复习篇 05 等腰三角形与等边三角形 - 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

05 等腰三角形与等边三角形 【题型1】 等腰三角形的性质 【基础知识】 1 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 如下图，在中，，则. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）. ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. （均可用全等三角形证明） 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的两侧相交于点，连接，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【题型2】等腰三角形的判定 【基础知识】 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（简称：等角对等边） 如下图，在中，，则. （均用全等三角形证明） 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·广西玉林·期中）中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 2（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为，与交于点，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【题型3】等边三角形的判定与性质 【基础知识】 1 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形； （2）性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. （3）判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在四边形中，平分，且，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东江门·期中）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数． 【巩固练习】 1（2024八年级上·黑龙江·专题练习）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在△中，，平分交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 4（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【题型4】含的直角三角形 【基础知识】 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 4（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中，是的中线，且，米，则（   ）米． A．15 B．20 C．25 D．30 3（19-20八年级上·北京西城·期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由． 7（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 8（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【B组---提高题】 1（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 等腰三角形与等边三角形 【题型1】 等腰三角形的性质 【基础知识】 1 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 如下图，在中，，则. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）. ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. （均可用全等三角形证明） 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出，再根据，可设出，再根据直角三角形的性质列出方程，求出的度数即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的两侧相交于点，连接，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用垂直平分线得到，结合等边对等角以及三角形内角和求出，即可． 【详解】解：，， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及角平分线的定义是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义结合三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵，是的中线，且， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∴， 故选：C． 4（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2】等腰三角形的判定 【基础知识】 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（简称：等角对等边） 如下图，在中，，则. （均用全等三角形证明） 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·广西玉林·期中）中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键． （1）由，的高，利用同角的余角相等来求解； （2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 2（24-25八年级上·福建福州·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为，与交于点，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）全等；理由见解析  （2）；理由见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：全等；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）；理由如下： 延长交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， 平分， ， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【题型3】等边三角形的判定与性质 【基础知识】 1 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形； （2）性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. （3）判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在四边形中，平分，且，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质．先证明是等边三角形，得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【例2】（24-25八年级上·广东江门·期中）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，证明，得到，，从而得出，由等角对等边可得，即可证明结论； （2）延长至，使得，连接，证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）解：如图，延长至，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【巩固练习】 1（2024八年级上·黑龙江·专题练习）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质是解题的关键 根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 2（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在△中，，平分交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义及平行线的性质，得到是等边三角形是解答的关键．先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边及等边三角形的判定证明是等边三角形，则，进而可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理， （1）由等边三角形的性质可得，，进而由可以得到，由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，利用三角形内角定理求出，进而求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ，， ， ，即， ； （2）证明： ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 4（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并应用相关性质及判定定理． （1）根据等边三角形的性质和题意，证明，可得，从而进一步得出结论； （2）利用（2）中的结论，根据全等三角形的判定可得，进一步根据全等三角形的性质得证，从而根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 即， ， ； （2）证明：由知，≌， 则， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 是等边三角形 【题型4】含的直角三角形 【基础知识】 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形，过点作，证明为等边三角形，根据含30度角直角三角形的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵等边， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积为； 故选D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．先求出即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 沿折叠后得到， ， 故选：C ． 2（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解此题的关键．利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 的长为1． 故选：A 3（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴， ∵，， ∴． ∵，点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 4（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．分两种情况：①当时，②当时，根据含的直角三角形的性质，得到关于的方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即， 解得：； ②当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即 解得：， 综上，的值是秒或秒． 故选：C． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数． 【详解】解：于点， 故选：C． 2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中，是的中线，且，米，则（   ）米． A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．根据“等腰三角形三线合一”得到，结合，可得，即可求解． 【详解】解： ，是的中线， ，即， ，米， 米， 故选：B． 3（19-20八年级上·北京西城·期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 为边的中点， ， ， ， 故选：A． 4（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，所对的直角边是斜边的一半，先求出，再结合角平分线的性质，得出，最后根据所对的直角边是斜边的一半，得出，即可作答． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于D，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称之最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求得． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长即为的最小值，即的最小值为9， 故选：C． 6（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，首先根据中点定义可得，再说明和是直角三角形，然后根据定理证明，可得，进而证明即可． 【详解】解：理由如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【B组---提高题】 1（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可求，故正确；进而可得，故正确；由“”可证，可得，，可证是等腰直角三角形，故正确；由等腰三角形的性质可得，故正确，即可求解；证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确， ∴正确的个数为个， 故选：． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$