6.2.2 排列数（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

第六章 计数原理 6.2.2 排列数 ·选择性必修第三册· 学习目标 1.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.（重点） 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（难点） 情景导入 6.2.2 排列数 01 引入新知 在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 问题：上述情景中的问题能否用一个公式来表示？ 引入新知 前面给出了排列的定义，研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？下面探究计算排列个数的公式. 排列数 6.2.2 排列数 02 探究新知 排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，可记作： 符号 中的A是英文 arrangement(排列) 的第一个字母 探究新知 探究 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m ≤ n) 是多少？ 探究新知 要求 利用分步乘法计数原理计算有多少种填法？ 完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为： =n(n-1). 第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个元素 中任选1个，有n种方法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1) 个元素中任选1个，有(n-1)种方法； 探究新知 要求 用以上相同的方法求求排列数 第1位 第2位 第3位 求排列数 按依次填3个空位来考虑， 有： =n(n-1)(n-2). n-2 n n-1 探究新知 要求 用以上相同的方法求求排列数 一般地，求排列数 可以按依次填 m 个空位来考虑： 假定有排好顺序的 m 个空位，如图，从 n 个不同元素中取出 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列. · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 填空可分为m个步骤： 第1步, 从n个不同元素中任选1个填在第1位上, 有n种选法； n 第2步 , 从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上 , 有(n-1)种选法； n-1 n-2 n-m+1 探究新知 要求 用以上相同的方法求求排列数 第3步, 从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上, 共有(n-2)种选法； …… 第m步, 从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法； 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为： n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). 这样，我们就得到公式： =n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). 这里, m, n∈N*, 并且m≤n. 这个公式叫做排列数公式. 探究新知 排列数公式 思考：你能说一下排列数公式的特点吗？ 排列数公式的特点： 1. 公式中是 m 个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数 是(n－m＋1). 探究新知 两个重要概念 全排列 特别地，我们把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列． 全排列数为: 阶乘 探究新知 要求 排列和排列数的区别？ 应用新知 小试牛刀 应用新知 解析 应用新知 总结 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 应用新知 跟踪练习 解析 探究新知 思考： 排列数公式的阶乘形式 探究新知 总结 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 计算公式： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 排列数公式的应用 应用新知 例4：用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 分析 在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 解法1：如图，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~9这9个数字中取出1个, 有种取法; 第2步, 确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 应用新知 解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为 应用新知 解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 , 其中0在百位上的排列 数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为： 思考：从例题4的解答过程中，总结引入排列的概念、归纳出排列数公式 的作用是什么？ 应用新知 总结 对于例4这类计数问题，总结从不同的角度有不同的解题方法: 解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事； 解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事； 解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数． 应用新知 跟踪练习 用0～5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 要求 用例4中的三种方法（三种不同的角度）去解题 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~5这5个数字中取出1个, 有种取法; 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的5个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为： 应用新知 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~5这5个数字中取出3个, 有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的5个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为： 应用新知 解法3: 从0~5这6个数字中选取3个的排列数为 , 其中0在百位上的排列数 为，它们的差就是用这6个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为： 能力提升 6.2.2 排列数 03 能力提升 题型一 解含有排列数的方程或不等式 例题1 解析 能力提升 题型一 解排列数方程（不等式） 例题1 解析 能力提升 总结 解含有排列数的方程或不等式的技巧 ① 先要注意先提取公因式化简，然后计算，这样做可以减 少运算量． ② 注意A中隐含了3个条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算 结果为正整数． ③ 在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的 取值范围． 能力提升 题型二 证明排列数恒等式 例题2 证明 能力提升 总结 解含有排列数恒等式的证明，将较复杂的一边用排列数阶乘形式展开，通过提取公因式等等价变形，然后等于另一边，即可得证. 能力提升 题型三 特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生不排两端，有多少种不同排法？ 解析 能力提升 题型三 特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生不排两端，有多少种不同排法？ 解析 能力提升 题型三 特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (2)如果甲、乙两人必须排两端，有多少种不同排法？ 解析 能力提升 题型三 特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (3)如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 解析 能力提升 题型三 特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (3)如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 解析 能力提升 总结 特殊优先型的排列问题的解题策略 策略1：以元素为主优先考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素; 策略2：以位置为主优先考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置; 策略3：用间接法解题，先不考虑限制条件，计算总排列数，再减去不符合要求的排列数. 课堂小结+限时小练 6.2.2 排列数 04 课堂小结 排列数 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 作业布置 巩固作业 作业1：完成教材：第20页 练习1，2，3； 作业2：配套辅导资料对应的《排列数》.  作业布置与课后练习答案 6.2.2 排列数 05 课后作业答案 课后作业答案 课后作业答案 课后作业答案 3．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? THANKS 感谢您的聆听 “一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定 的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数，是一个数．所以符号Aeq \o\al(m,n)只表示排列数，而不表示具体的排列． 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) 由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．( 　) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) 表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．( 　) 若A eq \o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)) ＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.( 　) n！＝1×2×3×…×(n－1)×n.( 　) (1) 解方程： (2) 解不等式： (1) 由3A＝4A，得＝， 所以＝. 化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为0<x≤8且0<x－1≤9，所以原方程的解得x＝6. (1) 解方程： (2) 解不等式： 原不等式即 eq \f(9！,（9－x）！) > eq \f(6×9！,（9－x＋2）！) ，其中2<x≤9，x∈N*， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0， ∴x<8或x>13. 又2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*. 故x＝3，4，5，6，7. 证明： EMBED Equation.DSMT4 . , . (1)解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从五个男生 中选两人排列，有Aeq \o\al(2,5)种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 Aeq \o\al(6,6)种排法，因此共有Aeq \o\al(2,5)Aeq \o\al(6,6)＝14400(种)不同排法． 解法二(元素分析法)：从中间六个位置选三个安排女生，有 Aeq \o\al(3,6)种排法，其余位置无限制，有Aeq \o\al(5,5)种排法，因此共有Aeq \o\al(3,6)Aeq \o\al(5,5)＝ 14 400(种)不同排法． 解法三(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有Aeq \o\al(8,8) 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(7,7)种排法和 女生排在末位的Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(7,7)种排法，但这样两端都是女生的排 法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女 生排在末位的情况时又被扣去一次．由于两端都是女生 有Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq \o\al(8,8)－2Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(7,7)＋Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(6,6)＝ 14 400(种)不同排法． 甲、乙为特殊元素，先将它们排在两端位置，有Aeq \o\al(2,2)种排法， 其余6人全排列，有Aeq \o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(6,6)＝1440(种) 不同排法． (3)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置． 解法一(元素分析法)：甲在最右边时，其他的可全排列，有Aeq \o\al(7,7) 种排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有 Aeq \o\al(1,6)种排法，而乙可排在除去最右边位置和甲的位置后剩余的6 个位置中的任意一个上，有Aeq \o\al(1,6)种排法，其余人全排列，共有 Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(6,6)种排法，由分类加法计数原理得，共有Aeq \o\al(7,7)＋Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(6,6)＝ 30960(种)排法． 解法二(位置分析法)：先排最左边，除去甲外，有Aeq \o\al(1,7)种，余下 7个位置全排列，有Aeq \o\al(7,7)种排法，但应剔除乙在最右边时的排法 Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(6,6)种，所以共有Aeq \o\al(1,7)Aeq \o\al(7,7)－Aeq \o\al(1,6)Aeq \o\al(6,6)＝30 960(种)排法． 解法三(间接法)：8个人全排列，共Aeq \o\al(8,8)种．其中，不符合条件的有甲在最左 边时的Aeq \o\al(7,7)种排法，乙在最右边时的Aeq \o\al(7,7)种排法，其中都包含了甲在最左边， 同时乙在最右边的情形，共Aeq \o\al(6,6)种，所以共有Aeq \o\al(8,8)－2Aeq \o\al(7,7)＋Aeq \o\al(6,6)＝30960(种)排法． 1．计算：(1) ； (2) ； (2) 2．解方程： .（ 为自然数） 由 可得 ， 由于 为大于不小于3的自然数，所以 ， 化简得 ，解得 3．求满足 的整数 的值. 因为 得 ，解得 ， 又 ， 为整数，所以 . 4．证明下列等式． (1) ； (2) ． (1)证明：由排列数的公式，可得： ． (2)证明：由排列数公式，可得 ． 5．3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法 的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 先排最左边，除去甲外有 种排法，余下的6个位置全排列有 种 排法，则符合条件的排法共有 种. 将男生看成一个整体，进行全排列，有 种排法，与其他元素进行 全排列，有 种排法，则符合条件的排法共有 种. $$