预习篇 07 二次根式的乘除- 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

07 二次根式的乘除 【题型1】 二次根式的乘法 【基础知识】 二次根式的乘法法则 。 【例】，. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·重庆·期中）估计的值应该在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【例2】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）计算： (1)；(2)； 【巩固练习】 1（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 2（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·重庆开州·期中）估计的值在下列哪两个整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4（24-25八年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 5（24-25八年级上·上海普陀·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【题型2】二次根式的除法 【基础知识】 二次根式的除法法则 。 【例】，. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【巩固练习】 1 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】最简二次根式 【基础知识】 最简二次根式 ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式. 【例】、是最简二次根式，、是最简二次根式. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】分母有理化 【基础知识】 若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化. 【例】，. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【巩固练习】 1（21-22八年级下·广西梧州·期中）化简所得的结果是（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）估计代数式的运算结果应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 5（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【题型5】二次根式的乘除混合运算 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【巩固练习】 1（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 3（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)；(2)． 4（24-25八年级上·福建三明·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 5（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)；(3) (4)． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·山西·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）计算 的结果是（  ） A．6 B． C．3 D． 3（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 4（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5（24-25八年级上·全国·期末）化简：的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 6（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）的倒数为（   ） A． B．2 C． D． 7（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 9（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是 ． 10（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）计算：． 11（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 12（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)；(2)；(3) (4)． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 2（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 二次根式的乘除 【题型1】 二次根式的乘法 【基础知识】 二次根式的乘法法则 。 【例】，. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·重庆·期中）估计的值应该在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在3和4之间， 故选C． 【例2】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）计算： (1)； (2)； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【巩固练习】 1（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 2（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3（24-25九年级上·重庆开州·期中）估计的值在下列哪两个整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先整理，根据，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 4（24-25八年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是解题的关键；由题意可得出，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴； 故选B． 5（24-25八年级上·上海普陀·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简二次根式，二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、，故错误； D、，故错误； 故选：A． 6（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式乘法，平方差公式和完全平方公式， 根据平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】 ． 【题型2】二次根式的除法 【基础知识】 二次根式的除法法则 。 【例】，. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，本选项正确，符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【巩固练习】 1 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 3（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简和除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的性质和除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型3】最简二次根式 【基础知识】 最简二次根式 ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式. 【例】、是最简二次根式，、是最简二次根式. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性质逐项化简判断即可． 【详解】解：A、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 2（24-25九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选：A． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型4】分母有理化 【基础知识】 若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化. 【例】，. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的除法法则，分母有理化计算法则，加减法计算法则及性质化简，再依次判断即可． 【详解】解：，故选项A正确； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的计算法则，熟练掌握二次根式的各计算法则是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 【巩固练习】 1（21-22八年级下·广西梧州·期中）化简所得的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根式中的分母拿到根号外，再化去分母中的根号，将根式化为最简． 【详解】解：， 故选 C ． 【点睛】本题考查分母有理化，掌握分母有理化的基本方法是解题关键． 2（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）估计代数式的运算结果应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式变形为，估算出的范围即可． 【详解】解：， ， ， 代数式的运算结果应在3到4之间， 故选C． 3（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 5（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【题型5】二次根式的乘除混合运算 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键． 利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【巩固练习】 1（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B 2（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选C． 3（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 4（24-25八年级上·福建三明·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键； （1）先根据乘方的意义、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的乘法法则运算和二次根式的除法法则运算即可； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 5（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·山西·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可 ． 【详解】解：， 故选：A． 2（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）计算 的结果是（  ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的乘法．根据进行计算即可． 【详解】解： 故选：D 3（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法除法及求算术平方根，根据二次根式乘除法运算法则及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A成立，符合题意； B、，故B不成立，不符合题意； C、，故C不成立，不符合题意； D、，故D不成立，不符合题意； 故选：A． 4（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 5（24-25八年级上·全国·期末）化简：的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 6（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）的倒数为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了倒数，实数等知识，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．两个数的积为1，则两个数互为倒数，根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 7（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），，（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，结果正确，符合题意； B.，结果错误，不符合题意； C.不能进行运算，结果错误，不符合题意； D. 结果错误，不符合题意； 故选：A． 8（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选B． 9（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先按照二次根式的性质进行化简，按照二次根式的乘法法则进行运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 11（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 12（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．先将被开方数化成分数，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以开平方，而分子部分化成含和的形式，即得答案． 【详解】，， ． 故选：D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$