直线上，故C符合题意； 对于D，如果，那么，但，故D符合题意. 故选：CD. 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．向量共线与的意义是相同的 C．就是所在的直线平行于所在的直线 D．若，则与不共线 【答案】CD 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据相等向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】相等向量一定是平行向量，平行向量又叫共线向量，故A，B正确； 若，则所在的直线平行于所在的直线， 或所在直线就是所在直线，故C错误； 若，则，但是，故D错误． 故选：CD 【变式3】（多选）（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【知识点】相反向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 第01讲 6.1平面向量的概念 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．所有的单位向量的模均相等 C．零向量与任何向量共线 D．相等向量必为共线向量 【答案】A 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据实数与向量的积判断A，根据单位向量的概念判断B，根据零向量的性质判断C，根据相等向量的性质判断D. 【详解】对A：因为，故A错； 对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确； 对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确； 对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量， 故选：． 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 6．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 8．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【知识点】零向量与单位向量、相等向量 【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误. 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】AB 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量相等与共线的概念即可求解. 【详解】向量与向量互为相反向量，方向相反，所以，故A正确； 两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故B正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故C错误； 若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D在同一条直线上或直线AB与直线CD平行；故D错误. 故选:AB． 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 12．（24-25高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】相等向量、相反向量 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 6.1平面向量的概念 课程标准 学习目标 ①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。 ②会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别。 ③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。 1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系； 2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别； 3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法； 知识点01 向量的概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. ①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②向量与向量之间不能比较大小. 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 （2）数量 只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等 （3）向量与数量的区别 ①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小 ②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的). 知识点02 向量的几何表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头. ②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. （4）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 ①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. ②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. ③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. ④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点03:相等向量与共线向量 (1)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (2)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. （3）共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线. 共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 题型01 向量的有关概念 【典例1】（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（多选）（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）在下列结论中，正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量 C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等 【变式1】（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式2】（24-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是 A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 题型02 向量的几何表示 【典例1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【变式1】（24-25高一·湖南·课后作业）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，点A在点O北偏西45°方向； (2)，点B在点O正南方向． 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 题型03 向量的模 【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 题型04 零向量与单位向量 【典例1】（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 【典例2】（23-24高一下·上海·课后作业）若为单位向量，，则可用表示 . 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高一下·全国·课前预习）单位向量 长度为 的向量称为单位向量．对于任一非零向量，都可得到与它方向相同的唯一单位向量． 题型05 相等向量 【典例1】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【变式1】（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 题型06 共线向量 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【典例2】（多选）（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 【典例3】（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【变式1】（多选）（2024·海南·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．向量共线与的意义是相同的 C．就是所在的直线平行于所在的直线 D．若，则与不共线 【变式3】（多选）（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 第01讲 6.1平面向量的概念 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．所有的单位向量的模均相等 C．零向量与任何向量共线 D．相等向量必为共线向量 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 6．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 8．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 12．（24-25高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 14．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． / 学科网（北京）股份有限公司 $$