第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用（知识清单+4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用 知识点01：二项式系数的性质 ①各二项式系数和： ； ②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点02：杨辉三角至少具有以下性质： ①每一行都是对称的，且两端的数都是1 ②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． ③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 题型01 二项展开式的系数问题 【典例1】（多选）（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．的系数为10 B．第4项的二项式系数为10 C．没有常数项 D．各项系数的和为32 【典例2】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）二项式，若，则 . 【典例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若，则 ． 【变式1】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高三上·山东青岛·期中）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为15 B．各项系数之和为1 C．二项式系数最大项是第3项 D．系数最大项是第3项或第5项 【变式3】（24-25高三上·浙江·期中）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 题型02 杨辉三角的有关问题 【典例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【典例2】（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【典例3】（23-24高二下·山西长治·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列．若数列的前n项和为，则等于（   ）    A．235 B．512 C．521 D．1033 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【变式3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 题型03 求二项展开式中的系数最大项问题 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式中，系数最大的是第 项． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项． 【变式1】（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）求的展开式中系数最大的项． 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）已知的展开式前三项中的的系数成等差数列 (1)求展开式里所有的的有理项； (2)求展开式里系数最大的项. 题型04 二项式定理的应用 【典例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【典例2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）（1）在的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和． （2）证明：展开式中的常数项为． （3）设的小数部分为，比较与1的大小 【变式1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）设，且，若能被13整除，则 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用 知识点01：二项式系数的性质 ①各二项式系数和： ； ②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点02：杨辉三角至少具有以下性质： ①每一行都是对称的，且两端的数都是1 ②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． ③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 题型01 二项展开式的系数问题 【典例1】（多选）（24-25高三上·江苏宿迁·期中）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．的系数为10 B．第4项的二项式系数为10 C．没有常数项 D．各项系数的和为32 【答案】BC 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】利用二项展开式的通项公式得，再合理赋值即可判断各选项. 【详解】展开式第项， ， 对A，令，即时，，的系数为，A错； 对B，第4项的二项式系数，B对； 对C，因为，则展开式无常数项，C对； 对D，时，各项系数和不是，则D错， 故选：BC. 【典例2】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）二项式，若，则 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】首先根据绝对值和的意义，采用赋值法求，再求. 【详解】二项式的通项为， 令，得， 所以， 中，是的系数，所以. 故答案为： 【典例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若，则 ． 【答案】20 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】先由题设赋值得，从而求出n，再由二项式定理的通项公式即可计算求解. 【详解】由题，所以， 所以， 所以，即. 故答案为：20. 【变式1】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 【变式2】（多选）（24-25高三上·山东青岛·期中）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为15 B．各项系数之和为1 C．二项式系数最大项是第3项 D．系数最大项是第3项或第5项 【答案】AD 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为， 令，则各项系数之和为，故B错误； 对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：， 故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确； 故选：AD. 【变式3】（24-25高三上·浙江·期中）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 题型02 杨辉三角的有关问题 【典例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【知识点】杨辉三角 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B 【典例2】（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【答案】 【知识点】导数的加减法、导数的乘除法、杨辉三角、二项展开式的应用 【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第行的第个数为；从而得到新的三角数阵中第行的和为：，令，，两边求导得，再通过赋值，即可求解. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为. 故答案为：90，． 【典例3】（23-24高二下·山西长治·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【答案】 11 【知识点】杨辉三角 【分析】利用给定条件归纳出规律，结合杨辉三角的性质求解即可. 【详解】依据给定条件我们发现第8条线为，第9条线为， 第10条线为，第11条线为， 第12条线为，第13条线为， 第14条线为，第15条线为， 第16条线为，第17条线为， 第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数， 第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数， 所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1， 所以第21条线上的数共有11个 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1， 第5条线有，所以最大数字为3， 第9条线有，所以最大数字为15， 第13条线有，所以最大数字为84， 第17条线有，所以最大数字为495， 若设线的条数为，则第21条线中的最大数字也满足 第条线上的最大数字的规律， 而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行， 第8行为，第9行为， 第10行为， 第11行为， 第12行为， 第13行为， 第14行为， 第15行为， 第16行为， 我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数， 第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个， 第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个， 所以我们归纳出如下规律，在线的条数为时， 其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位， 所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为. 故答案为：11； 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定条件归纳得到规律，然后结合杨辉三角的性质得到所要求的结果即可 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列．若数列的前n项和为，则等于（   ）    A．235 B．512 C．521 D．1033 【答案】C 【知识点】杨辉三角 【分析】前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，再结合杨辉三角形的性质求解. 【详解】根据题意，杨辉三角前9行共有（项）． 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9， 又杨辉三角的第行的所有数的和为， 所以前47项的和． 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【答案】 【知识点】杨辉三角、二项式定理与数列求和 【分析】根据题意可知，则=，结合二项式定理可得答案. 【详解】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 题型03 求二项展开式中的系数最大项问题 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式中，系数最大的是第 项． 【答案】9 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】利用二项式定理的通项公式，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式组即可求解. 【详解】由题意，的展开式的通项为，则系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得， 因此系数绝对值的最大值的项是第项和第项，而系数最大项在奇数项， 所以系数最大的是第9项. 故答案为： 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】和 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】利用二项式系数和求出，然后列不等式求出系数最大项即可. 【详解】∵的二项式系数之和为128，， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， ∴展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项． 【答案】，． 【知识点】求系数最大（小）的项、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】利用二项式系数为，列出方程求出值，利用二项展开式的通项公式求出第项，利用展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项． 【详解】末三项的二项式系数分别为、、， 由题设，得， 即． 所以，所以（舍去）． 因为， 设项，项和的系数分别为、和， 则，，． 设最大，则， 可解得或． 所以展开式中系数最大的项是，． 【变式1】（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】/ 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】由二项式系数最大和系数最大的定义求解. 【详解】由题意得，通项， 当满足时，系数最大， ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）求的展开式中系数最大的项． 【答案】． 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、求系数最大（小）的项 【分析】利用通项公式，由系数大小建立不等关系求解可得. 【详解】设展开式中第项的系数最大， 又，. 则当时， 由，.即解得． 又因为，，所以，. 当时，，系数为； 当时，，系数为. 综上可知，展开式中第5项的系数最大，为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）已知的展开式前三项中的的系数成等差数列 (1)求展开式里所有的的有理项； (2)求展开式里系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由于展开式中的前三项系数为：，，，由等差中项关系从而可求得，再利用通项令的幂指数为整数，求得的值，求有理项． （2）设第项的系数最大，则，解得的范围，再结合通项公式以及为整数，求得展开式中系数最大的项． 【详解】（1）展开式中的前三项系数为：，，， 这三数成等差数列，即， 或（舍去），； 展开式的通项公式， 要使项为有理项，则， ，4，8． 有理项为：，，． （2）设第项的系数最大，则有，解得， 故系数最大的项为第三项和 第四项． 题型04 二项式定理的应用 【典例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求出被除的余数即可. 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 【典例2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】先逆用二项式定理得出,再化简得出再结合展开式得出余数即可. 【详解】因为， 又，所以被除得余数为， 又，且和被除得余数为， 故选：BD. 【典例3】（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）（1）在的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和． （2）证明：展开式中的常数项为． （3）设的小数部分为，比较与1的大小 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】（1）根据所求项，将问题化为求展开式中的所有项的系数和，再由赋值法求结果； （2）将多项式化为，结合二项式定理求分子中含的项，即可证； （3）由题设可得，应用二项式定理展开左侧并化简，即可判断大小. 【详解】（1）解：（，）的项即展开式中的所有项， 令，得（，）的所有项的系数之和为． （2）证明：因为， 所以 ， 对于，其中含的项为， 所以展开式中的常数项为． （3）解：由，得的整数部分为2， 则，所以， 即 ， 所以， 因为，则， 所以． 【变式1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、奇次项与偶次项的系数和、整除和余数问题、赋值法 【分析】利用二项式定理赋值化简，再将写成形式展开后可求余数. 【详解】由二项式定理得， 令得，①， 令得，②， ①②得，， 解得，， 由 ， 故被3除的余数为. 故选：B. 【变式2】（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、整除和余数问题 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D． 【详解】由已知有，故，． 所以． 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，， 后一项即为余数1，C正确． 对于D，由有． 在中取得， 所以，D正确． 故选：BCD． 【变式3】（24-25高三·上海·随堂练习）设，且，若能被13整除，则 ． 【答案】12 【知识点】整除和余数问题 【分析】将写成，然后将二项式展开，含52的项能被13整除， 要能被13整除，则能被13整除，即可求得. 【详解】因为 ， 因为52能被13整除， 所以能被13整除，则能被13整除，且，，故． 故答案为：12. / 学科网（北京）股份有限公司 $$