预习篇 06 二次根式- 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

06 二次根式 【题型1】二次根式的定义 【基础知识】 二次根式的定义 我们把形如的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根式. 是的算术平方根. 【例】是二次根式，不是二次根式. 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 2（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 3（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 4（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意； D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； 故选：B． 【题型2】二次根式有意义的条件 【基础知识】 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于， 即要使得有意义，则。 【例】要使得有意义，则. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．首先根据二次根式中被开方数为非负数可得，根据分式的分母不为可得，从而可得函数中，自变量的取值范围． 【详解】解：中是被开方数， ， ， 中是分母， ， ， 函数中，自变量的取值范围是且． 故选：D ． 【巩固练习】 1（24-25八年级下·全国·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 3（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则下列二次根式一定有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 【题型3】求二次根式中的参数 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 【巩固练习】 1（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 3（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 4（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 【题型4】二次根式的双重非负性 【基础知识】 双重非负性：中，。 【经典例题】 【例1】（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　) A．-2 B．1 C．2 D．-1 【答案】D 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴x+2=0，y－2=0， ∴x=﹣2，y=2， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简二次根式，根据非负数的性质得到，则，据此计算出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的非负性，乘方运算，先根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 故选：C 【题型5】二次根式的性质 【基础知识】 1 ； 【例】，； 2 . 【例】，，. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的性质，二次根式的性质，根据立方根与算术平方根，以及二次根式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选： A． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 2（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）化简的结果是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质化简，属于基础题型．根据法则直接计算即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 3（24-25八年级上·北京延庆·期中）下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质对各选项进行判断即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项化简正确，符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 故选：． 4（24-25九年级上·全国·期中）以下各式中计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质逐一化简，即可求解；掌握()，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论正确，故符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：A. 【题型6】二次根式的化简 【基础知识】 1 ； 2 . 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．先根据判断出和的符号，再进行计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 3（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 根据实数和在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 4（24-25七年级上·上海·期中）化简得（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式，先化简，得出，则，结合进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则 ， 故选：A． 【A组---基础题】 1（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、不是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D. 2（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：B． 3（24-25九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据公式进行求解即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4（22-23八年级下·河南商丘·期末）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．14 C．7 D．56 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴若是整数，正整数n的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确分解质因数是解此题的关键． 5（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵|x+2|+＝0， ∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 6（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、二次根式和绝对值的化简、合并同类项，先由数轴知，，则，再利用二次根式和绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，，则， ∴ ， 故选：A． 7（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 8（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ∴ ， 故答案为：． 9（22-23八年级下·四川泸州·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·全国·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质以及分类讨论思想成为解题的关键． 先根据二次根式的性质可得，然后分四种情况分别去绝对值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当，，即时，则，解得：符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即时，则，方程无解，不符合题意； 当，，即，则，解得：，不符合题意． 综上，． 故选A． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 二次根式 【题型1】二次根式的定义 【基础知识】 二次根式的定义 我们把形如的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根式. 是的算术平方根. 【例】是二次根式，不是二次根式. 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 【题型2】二次根式有意义的条件 【基础知识】 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于， 即要使得有意义，则。 【例】要使得有意义，则. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【巩固练习】 1（24-25八年级下·全国·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 3（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则下列二次根式一定有意义的是（  ） A． B． C． D． 【题型3】求二次根式中的参数 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1（2023八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 2（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为( ) A．2 B．6 C．8 D．12 3（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为 A．4 B．6 C．7 D．14 4（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是( ) A．-4 B．-2 C．2 D．8 【题型4】二次根式的双重非负性 【基础知识】 双重非负性：中，。 【经典例题】 【例1】（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　) A．-2 B．1 C．2 D．-1 【巩固练习】 1（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型5】二次根式的性质 【基础知识】 1 ； 【例】，； 2 . 【例】，，. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）化简的结果是（   ） A．4 B． C． D．2 3（24-25八年级上·北京延庆·期中）下列各式中，化简正确的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25九年级上·全国·期中）以下各式中计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 【题型6】二次根式的化简 【基础知识】 1 ； 2 . 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 2（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 4（24-25七年级上·上海·期中）化简得（   ） A．2 B． C． D． 【A组---基础题】 1（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 2（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3（24-25九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4（22-23八年级下·河南商丘·期末）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．14 C．7 D．56 5（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 6（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是整数，则的最小整数值是 ． 8（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 9（22-23八年级下·四川泸州·期中）已知，则 ． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·全国·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$