2022-2024江苏省南京市一模二模填空压轴题汇编

2022-2024江苏省南京市一模二模填空压轴题汇编 姓名:_ 一、联合体填空压轴题 1.(2024 江苏南京 联合体一模)如图,在⊙O中,点C在优弧上,将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D,若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长是 . 2.(2023 江苏南京 联合体一模)如图,在 ABC中,,,,,分别是射线,射线上的点,,的垂直平分线交于点,当点落在上时,长的最小值为 . 3.(2022 江苏南京 联合体一模)如图,在 ABC中,,,,,则AD的长的最大值为 . 4.(2024 江苏南京 联合体二模)如图,在中,,,,点在边上,且,点在边上,把沿折叠,若点恰好落在边上,则的长为 . 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5.(2023 江苏南京 联合体二模)如图,线段和动点A构成 ABC,,,则 ABC周长的最大值 . 6.(2022 江苏南京 联合体二模)如图,在五边形AECDE中,∠A=∠B=∠C=90 ,AE=2,CD=1,以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G,则DE的长为 . 二、秦淮区填空压轴题 7.(2024 江苏南京 秦淮一模)二次函数为常数,的图象的顶点与原点的距离的最小值为 . 8.(2023 江苏南京 秦淮一模)如图,二次函数的图像的顶点为C,该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点,连接,若,,则a的值是 . 9.(2022 江苏南京 秦淮一模)如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM<ON),∠AOB=30 ,OM=a, MN=4.若边OB上有且只有1个点P,满足 PMN是等腰三角形,则a的取值范围是 . 10.(2024 江苏南京 秦淮二模)如图,在中,,,分别是,上的点,将沿着折叠,使点落在边的中点(记为处.若,,则的长为 . 11.(2023 江苏南京 秦淮二模)如图,正方形的边长是,是边的中点.将该正方形沿折叠,点落在点处.分别与,,相切,切点分别为,,,则的半径为 . 12.(2022 江苏南京 秦淮二模)如图①,是形如“T”形的拼块,其每个拐角都是直角,各边长度如图所示.如图②,用4个同样的拼块拼成的图案,恰好能放入一个边长为6的正方形中,则的值为 . 第11题图 第12题图 三、建邺区填空压轴题 13.(2024 江苏南京 建邺一模)如图,在 ABC中,,点D是边上一点,且,,则 ABC面积的最大值为 . 14.(2023 江苏南京 建邺一模)如图①,有一个圆柱形的玻璃杯,底面直径是,杯内装有一些溶液. 如图②,将玻璃杯绕点倾斜,液面恰好到达容器顶端时,与水平线的夹角为.则图①中液面距离容器顶端 . 15.(2022 江苏南京 建邺一模)如图,“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成.点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点,点B是其对称点.若,则点A的坐标是 . 16.(2024 江苏南京 建邺二模)如图,将边长为的正方形纸片的四个角分别切去边长为的小正方形,则在剩下的纸片中可剪得正方形面积最大值为 . 17.(2023 江苏南京 建邺二模)如图,在矩形中,,点在上,的平分线交于点.若,则 . 第15题图 第16题图 第17题图 18.(2022 江苏南京 建邺二模)一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数.若 是完全平方数,则正整数x的值为 . 四、鼓楼区填空压轴题 19.(2024 江苏南京 鼓楼一模)如图,已知点,,点C在y轴上运动.将绕A顺时针旋转得到,则的最小值为 . 20.(2023 江苏南京 鼓楼一模)已知二次函数与x轴有两个交点,把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若新图象与直线有三个不同的公共点,则m的值为 . 21.(2022 江苏南京 鼓楼一模)若二次函数有最大值6,则的最小值为 . 22.(2024 江苏南京 鼓楼二模)如图,正方形边长为12,E为上一点,.动点P,Q从E出发,分别向点B,C运动,且.若和交于点F,连接,则的最小值为 . 23.(2023 江苏南京 鼓楼二模)如图,的半径为2,是的一条弦,以为边作一个等边 ABC,则 长的取值范围是 . 24.(2022 江苏南京 鼓楼二模)在 ABC中,,,.若点P在内部(含边界)且,则所有满足条件的P组成的区域的面积为 . 五、玄武区填空压轴题 25.(2024 江苏南京 玄武一模)如图,在 ABC中,,,点P是 ABC内一点, 过点P作 ,, 垂足分别为D, E, F, 连接, 若,则的最小值为 . 26.(2023 江苏南京 玄武一模)如图,在中,E是边的中点,连接,若,则对角线的取值范围为 . 27.(2022 江苏南京 玄武一模)已知,,是下列函数图像上的点: ①;②;③;④ 其中,使不等式总成立的函数有 . (填正确的序号) 28.(2024 江苏南京 玄武二模)如图,在 ABC中,,,,M 、N分别是 、 边上的动点,且,则线段 的最小值为 . 29.(2023 江苏南京 玄武二模)如图,在矩形中,,,是边上的动点,连接,过点 作,与边交于点,连接,则的最小值为 30.(2022 江苏南京 玄武二模)如图,在 ABC 中,∠C=2∠B,BC的垂直平分线DE交AB于点D,垂足为E,若AD=4,BD=6,则DE的长为 . 第28题图 第29题图 第30题图 2 1 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.3. 【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,利用重径定理可得OD⊥AB,则AD=BD=AB,再根据勾股定理可得OD=1,又由折叠的性质可得=所在的圆为等园,则根据圆周角定理得到AC=CD,所以AC=DC,利再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=1,通过证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1,最后通过计算CF,得到CE=BE=3,于是得到BC=3.. 【详解】解: 连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图, ∵D为AB的中点, ∴OD⊥AB, ∴AD=BD=AB=2, 在Rt OBD中,OD===1, ∵将弧沿沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆, ∴=, ∴AC=DC, ∴AE=DE=1, 易得四边形ODEF为正方形, ∴OF=EF=1, 在Rt OCF中,CF===2, ∴CE=CF+EF=2+1=3, 而BE=BD+DE=2+1=3, ∴BC=3. 故答案为3. 【点睛】本题考查了折叠的性质,理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发生变化是解答本题的关键. 2. 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点,正确作出辅助圆、应用圆周角定理得到是关键. 以O为圆心,长为半径作外接圆,连接,由圆周角定理推出是等腰直角三角形,得到,当时,长最小,由锐角的正弦求出长即可. 【详解】解:∵的垂直平分线交于点O, ∴, ∴点O是外接圆的圆心, 如图:以O为圆心,长为半径作外接圆,连接, ∵, ∴, ∵, ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴当长最小时长最小, 当时,长最小, ∵, ∴, ∴, ∴长的最小值是. 故答案为:. 3./ 【分析】方法1:以AB为直角边在AB的上方作等腰直角 EAB,且EA=AB,连接 DE,则易得 BED∽ BAC,则可得点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60 的弧,当AD垂直平分线段BE时,AD最长,则易于求得AD的最大值; 方法2:过点D作DE⊥AC的延长线于点E,得出∠DCE=30 ,令CD=CB=x,AC=y,则DE=x,CE=x,则AE=y+x,由勾股定理,得AD2=AE2+ED2,进而求最值. 【详解】方法1:以AB为直角边在AB的上方作等腰直角 EAB,且EA=AB,连接 DE,如图, 则∠ABE=45 ,由勾股定理得. ∵,, ∴∠CBD=45 =∠ABE,, ∴∠CBD+∠EBC=∠EBC+∠ABE, 即∠EBD=∠ABC. ∵, ∴ BED∽ BAC, ∴∠EDB=∠ACB=60 . ∵, ∴点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60 的弧,当AD垂直平分线段BE时,AD最长,设此时AD与BE交于点O; 当AD最长时, BDE是等边三角形,边长为, 则, ∵AD⊥BE,∠ABE=45 , ∴∠ABE=∠OAB=45 , ∴OA=OB. 由勾股定理得:, ∴. 故答案为:. 方法2:如图,作DE⊥AC的延长线于点E, ∵∠ACB=60 ,DC⊥BC, ∴∠DCE=30 , 设CD=CB=x,AC=y,则DE=x,,, 在中,由勾股定理得, ∴, ∵, ∴, ∴,且当时,等号成立, ∴ , 当时,AD有最大值, 且, ∵, ∴ ABC为等边三角形, ∴当时,, 又, ∴. 故答案为:. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,30 的直角三角形的性质,不等式的性质,垂径定理,圆周角定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用. 4.4或 【分析】本题考查了菱形及其折叠问题,解直角三角形.作出如图的辅助线,求得,设,,在中,由勾股定理列式计算求得或,当时,点重合,此时;当时,中,由勾股定理列式计算即可求解. 【详解】解:过点分别作的垂线,连接,如图, 则四边形都是矩形, ∵,, ∴,, ∵, ∴,, ∴, 由折叠的性质得,, 设,, ∵, ∴, ∴, ∵, 在中,由勾股定理得, 整理得, 解得或, 当时,点重合,此时; 当时,中,,, 由勾股定理得, 解得, 综上,的长为4或. 故答案为:4或. 5./ 【分析】延长到D,使,连接,作的外接圆,当的长度最大时,周长最大,而为的直径时,最大.设的半径为r,连接,,过点O作于点E,根据垂径定理得出的长,再用正弦函数得出的长度,则的最大值可得,从而周长的最大值可得. 【详解】解:延长到D,使,连接,作的外接圆, ∵, ∴的周长为:. ∵, ∴当的长度最大时,周长最大, ∴当点A与点O重合时,为的直径,最大. 设的半径为r,连接,过点O作于点E, ∵, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴ ∴, ∴的最大值为. ∴周长的最大值为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质,垂径定理的应用,以及利用特殊角三角函数解求线段长. 6.10 【分析】作出如图的辅助线,推出四边形OFBG是正方形,设⊙O的半径为r,则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r,ME=r -2,ON=r-1,证明Rt OME≌Rt OND,得到OM= ON=r-1,在Rt OME中,利用勾股定理求解即可. 【详解】解:取DE的中点O,连接OF、OG,延长GO与AE的延长线相交于点M,过点D作DN⊥MG于点N, ∵BC切⊙O于点G,∴CG⊥BG, ∵∠A=∠B=∠C=90 , ∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形, ∵OF=OG, ∴四边形OFBG是正方形, 设⊙O的半径为r,则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r, ∵AE=2,CD=1, ∴ME=r -2,ON=r-1, 在Rt OME和Rt OND中,, ∴Rt OME≌Rt OND, ∴OM= ON=r-1, 在Rt OME中,OE2=ME2+OM2, ∴r2=( r -2)2+( r-1)2, 解得:r=1(舍去)或5, 故答案为:10. 【点睛】本题考查了切线的性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股中位线定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 7. 【分析】本题考查二次函数的性质,勾股定理,二次函数的最值,利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标,利用两点间距离公式可得到关于的二次函数,利用二次函数的性质可求得的取值范围,从而可求得的取值范围. 【详解】解:∵, ∴顶点P为,即, ∴ ∵, ∴当,有最小值, ∴的最小值为:. 故答案为: 8. 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题,勾股定理,正确运用待定系数法是解题关键. 过作轴于点,可求,设出各点坐标,则,,重新设抛物线表达式为,代入点C即可求解. 【详解】解:过作轴于点. 由题意可知, , , 设,则,, 抛物线解析式为, 把代入得: , 解得:, 故答案为:. 9.a>8或a=4 【分析】如图,作线段MN的垂直平分线交OB于点OP,连接PM,PN,则PM=PN, PMN是等腰三角形,另外当 PMN是等边三角形时,满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个. 【详解】如图,作线段MN的垂直平分线交OB于点OP,连接PM,PN,则PM=PN, PMN是等腰三角形, 过点M作MH⊥OB于H,当MH>MN,即MH>4时,满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个, 当MH=4时, ∵∠AOB=30 , ∴OM=2MH=8, ∴当a>8时,满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个, 另外当 PMN是等边三角形时,满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个, 此时a=4, 故答案为:a>8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会特殊位置解决问题. 10./ 【分析】连接交于点,先求出,然后证明 ,,可求出,,最后由勾股定理即可求出. 【详解】解:连接交于点,如图, 在中,,,, 由勾股定理,得, 点是边的中点, , ,, 将沿着折叠,使点落在边的中点处, ,, ,, 又,, ,, ,, 即,, 解得,, 在中, 由勾股定理,得. 故答案为:. 【点睛】本题考查翻折变换,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,相似三角形的判定和性质,掌握相关知识是解题的关键. 11.1 【分析】如图所示,延长交于M,连接,先证明得到,设设,则,,利用勾股定理建立方程,解方程求出,如图所示,连接,利用等面积法求出半径即可. 【详解】解:如图所示,延长交于M,连接, ∵四边形是正方形, ∴, ∵E为的中点, ∴, 由折叠的性质可得, ∴, 又∵, ∴, ∴, 设,则,, 在中,由勾股定理得, ∴, 解得, ∴, 如图所示,连接 ∵分别与,,相切,切点分别为,,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴的半径为, 故答案为;1. 【点睛】本题主要考查了三角形内切圆,正方形与折叠问题,勾股定理,全等三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 12. 【分析】先求出BC的长,再证明 EAB∽ BFC,得到AB=3AE,再证明 BCD≌ BAC,得出CD=AE=,设AE=CD=x,则AB=3x,列出方程解出x的值,最后求出a的值即可. 【详解】解:如图, 由题意得:BF=a,CF=3a,∠EBF=∠BFC=90 , ∴BE//CF,, ∴∠ABE=∠BCF, 又∵∠A=∠BFC=90 , ∴ EAB∽ BFC, ∴, 即, ∴AB=3AE, ∵∠D=90 ,∠FCG=90 , ∴∠DCG+∠DGC=90 ,∠DCG+∠BCF=90 , ∴∠BCF=∠DGC, ∵∠ABE=∠BCF, ∴∠ABE=∠DGC, 又∵BE=CG,∠A=∠D=90 , ∴ BCD≌ BAC, ∴CD=AE=, 设AE=CD=x,则AB=3x, ∵Rt ABE中,BE=2a, ∴, 解得:, ∴, ∵AD=AB+BC+CD=6, ∴ 解得:. 故答案为: 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识,解题的关键是运用相似三角形的判定及性质解决问题,属于中考填空题中的压轴题. 13./ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理等知识,构造相似三角形,利用定弦定角模型求解是解答的关键.延长到E,使,证明得到,,进而推导出,,又,作的外接圆,设圆心为O,当是等腰三角形时,边上的高最大,则最大,此时点B在点处,,连接交于F,解直角三角形求得最大面积,进而可求解. 【详解】解:延长到E,使, ∵, ∴,又, ∴, ∴,, 设, ∵, ∴,又, ∴; ∵, ∴,又, ∴作的外接圆,设圆心为O,当是等腰三角形时,边上的高最大,则最大,此时点B在点处,, 连接交于F,则,, ∴, 则; ∴面积的最大值为, 故答案为:. 14. 【分析】 延长交于点,,则是平行四边形,则,根据题意可得,即可求解. 【详解】解:如图②所示,延长交于点, ∵如图②,将玻璃杯绕点倾斜,液面恰好到达容器顶端时,与水平线的夹角为. ∴ ∴, 依题意,,则是平行四边形 ∴, ∵,, ∴, ∴, 过点的中点作,则为原来液面,即为图①中液面距离容器顶端的距离, ∴, 即, 故答案为:. 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,平行线分线段成比例,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键. 15.或 【分析】根据对称性表示出A,B两点的坐标,利用勾股定理列式求解即可. 【详解】∵A,B关于直线对称, ∴设,则, 如图所示, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴或(舍), ∴, ∵在上, ∴, 即, 整理得:, 解得,, 当时,, 当时,, ∴点A的坐标为或; 故答案是或. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示,解题的关键是设点的坐标,表示出AB的长度. 16. 【分析】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,公式法解一元二次方程,正确掌握相关性质内容是解题的关键.先分析出,当最大,且能剪成正方形是满足条件的面积最大,先证明,得出,再证明,列式代入计算得出再根据勾股定理列式计算,即可作答. 【详解】解:当剩下的纸片的面积运用率最大时,则剪得正方形面积有最大值, 如图:此时最大,且能剪成正方形是满足条件的面积最大, ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵纸片是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∵将边长为的正方形纸片的四个角分别切去边长为的小正方形 ∴, ∴ ∴ 则 即 整理得 解得(舍去), 经检验:是原方程的解 ∴ 则 ∴正方形的面积 故答案为:15. 【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,公式法解一元二次方程,难度较大,综合性较强,正确掌握相关性质内容是解题的关键. 17.9 【分析】延长,交于点,易得为等腰三角形,得到,设,则:,,证明,求出的长,进而得到的长,在中,勾股定理求出的长,利用,求出的值,即可得出结果. 【详解】解:延长,交于点, ∵在矩形中,, ∴,, ∴, ∵的平分线交于点, ∴, ∴, ∴, 设,则:, ∴,, 在中,, ∵, ∴, ∴,即:, ∴, ∴, ∵, ∴, 整理得:, 解得:或(舍去), ∴; 故答案为:. 【点睛】本题考查矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质.解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形和相似三角形. 18.341或86. 【分析】设,则,然后运用完全平方公式变形整理得到,再因式分解得出两个二元一次方程组,解之可得. 【详解】解:设, 则, ∴,整理得:, ∴, ∴, ∵, ∴或, ∴或86, 故答案为:341或86. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用,正确理解“完全平方数”的定义,灵活运用乘法公式是解题的关键. 19.3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,矩形的性质,直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键, 由“”可证,可得,则点D在过点H且垂直于的直线上运动,由矩形的性质和直角三角形的性质可求解. 【详解】以为边作等边三角形,连接. 点,, ,, 是等边三角形, ,, 将绕A顺时针旋转得到, ,, , , , 点D在过点H且垂直于的直线上运动, 当时,有最小值, 此时,如图,过点A作于N, ,,, 四边形是矩形, , , , , , 故答案为:3. 20.1或 【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围,进而确定k的值,得到抛物线的解析式,再根据折叠得到新图像的解析式,可求出函数图象与x轴的交点坐标,画出函数图象,可发现,若直线与新函数有3个交点,可以有两种情况:①过交点(-1,0),根据待定系数法可得m的值;②不过点(一1,0),与相切时,根据判别式解答即可. 【详解】解:∵函数与x轴有两个交点, ∴,解得, 当k取最小整数时,, ∴抛物线为, 将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,所以新图象的解析式为(或) : ①因为为的,所以它的图象从左到右是上升的,当它与新图象有3个交点时它一定过,把代入得所以, ②与相切时,图象有三个交点, ,,解得. 故答案为:1或. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点,掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键. 21. 【分析】根据题意设二次函数的顶点坐标为,且开口向下,根据平移可知的顶点坐标为,根据关于轴对称可知的顶点坐标为,且开口向上,有最小值,根据向上平移4个单位即可得到答案. 【详解】解:∵二次函数有最大值6, ∴设二次函数的顶点坐标为, ∵向左平移1个单位得到, ∴的顶点坐标为, ∵与关于轴对称 ∴的顶点坐标为,且开口向上, ∵向上平移4个单位得到: 此时顶点坐标为,则最小值为 故答案为: 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,关于坐标轴对称的点的坐标特征;利用顶点坐标变换是解题的关键. 22. 【分析】在上取点G,使得,连接,过点E作,垂足为H,证明,得到,从而易证,得到,易得点三点共线,则点F在直线上运动,当时,有最小,证明,得到,利用勾股定理求出,即可得出结果. 【详解】解:在上取点G,使得,连接,过点E作,垂足为H, 四边形是正方形, , , , , , , , , , , 为定角, 点三点共线,则点F在直线上运动,当时,有最小, , , , , , , 四边形是矩形, , , , , , 的最小值为, 故答案为:. 【点睛】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,正确作出辅助线,构造三角形相似是解题的关键. 23. 【分析】连接,以为边构造等边三角形,连接,证明,得到,根据,求出的取值范围,进而求出的取值范围. 【详解】解:连接,以为边构造等边三角形,连接, ∴,, ∵为等边三角形, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 当点与点重合时,最小为0, ∴; 故答案为:. 【点睛】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质.解题的关键是添加辅助线构造等边三角形以及手拉手全等模型. 24. 【分析】作 ABC,作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D,作 BCD的外接圆弧,圆心为O,连接OB,OC,OE,利用∠PBC≤∠PCB≤∠PBA,判断出点P所在区域,利用扇形COD的面积减去 OCE的面积即可求解. 【详解】解:如图,作 ABC,作BC的垂直平分线DE交∠ABC的角平分线BD于点D,作 BCD的外接圆弧,圆心为O,连接OB,OC,OE, ∵AB=2,AC=1,BC=, ∴AC2+BC2=AB2, ∴∠ACB=90 , ∵sin∠A=, ∴∠A=60 ,∠ABC=30 , ∵∠PBC≤∠PBA, ∴点P在BD左侧, ∵∠PBC≤∠PCB, ∴点P在DE下侧, ∵, ∴CE=, ∵∠DBE=∠ABC=15 , ∴∠BDE=90 ∠DBE=75 , ∴∠BDC=2∠BDE=150 , 当点P在圆弧CD上时,∠BPC=∠BDC=150 , ∴∠PBC+∠PCB=30 , ∵∠PBC+∠PBA=30 , ∴∠PCB=∠PBA, ∵∠PCB≤∠PBA, ∴点P在圆弧内侧, ∵OB=OC=OD, ∴∠OBD=∠ODB=75 , ∴∠OBE=60 , ∴ OBC为等边三角形, ∴OB=OC=BC=,∠OCD=30 , 在Rt OCE中,由勾股定理可得: OE=, ∴S扇形OCD=,S OCD=, ∴点P组成的区域的面积为, 故答案为:. 【点睛】本题考查勾股定理逆定理,扇形面积,直角三角形性质,线段垂直平分线性质等知识点;能够结合条件判断点P所在区域是解题的关键. 25. 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识,先判断出当时,取得最小值,求出,利用角平分线的性质得到,设,则,证明,则,得到,解得,即可求出的最小值. 【详解】解:当时,取得最小值,如图, ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 设,则, ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得, ∴, 故答案为:. 26. 【分析】如图,过作,交的延长线于,证明,,在的外接圆上运动,且满足,连接,,可得,证明为等边三角形,可得,直接,过作于,可得,,,当过点,且在的右边时,最长,当在的左边时,最短,可得最长时为,最短时为:. 【详解】解:如图,过作,交的延长线于, ∴,即, ∵,,为中点, ∴,,,,, ∴四边形为平行四边形,, ∴,, ∴在的外接圆上运动,且满足, 连接,, ∴, ∵, ∴为等边三角形, ∴,直接, 过作于, ∴,, ∴, 当过点,且在的右边时,最长,当在的左边时,最短, ∴最长时为,最短时为:; ∴. 故答案为:. 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质,圆的确定,圆周角定理的应用,求解一点与圆上距离的最值,作出正确的辅助线是解本题的关键. 27.④ 【分析】将代入函数表达式,根据题意求得,比较大小,逐项判断即可. 【详解】解:,,是下列函数图像上的点 ①, 故①不合题意, ②, ②不合题意 ③ 当 即时, ③不合题意 ④ 故④正确 故答案为:④ 【点睛】本题考查了一次函数,反比例函数,二次函数的性质,分别求得是解题的关键. 28./ 【分析】本题考查二次函数的最值,解直角三角形,先根据角所对的直角边等于斜边的一半得到,过点M作于点D,设,则,则得到,,然后利用勾股定理得到的长,再根据抛物线的顶点坐标得到结论即可. 【详解】解:∵,, ∴ ∴, 过点M作于点D, 设,则, 又∵, ∴, ∴,, ∴, ∴, ∴当时,最小,最小值为, 故答案为:. 29. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理,设的长为,的长为,先证明,得到,进而得到,根据二次函数的性质求出的最大值,即可利用勾股定理求出的最小值,利用相似三角形得到二次函数的解析式是解题的关键. 【详解】解:设的长为,则 ,的长为, ∵, ∴, ∴, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 即, ∴, 当时,,即的最大值为, 当时,,此时为最小, ∴的最小值, 故答案为:. 30. 【分析】连接CD,由线段的垂直平分线的性质可得CD=BD=6,进而可得∠DCB=∠B,可推出∠ADC=2∠B=∠ACB,易证 ACD∽ ABC,根据相似三角形的性质可求得AC,继而可求得BC,然后根据线段的垂直平分线的性质和勾股定理即可求得答案. 【详解】解∶如图,连接CD, ∵DE是BC的垂直平分线, ∴CD=BD=6, ∴∠DCB=∠B, ∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B=∠ACB, 又∵∠A=∠A, ∴ ACD∽ ABC, ∴, 即:, 解得:, ∴, 在中,由勾股定理得:. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理,根据相似三角形的性质求出BC是解题的关键. 2 1 学科网(北京)股份有限公司 $$