九年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A C B A D C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．1 15．或 16．①②③ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题6分） 【详解】解：任务一：因式分解法； 任务二：小明与小亮的解法均不正确； 正确的解法为：解：， 移项，得， 提取公因式，得，则，或， 解，得，． 任务三：转化思想 19．（本题6分） 【详解】（1）证明：∵ 且 ∴； （2）解： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 20．（本题8分） 【详解】（1）解：， ， 又， ， ． ，B两点在直线上， ， 解得， 一次函数的表达式为． 如图，过点C作于点E， ， ， 易知， ， ， ，， ， ， 点C在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）由（1）建立方程组， 解得或， ， 如图，过点D作轴于点F，则， ． 21．（本题8分） 【详解】（1）    总人数=，E类人数= （2）E的占比= ∴扇形E的圆心角度数=； （3）    共有16种可能结果，其中选同一类的结果数为4，故概率为． 22．（本题9分） 【详解】（1）证明：连结． ， ， 与相切于点E， ， ， 在中， ， ， 又， ， ． （2）解：连结交于M，连结， ∵点C为的中点， ， ， 垂直平分于点M， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 连接， 设，则， 解得：， ． 23．（本题9分） 【详解】（1）解：过点作与点， 延长交于， ∵斜坡的坡度米， ∴设米， 则米， 在中， ，即， 解得， 米， 米， 答：斜坡的高为米； （2）解：， ∴四边形是矩形， 米，米， 米，米， 在中， ， 米， 米， 答： 古树的高AB约为米． 24．（本题10分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径； （2）①证明：连接， ∵， ∴，， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：连接并延长交于点，连接， 当点位于上时， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点位于上时， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点位于上时， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当点位于上时，；当点位于上时，． 25．（本题10分） 【详解】（1））把代入可得 ， 解得； （2）（）由（1）可得抛物线解析式为，，， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵两点均在该抛物线对称轴的左侧， ∴， 解得， ∴， ∴； （）∵， ∴直线解析式为， ∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点， ∴，， ∴， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形周长为 ∵， ∴， ∴当时最大，最大值， 即四边形周长最大值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断的前提．根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一个小正方形． 故选：B 3．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程． 【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； （2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程； （3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程； （4）不是整式方程，不是一元二次方程． ∴是一元二次方程是（1），共有1个， 故选：A． 4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可． 【详解】解：A. 反比例函数中的这个函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确，不符合题意； B. 点在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意； C. 选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意； D. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．分别代入到求出、、的值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：代入到得，， ， 同理可得：，， ， ． 故选：B． 6．下列语句：①三角形的内心到三角形各边的距离相等；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③过平面内三点可以作一个圆；④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内心，圆的基础知识的综合，根据三角形的内心的性质，弧、弦、圆心角等知识的理解，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①三角形的内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得三角形内心到三角形各边的距离相等，正确； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，圆周角不一定相等，如图所示， 在中，弦弦，弦对应的圆周角为，弦对应的圆周角为， 根据图示可得，，故②错误； ③过平面内不在同一直线的三点可以作一个圆，故③错误； ④经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故④错误； ⑤相等的圆心角所对的弧相等，如图所示， ，但，故⑤错误． 综上所述，正确的有①，共1个， 故选：A ． 7．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 9．如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论： ①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 10．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵时，， ∴，即，故正确， ∵二次函数的图象过点和， ∴，， ∴ ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∵ ，故正确， 当时，， 又∵图象过点和， ∴当时，，， 则 ∴ ∴，故正确， 综上正确， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：新几何体的表面积， 故答案为： 13．如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．下列四个小题中，正确的有 个（填个数） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则m的值为2或； ③一元二次方程．不论m取何值，方程都有实数根； ④已知：，则A的值为． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值．根据二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值求解即可判断． 【详解】解：①把根号外的因式移入根号内的结果是；①的说法错误； ②若是方程的解， ∴，解得或； 即m的值为2或；②的说法正确； ③一元二次方程， ，， 当时，方程都有实数根；③的说法错误； ④当时， ∵，，， ； 当时， ．④的说法错误； 综上，只有②的说法正确，共1个； 故答案为：1． 15．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当与相似时， ．    【答案】或 【分析】本题考查矩形，相似三角形，折叠，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意，求出，，根据勾股定理求出的值，根据折叠的性质，可得设，则，分类讨论：当；当时，根据相似三角形的判定和性质，求出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点 ∴， ∴， ∵沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处， ∴， 设，则， 当， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 16．如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ③． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到，再由得到，从而确定①正确；由①的推理过程及平分，得到，再由对顶角相等，等量代换即可确定，由等腰三角形的判定即可确定②正确；由，作出图形，得到，，由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长，再由等边三角形的判定得到是等边三角形，再由角平分线及三角函数进而求出等边三角形边长，过点作，垂足为，如图所示，求出的高即可得到其面积；由相似三角形的判定得到，由相似性质确定即可得到答案． 【详解】解：是的直径， ，则， ， ，则， ，故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，即为等腰三角形，故②正确； ，如图所示： ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 由②知是等腰三角形，由①知， ，即是等边三角形， 平分， ， 在中，，，则， ， 过点作，垂足为，如图所示： ， 在中，，则， ，故③正确； 如图所示： 平分， ， ， ， ， 由①可知， 在中，，故④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何综合，综合性特别强，难度很大，涉及圆周角定理、互余、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积公式及相似三角的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质，根据所要求解的问题，准确构造辅助线是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后计算加减． （2）首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的性质，立方根等计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 18．（本题6分）阅读理解，并解决问题： 在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：．”如下是小明和小亮两位同学的做法． 小明： 解： 两边同时除以，得， 解，得． 小亮： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解，得，． 任务一：小亮解方程的方法为______； 任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程； 任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______． 【答案】任务一：因式分解法； 任务二：小明与小亮的解法均不正确，过程见解析 任务三：转化思想 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：任务一：因式分解法； 任务二：小明与小亮的解法均不正确； 正确的解法为：解：， 移项，得， 提取公因式，得，则，或， 解，得，． 任务三：转化思想 19．（本题6分）如图，在平行四边形中，，，连接，在上取一点E，使得，连接交于点F，点G是上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求FG的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由得则由得即可由且证明； (2)由相似三角形的性质得则，由平行四边形的性质得所以则求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 且 ∴； （2）解： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 20．（本题8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题、平行线分线段成比例定理、反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． （1）根据、点的坐标，求出的解析式，再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式； （2）过点D作轴于点F，列方程求出点的坐标，再根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ． ，B两点在直线上， ， 解得， 一次函数的表达式为． 如图，过点C作于点E， ， ， 易知， ， ， ，， ， ， 点C在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）由（1）建立方程组， 解得或， ， 如图，过点D作轴于点F，则， ． 21．（本题8分）聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：    (1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）； (2)图2中扇形E的圆心角度数为 度； (3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率． 【答案】(1)见解析． (2)54． (3)见解析． 【分析】（1）通过B的占比计算总人数，进一步算出E组人数； （2）计算E组的人数占比，用周角计算扇形的角度； （3）根据题意，用列表法（或树状图）列出所有等可能结果，计算概率； 【详解】（1）    总人数=，E类人数= （2）E的占比= ∴扇形E的圆心角度数=； （3）    共有16种可能结果，其中选同一类的结果数为4，故概率为． 【点睛】本题考查数据统计的条形图及扇形图、概率的计算；理解条形图、扇形的统计意义，会应用列表法或树状图工具是解题的关键． 22．（本题9分）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H． (1)求证：． (2)若点C为的中点，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结．根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，得到，结合和可得，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）连结交于M，连结，由点C为的中点，得到，求得，推出垂直平分于点M，根据垂径定理得到，，可求得，，根据勾股定理求得的长，设，则，根据勾股定理求得的值，连接，再设，则，解得的值即可得到结论． 【详解】（1）证明：连结． ， ， 与相切于点E， ， ， 在中， ， ， 又， ， ． （2）解：连结交于M，连结， ∵点C为的中点， ， ， 垂直平分于点M， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 连接， 设，则， 解得：， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 23．（本题9分）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作与点， 延长交于，根据斜坡的坡度可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出与的长，故可得出结论； （2）由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：过点作与点， 延长交于， ∵斜坡的坡度米， ∴设米， 则米， 在中， ，即， 解得， 米， 米， 答：斜坡的高为米； （2）解：， ∴四边形是矩形， 米，米， 米，米， 在中， ， 米， 米， 答： 古树的高AB约为米． 24．（本题10分）已知，，，为上的四个点，连接，，，，，，，． (1)如图，求证：为的直径； (2)如图，在直线上取点，使得点在的垂直平分线上，连接并延长交于点． ①求证：； ②过点作于点，连接并延长交直线于点，连接．在点运动的过程中，点的位置会随之变化，当，，不在同一条直线上时，的度数是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②当点位于上时，；当点位于上时， 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，再根据三角形内角和求出，即可得证； （2）①连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，，根据垂直平分线的性质得，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； ②分三种情况：当点位于上时；当点位于上时；当点位于上时，分别求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径； （2）①证明：连接， ∵， ∴，， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：连接并延长交于点，连接， 当点位于上时， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点位于上时， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点位于上时， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当点位于上时，；当点位于上时，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25．（本题10分）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 【答案】(1)， (2)（）；（）四边形周长的最大值 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质． （1）把代入计算即可； （2）（）把代入解析式，再结合计算的取值范围即可；（）先根据垂线求出，的坐标，再根据四边形为平行四边形可得，得到与的关系，最后表示出四边形周长求最大值即可． 【详解】（1））把代入可得 ， 解得； （2）（）由（1）可得抛物线解析式为，，， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵两点均在该抛物线对称轴的左侧， ∴， 解得， ∴， ∴； （）∵， ∴直线解析式为， ∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点， ∴，， ∴， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形周长为 ∵， ∴， ∴当时最大，最大值， 即四边形周长最大值． 试卷第34页，共35页 试卷第33页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．下列语句：①三角形的内心到三角形各边的距离相等；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③过平面内三点可以作一个圆；④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论： ①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④ 10．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 12．将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ． 13．如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 14．下列四个小题中，正确的有 个（填个数） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则m的值为2或； ③一元二次方程．不论m取何值，方程都有实数根； ④已知：，则A的值为． 15．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当与相似时， ．    16．如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ③． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 18．（本题6分）阅读理解，并解决问题： 在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：．”如下是小明和小亮两位同学的做法． 小明： 解： 两边同时除以，得， 解，得． 小亮： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解，得，． 任务一：小亮解方程的方法为______； 任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程； 任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______． 19．（本题6分）如图，在平行四边形中，，，连接，在上取一点E，使得，连接交于点F，点G是上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求FG的长． 20．（本题8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 21．（本题8分）聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：    (1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）； (2)图2中扇形E的圆心角度数为 度； (3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率． 22．（本题9分）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H． (1)求证：． (2)若点C为的中点，，，求的长度． 23．（本题9分）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 24．（本题10分）已知，，，为上的四个点，连接，，，，，，，． (1)如图，求证：为的直径； (2)如图，在直线上取点，使得点在的垂直平分线上，连接并延长交于点． ①求证：； ②过点作于点，连接并延长交直线于点，连接．在点运动的过程中，点的位置会随之变化，当，，不在同一条直线上时，的度数是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出的度数． 25．（本题10分）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．下列语句：①三角形的内心到三角形各边的距离相等；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③过平面内三点可以作一个圆；④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论： ①；②；③；④，其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②③④ 10．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 12．将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为，，新几何体的最大横截面圆的半径，则新几何体的表面积为 ． 13．如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 14．下列四个小题中，正确的有 个（填个数） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则m的值为2或； ③一元二次方程．不论m取何值，方程都有实数根； ④已知：，则A的值为． 15．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当与相似时， ．    16．如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ③． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 18．（本题6分）阅读理解，并解决问题： 在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：．”如下是小明和小亮两位同学的做法． 小明： 解： 两边同时除以，得， 解，得． 小亮： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解，得，． 任务一：小亮解方程的方法为______； 任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程； 任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______． 19．（本题6分）如图，在平行四边形中，，，连接，在上取一点E，使得，连接交于点F，点G是上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求FG的长． 20．（本题8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 21．（本题8分）聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：    (1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）； (2)图2中扇形E的圆心角度数为 度； (3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率． 22．（本题9分）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H． (1)求证：． (2)若点C为的中点，，，求的长度． 23．（本题9分）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 24．（本题10分）已知，，，为上的四个点，连接，，，，，，，． (1)如图，求证：为的直径； (2)如图，在直线上取点，使得点在的垂直平分线上，连接并延长交于点． ①求证：； ②过点作于点，连接并延长交直线于点，连接．在点运动的过程中，点的位置会随之变化，当，，不在同一条直线上时，的度数是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出的度数． 25．（本题10分）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 试卷第6页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$