寒假作业04 数轴动点问题分类训练（5种类型50道）【寒假巩固提升】2024-2025学年七年级数学寒假作业（人教版2024）

寒假作业04 数轴动点问题分类训练（5种类型50道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点探究数量关系】 5 【题型3 动点最值问题】 8 【题型4 动点变速问题】 11 【题型5 动点存在性问题】 16 【题型1 动点定值问题】 1．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____，____， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 2．如图，点是数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且满足 (1)求线段的长； (2)点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为，当点为的三等分点时，求的值； (3)为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为2秒，为定值的时长为8秒，求点的速度． 3．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．    (1)填空， ______， ______，A，B两点之间的距离______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 4．已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 5．如图，数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从A点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴向左运动，动点P从A点出发的同时动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为t秒， （1）填空：_____，_____，Q点在数轴上所表示的数为_____（用t的代数式表示）． （2）在整个运动过程中，t取何值时？ （3）若动点P从A点出发的同时动点M也从点C出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，是否存在正数n使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出正数n． 6．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且    (1)填空，_______________，_______________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数； (3)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在、两点之间上，且的值始终是一个定值，求点运动的方向及的值， 7．【知识准备】 若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为中点，则我们有中点公式：M对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应数c，点D对应数d，，且有．则的中点N所对应的数为 ． (2)【问题探究】在（1）的条件下，若P点从C点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时Q点从D点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，R为的中点．设运动时间为t秒，t为何值时R所对应的数为10． (3)【拓展延伸】若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的三等分点，则我们有三等分点公式：M对应的数为．若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为． ①填空：若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的5等分点，则我们有5等分点公式：M对应的数为 ． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出的范围． 8．如图：在数轴上点表示数点表示数，且满足，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)求的值； (2)在数轴上是否存在点P使得？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)点以单位长度/秒的速度从原点向右运动，同时点以单位长度/秒的速度向左运动，点以单位长度/秒的速度向右运动，在运动过程中，分别是的中点，无论何时式子：恒为定值？求有理数的值． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于A点左侧一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． ①问点P运动多少秒时，BQ＝BP？ ②若M为AP的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 10．如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是． (1)直接写______，______，______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发， ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数； (3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【题型2 动点探究数量关系】 11．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为 (1)______，______，______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动速度和运动方向与（2）保持一致，点B变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 12．如图1，已知数轴上的点对应的数是，点对应的数是，且满足．    (1)求数轴上到点、点距离相等的点对应的数 (2)动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)如图2在数轴上的点和点处各竖立一个挡板点在原点左侧，点在原点右侧，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以个单位秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等．试探究点对应的数与点对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 13．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．    (1)则 ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： 运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示） 的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． 14．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 15．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 16．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ______， ______． (2)如图1，在数轴上有点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 17．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 18．如图所示，在数轴上点、、表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则______，______，______； (2)点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，、、之间是否存在怎样的数量关系？请说明理由． 19．在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点．若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设动点P运动的时间为t（s）． (1)填空：______，______； (2)当点P运动到线段上时，分别取和的中点M、N，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P到达原点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达原点O后立即原速度返回向右匀速运动，当时，求t的值． 20．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【题型3 动点最值问题】 21．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 22．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 23．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是____________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 24．阅读材料：已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 一．当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，； 二．当两点都不在原点时， ①如图，点都在原点的右边，； ②如图，点都在原点的左边，； ③如图，点在原点的两边，． 综上，数轴上两点的距离． 利用上述结论，回答以下三个问题： (1)在数轴上，和之间的距离是________； (2)若数轴上表示和的两点之间的距离是，则________； (3)结合数轴，若代数式有最小值，则最小值为________． 25．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 26．【用数学的眼光观察现实世界】若点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点表示的数分别为，则______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则______，若，则______； (3)如图，数轴上表示数的点位于和1之间，则的值为______； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时的值；如果没有，说明理由． 27．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于 ． (2)如果，那么 ； (3)如果，请借助数轴求出的值； (4)已知，则的最大值为 ，最小值为 ． 28．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 29．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 30．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、． ① A、B之间的距离可用含x的式子表示为_______； ② 若该两点之间的距离为3，那么x值为______； (2)的最小值为______，此时x的取值是______； (3)已知，求的最大值和最小值． 【题型4 动点变速问题】 31．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 32．如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且．    (1)已知点C是线段的中点，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段的中点为D，求当t为何值时，线段的长为1个单位长度； (3)在（2）的条件下，当（P在Q右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速原方向运动，当时，求点P表示的数． 33．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 34．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 35．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 36．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 37．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为． (1)_____，_____，_____； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒6个单位长度的速度向右运动，试探究和之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒m个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 38．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 39．已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．    (1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）． 40．如图1，数轴上有A，B，C三个点，点C对应的数是12，点A，B对应的数分别为a、b，且a，b满足． (1)A对应的数为___________，B对应的数为___________； (2)若数轴上有动点E从A出发，以5每秒单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点F从B出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．在运动过程中，是否存在线段的长度等于线段长度的，若存在，请求出此时点E对应的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在数轴上有长度为4个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）和长度为3个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）．若从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发，以每秒1个单位的速度也沿着数轴的正方向运动．当点运动到点时，线段立即以原来速度的返回，同一时刻的速度变为原来的2倍，当点再次运动到点时，线段和均同时停止运动．设出发的时间为，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【题型5 动点存在性问题】 41．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 42．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 43．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 44．已知数轴上两点M、N所表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离．如图，在数轴上 A、B 对应的数分别为、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x． (1)若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数． (2)数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点 O 向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点 P 到点 A、点 B 的距离相等？ 45．已知 如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．点P 为数轴上一动点，其对应的有理数为x． (1)点A表示的有理数 ，点B表示的有理数 (2)若点P到点A，B的距离相等，则点P对应的有理数x为 ； (3)数轴上是否存在点 P，使点P 到点A，B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 46．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 47．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为________； ②若数轴上表示点的数满足，那么________． (2)拓展探究：①若数轴上表示点的数满足，则________； ②是否存在的值，使得等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 48．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 49．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)__________， __________， __________． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为__________． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 50．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业04 数轴动点问题分类训练（5种类型50道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点探究数量关系】 18 【题型3 动点最值问题】 34 【题型4 动点变速问题】 48 【题型5 动点存在性问题】 68 【题型1 动点定值问题】 1．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____，____， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2)①9②7或11 (3)存在常数使得的值为定值 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性： （1）根据绝对值的非负性可得到结果； （2）先分别用t表示出点P和点Q，①根据距离相等可列得等式；②根据距离为4也可求得结果； （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据是定值可求得结果； 用t表示出点所代表的数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：10，； （2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， ①由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q； ②由题可得：， 即， 解得：， ∴点P运动7秒或者11秒时使得； （3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， 点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值为定值， ∴， 解得：， ∴存在常数使得的值为定值． 2．如图，点是数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且满足 (1)求线段的长； (2)点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为，当点为的三等分点时，求的值； (3)为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为2秒，为定值的时长为8秒，求点的速度． 【答案】(1) (2)当点为的三等分点时，的值为或 (3)点的速度为每秒个单位长度 【分析】（1）先根据非负数的性质得出，，即可得出的值，从而得出点对应的数为，点对应的数为，再根据数轴上两点间的距离进行计算即可； （2）根据题意得点表示的数为，则，，分两种情况：当时，当时，分别得出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）由题意得长为定值，设，，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足分别在两侧，令点从出发向左运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即，从而得出， 要使为定值，只有当时，才为定值，此时在之间，令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即，，联立①②求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， 点对应的数为，点对应的数为， ； （2）解：点从出发向右运动，速度为每秒2个单位，运动时间为， 点表示的数为， 点为的三等分点， 点在之间， ，， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， 当点为的三等分点时，的值为或； （3）解： 为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为2秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 联立①②解得：， 点的速度为每秒个单位长度． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且．    (1)填空， ______， ______，A，B两点之间的距离______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)，16，21 (2) (3)D点是从原点向左运动，此时m的值为 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，然后根据两点间的距离求出的长即可； （2）根据向左移动为减法，向右移动为加法，列式可得答案． （3）①当点D从原点向左运动和②当点D从原点向右运动两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，16，21； （2）由题意得： ． 此时点P所对应的有理数是． （3）①当点D从原点向左运动时， ， ∵的值始终是一个定值． ∴， 解得； ∴D点是从原点向左运动，m的值为； ②当点D从原点向右运动时． ， ∵的值始终是一个定值． ∴， 解得； ∵，故此种情形不存在． 综上所述，D点是从原点向左运动，此时m的值为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的知识，掌握数轴上两点的距离的表示方法是解决问题的关键． 4．已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1)a=-20，b=30； (2)①或10；②存在常数m=3，使得的值为定值，定值为-45． 【分析】（1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）①分两类情况来讨论∶点A、B在相遇前时；点A、B在相遇时；依此可求t的值；②当运动t秒时，A点表示的数为-20-2t，B点表示的数为30+3t，P点表示的数为1+t，可得2AP-m×PB=(6-2m)t+(42-29m)，依此可求m的值． 【详解】（1）解∶∵多项式的常数项是-20，次数是30． ∴a=-20，b=30； （2）解：①如下图所示∶ 当t=0时，AP=21，BP=29， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为-20+2t，B点表示的数为30-3t． ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为1+t； 下面分两类情况来讨论∶点A、B在相遇前时， ∵AP=PB， ∴1+t-(-20+2t)=30-3t-(1+t)， 解得； 点A、B在相遇时，AP=PB，此时A与B重台， 则-20+2t=30-3t，解得t=10； 显然，点A，B在相遇后，BP大于AP，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为-20-2t，B点表示的数为30+3t，P点表示的数为1+t， 2AP-m×PB =2[(1+t)-(-20-2t)]-m[(30+3t)-(1+t)] =(6-2m)t+(42-29m)， 当6-2m=0时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数m=3，使得的值为定值，此时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，根据多项式的定义，找出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．如图，数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从A点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴向左运动，动点P从A点出发的同时动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为t秒， （1）填空：_____，_____，Q点在数轴上所表示的数为_____（用t的代数式表示）． （2）在整个运动过程中，t取何值时？ （3）若动点P从A点出发的同时动点M也从点C出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，是否存在正数n使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出正数n． 【答案】（1）；7；；（2），时；（3）存在，，． 【分析】（1）根据同类项的概念求得的值，根据题意动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动即可求得点表示的数； （2）根据题意用含的代数式分别表示出的长度，根据题意列出方程，接方程求解即可； （3）根据题意用含的代数式分别表示出分情况讨论，当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，进而计算，根据题意为定值，即与的值无关，进而求得的值． 【详解】（1） 与互为同类项 解得 动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动 Q点在数轴上所表示的数为 故答案为：；7； （2）依题意，， 当， 即， 或 解得， （3）当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，则， ，， ， 与t无关 即， 解得 当时，， 与t无关 即， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查了同类项的概念，数轴上动点问题，列代数式，解一元一次方程，整式的加减运算，数形结合，分类讨论是解题的关键． 6．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且    (1)填空，_______________，_______________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数； (3)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在、两点之间上，且的值始终是一个定值，求点运动的方向及的值， 【答案】(1)， (2)或 (3)从原点向左运动，的值为 【分析】（1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）分两种情况讨论解答：①点在点的左侧，②点在点的右侧解答即可； （3）分点向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出的值的式子，整理后使得的系数为即可求得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①点在点的左侧时， ∵，，， ∴． 解得：； ②点在点的右侧时， ∵，，， ∴． 解得：． 综上，点表示的数为或； 所以表示的数是或； （3）解：①当点从原点向左运动时， 因为的值始终是一个定值． 所以 则． 所以点运动的方向为从原点向左运动，的值为． 当点从原点向右运动时． ） ， 因为的值始终是一个定值． 所以 所以． 因为 所以此种情形不存在． 综上，点运动的方向为从原点向左运动，的值为． 【点睛】本题主要考查了数轴、列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 7．【知识准备】 若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为中点，则我们有中点公式：M对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应数c，点D对应数d，，且有．则的中点N所对应的数为 ． (2)【问题探究】在（1）的条件下，若P点从C点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时Q点从D点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，R为的中点．设运动时间为t秒，t为何值时R所对应的数为10． (3)【拓展延伸】若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的三等分点，则我们有三等分点公式：M对应的数为．若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为． ①填空：若数轴上A点对应数x，B点对应数y，M为靠近A的5等分点，则我们有5等分点公式：M对应的数为 ． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】(1) (2)17 (3)①；② 当时，为定值 【分析】（1）根据得，，从而求出c，d的值，最后根据中点公式即可求解； （2）先根据点和点的运动路径分别表示出所对应的数，再根据中点公式列方程求解即可； （3）①根据等分点公式求解； ②根据题意列出表示的代数式，再分类讨论，去绝对值符号，最后求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 故答案为：； （2）由题意得点表示的数为：，点表示的数为：， ， ， 因此t为17时R所对应的数为10； （3）①由题意可知对应的数为， 故答案为：； ②由题意得点表示的数为：，点表示的数为：， 则点表示的数为：，点表示的数为：， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，为定值． 【点睛】本题考查新定义理解问题，一元一次方程的应用，去绝对值符号，理解新定义及掌握分类讨论思想是关键． 8．如图：在数轴上点表示数点表示数，且满足，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)求的值； (2)在数轴上是否存在点P使得？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)点以单位长度/秒的速度从原点向右运动，同时点以单位长度/秒的速度向左运动，点以单位长度/秒的速度向右运动，在运动过程中，分别是的中点，无论何时式子：恒为定值？求有理数的值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据绝对值与平方的非负性求得的值； （2）由（1）得出点表示，表示，根据题意，分类讨论，根据，列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据题意，设运动时间为，则 A点对应的值为，P点对应的值为，B点的值为，继而表示出，根据整式的加减进行化简，根据结果为定值，即与无关，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∴表示，表示，如图， ①当点在点左侧时，，不合题意，舍去． ②当点位于两点之间时， ∵， ∴， 解得； ③当点位于点右侧时， ∵， ∴， 此方程无解， 故x的值为． （3）依题意，设运动时间为，则 A点对应的值为，P点对应的值为，B点的值为， ∴，， ∵分别是的中点， ∴表示的数为：，表示的数为， ， ∴ ， ∵恒为定值，它不随时间变化而变化， ∴的系数为0，即， ∴． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点对应的值的表示，整式的加减运算，以及代数式定值问题的证明．解题的关键点是动点对应的值的表示以及分类讨论思想的运用． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于A点左侧一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数______，点P表示的数______（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． ①问点P运动多少秒时，BQ＝BP？ ②若M为AP的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)-6，8-5t (2)①点P运动时间为秒或7秒时，BQ＝BP；②当时，的值有定值．这个定值为2 【分析】（1）由点A表示的数为8，AB=14，即得点B表示的数是8-14=-6，根据点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，可得点P表示的数是8-5t； （2）①设运动时间为t秒，可得BP=|14-5t|，BQ=3t，即有3t=|14-5t|，从而解得t=或t=7，得到答案； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-6-3t，则AP中点M表示的数为8t，当0≤t≤7时；当t＞7时；分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，AB=14， ∴点B表示的数是8-14=-6， ∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数是8-5t， 故答案为：-6，8-5t； （2）解：①设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是-6-3t，由（1）知点P表示的数是8-5t， ∴BP=|8-5t-（-6）|=|14-5t|，BQ=3t， ∵BQ=BP， ∴3t=|14-5t|， 解得t=或t=7； 答：点P运动秒或7秒时，BQ=BP； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-6-3t，则AP中点M表示的数为8， ∴， ∴当0≤t≤7时， ， 当t＞7时， ， ∴当0≤t≤7时，为定值，该定值为2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，含绝对值的方程，绝对值的意义，数轴的性质，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． 10．如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是． (1)直接写______，______，______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发， ①问点运动多少秒时追上点？ ②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数； (3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或 (3)存在常数，使得的值为定值，该定值为 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为． 根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为． 【详解】（1）解；， ，， ，． 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ， 故答案为：，，； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为． 依题意得：， 解得：， 故点运动秒时追上点． 依题意得：， 即或， 解得：或． 当时，； 当时，． 综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ． 的值为定值， ， ， 存在常数，使得的值为定值，该定值为． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，，的长度． 【题型2 动点探究数量关系】 11．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为 (1)______，______，______； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，试探究AB和BC之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动速度和运动方向与（2）保持一致，点B变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 【答案】(1)；1；6 (2) (3)或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解的变化情况是关键． （1）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得的值； （2）根据题意得：秒后，表示的数为，表示的数为表示的数为，然后分别表示出线段长度作差即可求解； （3）分别求出当时，、、表示的数，得到和，根据列出方长，解之即可． 【详解】（1）解：∵，是最小的正整数， 故答案为：； （2）∵点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴秒后，表示的数为表示的数为 表示的数为， ； （3）当时，点表示，点表示，点表示， ， 则， 则，或， 解得：或． 12．如图1，已知数轴上的点对应的数是，点对应的数是，且满足．    (1)求数轴上到点、点距离相等的点对应的数 (2)动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 (3)如图2在数轴上的点和点处各竖立一个挡板点在原点左侧，点在原点右侧，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以个单位秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等．试探究点对应的数与点对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值，设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数； （2）表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可； （3）根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑：甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可；甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得关系式． 【详解】（1）解：， ， 设点对应的数为， 则， ， ， 解得：， 点对应的数为； （2）对应的数为， ， ， ， 当时，； 当时，； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑： 甲、乙均反弹之后在中点相遇， 则、的中点对应的数为， ， ， ∴ ∴； 甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得， ∴ 综上，与的关系式为或． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．    (1)则 ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： 运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示） 的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)3，5，8 (2) ；不变，值为2 (3)存在，见解析 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）由点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案；由点以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，1，6， ，，， 故答案为：3，5，8； （2）解： 点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； 点以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． 14．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，2 (2)点M对应的数为或； (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线段的长度． （1）根据非负性计算可得； （2）根据题意得，解方程求解即可； （3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出的长度，因为的长度是定值，故含字母的部分为0，解出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，2； （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为2， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍， ∴， 整理得或， 解得或 综上所述：点M对应的数为或； （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为：， 点P表示的数为：， ∴， ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 15．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下： 设点P表示的数为x， ∵，， ∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，， ∴， ∵Q为的中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 16．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ______， ______． (2)如图1，在数轴上有点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3 (2)点M对应的数为或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线段的长度． （1）根据非负性可得； （2）分点M在点A的左边，之间和点B的右边三种情况讨论； （3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出的长度，因为的长度是定值，故含字母的部分为0，解出即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：，3； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时， 则， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ②当点M在线段之间时， 则， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ③当点M在点B右侧时，不满足题意， 综上所述：点M对应的数为或； （3），理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为： ， 点P表示的数为：， ∴ ， ∵线段PC的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 17．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 18．如图所示，在数轴上点、、表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则______，______，______； (2)点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，、、之间是否存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)3，5，8 (2)不变，值为2 (3)①时，；②当时，；③当时，． 【分析】此题考查整式的加减的应用，数轴上两点之间的距离，解题关键在于结合数轴进行解答． （1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出、、的长度； （2）求出和的值，然后求出的值，判断即可； （3）分别表示出、、的长度，然后分情况讨论得出之间的关系． 【详解】（1）由图可得，，，， 故答案为：3，5，8； （2）， 故的值不会随着时间t的变化而改变，值为2； （3）由题意得，，或， 或， 当时，， 当时，， 当时，． 19．在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点．若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设动点P运动的时间为t（s）． (1)填空：______，______； (2)当点P运动到线段上时，分别取和的中点M、N，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P到达原点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达原点O后立即原速度返回向右匀速运动，当时，求t的值． 【答案】(1)，3 (2)，理由见解析 (3)或或6或8 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）求得，，，据此可求得； （3）分三种情况：相遇前，相遇后，点Q返回到B，；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案是：；3； （2）解：． 理由如下：∵点B表示的数为3，∴， ∵点M为中点， ∴， ∴点M表示的数为， ∵点A表示的数为，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动， ∴， ∵点N为中点． ∴， ∴点N表示的数为， ∵点P在线段上， ∴点N在点M的左侧， ∴， ∵，点P在线段上， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：∵，当点P到达点O时，， ∴，点P表示的数为， 点Q从点B运动到点O需要秒，此时． 点Q还没有到达点O，则； 点Q到达点O之前表示的数为， 若，则，符合； 若，则，符合； 点Q到达点O然后原速返回，则，点Q表示的数为， 当，则，符合； 当，则，符合． 综上所述，当时，t的值为或或6或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 20．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ___________，___________，___________． (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3，8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，利用非负数的性质得，可得，； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，分三种情况分别讨论：①当点M在点A的左侧时，，，根据题意得，可得；②当点M在线段之间时，，，根据题意得，可得；③当点M在点B右侧时，不满足题意； （3）设运动时间为t秒，根据题意得，，，，，根据线段的长度总为一个固定的值，可得． 【详解】（1）解： 得 （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍 解得 ②当点M在线段之间时 则， 点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍． 解得 ③当点M在点B右侧时，不满足题意． 综上所述：点M对应的数为或． （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得： ，， ， 点C为线段的中点， 线段的长度总为一个固定的值． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点的距离公式，绝对值方程的应用，数轴上的动点问题，熟练掌握各知识点，并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【题型3 动点最值问题】 21．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 22．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)8，12 (2) (3)4或 (4)有，最小值为3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解题意，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题关键． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （3）根据表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3，即可求解； （4）由当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小解答即可． 【详解】（1）解：，， 所以数轴上表示2和10两点之间的距离是8，数轴上表示2和两点之间的距离是12； （2）解：数轴上，x和两点之间的距离是； （3）解：表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3， 所以x为4或； （4）解：表示x和1两点之间的距离与x和两点之间的距离的和， 所以当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小，即为1和两点之间的距离为． 23．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是____________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 【答案】(1)3； (2)或； (3)14； (4)； (5)2，7． 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示与的距离加上与的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 表示和两点之间的距离是：； ∴数轴上表示和1两点之间的距离是3； 故答案： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案：或． （3）解：由，，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 故答案：． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数的点位于与4之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①当时，   ； ②当时，   ； ③当时，   ④当时， ； 综上所述：当时，的值最小，最小值为7． 故答案：2，7． 24．阅读材料：已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 一．当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，； 二．当两点都不在原点时， ①如图，点都在原点的右边，； ②如图，点都在原点的左边，； ③如图，点在原点的两边，． 综上，数轴上两点的距离． 利用上述结论，回答以下三个问题： (1)在数轴上，和之间的距离是________； (2)若数轴上表示和的两点之间的距离是，则________； (3)结合数轴，若代数式有最小值，则最小值为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式列出方程，再根据绝对值的意义解答即可求解； （）由可得代数式表示有理数到的距离与到的距离之和，可知当在与之间时，代数式的值最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离公式，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，和之间的距离是， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴代数式表示有理数到的距离与到的距离之和， ∴当在与之间时，代数式的值最小，最小值为， 故答案为：． 25．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【答案】（1）；   （2）  （3）或  （4），，， 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在的左边；点在的右边；分别列式计算便可； （4）确定与的距离加上与的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数． 【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是： ； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为: ； ； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数的点距离为， 当表示数的点在的左边时，， 当表示数的点在的右边时，， 所以或, 故答案为：或； （4）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， ∴可取的整数有:，，，． 26．【用数学的眼光观察现实世界】若点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点表示的数分别为，则______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则______，若，则______； (3)如图，数轴上表示数的点位于和1之间，则的值为______； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时的值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)；x与的距离 (2)或； (3) (4)有最小值，此时 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，化简绝对值，解绝对值方程．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据绝对值的意义，求解即可； （3）根据点的位置，确定式子的符号，化简绝对值即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小，求解即可． 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，x与两数在数轴上对应点的距离； （2），表示数轴上表示的点到表示的点的距离为， 所以或； 表示数轴上表示的点到的距离与到的距离相等， 所以； 故答案为：或，； （3）因为数轴上表示数的点位于和1之间， 所以， ∴； 故答案为：． （4）表示到的距离与到的距离以及到的距离之和， 所以当时，的值最小为； 27．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于 ． (2)如果，那么 ； (3)如果，请借助数轴求出的值； (4)已知，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1)3，5， (2)10或 (3)或 (4)7， 【分析】本题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的性质． （1）根据绝对值的性质计算即可； （2）由，得，再计算即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再计算即可； （4）在中，当时，的值最小；同理当时，的值最小；当时，的值最小；再计算即可． 【详解】（1）解：， ， 数和数的两点之间的距离， 故答案为：3，5，； （2）解：， ， 或， 故答案为：10或； （3）解：如图： 分以下三种情况： 当时，，， ， ； 当时，，， ，舍去； 当时，，， ， ； 综上所述，或； （4）解：在中，当时，的值最小； 在中，当时，的值最小； 在中，当时，的值最小； 又∵， ，，， 则的最大值为，最小值为， 故答案为：7，． 28．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 29．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5， 【分析】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 30．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为x、． ① A、B之间的距离可用含x的式子表示为_______； ② 若该两点之间的距离为3，那么x值为______； (2)的最小值为______，此时x的取值是______； (3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)①；②2或 (2)5； (3)最大值18，最小值． 【分析】（1）①根据题意代入相应的值运算即可； ②由题意可得：，进行运算即可； （2）由绝对值的几何意义可知：当时，有最小值，从而可求解； （3）由题意可得：当，时，符合题意，从而可确定，的最小值，从而可求解． 本题主要考查了列代数式、数轴上两点的距离、绝对值，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【详解】（1）①由题意得：， 故答案为：． ②由题意得：， ∴， 解得：或． 故答案为：2或． （2）由绝对值的几何意义可得，是数x到与3的距离之和， ∴当时，有最小值， 取代入可得：， 故最小值为5． 故答案为：5；； （3）∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为5，的最小值为7， ∴当时，的最大值为：， 当时，的最小值为：． 故答案为：18；． 【题型4 动点变速问题】 31．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 32．如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且．    (1)已知点C是线段的中点，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段的中点为D，求当t为何值时，线段的长为1个单位长度； (3)在（2）的条件下，当（P在Q右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速原方向运动，当时，求点P表示的数． 【答案】(1) (2)当t为或2时，线段的长为1个单位长度 (3)点P表示的数为或 【分析】（1）利用绝对值的非负性先计算，的值，然后根据线段中点的定义解题即可； （2）根据动点的运动速度和方向表示出点P和点Q表示的数，然后根据线段中点的定义得到点D表示的数，然后表示长解题即可； （3）根据题意先表示出和，根据得到方程解题即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵动点P从点B以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，运动时间为t， ∴点P运动路程为，点Q运动路程为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点D为线段的中点，点C表示的数是， ∴点D表示的数为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当t为或时，线段的长为1个单位长度； （3）当（P在Q右侧）时， ， 此时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵P掉头后的速度为每秒2个单位，点Q继续按原速每秒2个单位按原方向运动， 设此时之后，点P运动路程为x， ∴点Q运动路程为x， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵点P表示的数为， 又∵，， ∴点P表示的数为或． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活运用方程思想是解题的关键． 33．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①Q未到达C，Q在M右边1个单位时，②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，③返回，N在P右侧1个单位时，④返回，Q在M右边1个单位时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或或； （3）解： 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， ①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时， ， 解得， ②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， 当时，Q表示的数是，P表示的数是，N表示的数是，M表示的数是， ③返回，N在P右侧1个单位时，， 解得， ④返回，Q在M右边1个单位时，， 解得； 综上所述，t的值是或或或． 34．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)点N表示的数为或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）易得，设经过x秒后，点P和点Q相遇，根据相遇时，两点的路程和等于，列出方程求出x的值，即可得出点C表示的数； （3）根据题意得出，，，然后进行分类讨论：①当时， ②当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， 设经过x秒后，点P和点Q相遇， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （3）解：根据题意可得：点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为， ，，， ①当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； ②当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； 综上：点N表示的数为或． 35．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 36．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①M和N的相遇点Q所对应的数为；②存在，符合题意的t的值为：或 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可得出结果； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，分两种情况分析，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解得， 故答案为：； （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设，则， 因为M和N两点分别在上运动的时间相同， 则， 解得， 则Q表示的数为， 故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如下： ∵， ∴点M从A到O所需时间为：， ∵， ∴点M从O到C所需时间为：， ∵， ∴点N从B到C所需时间为：， 点N从C到O所需时间为： 点N返回时， 点N从O到C所需时间为：， 点N从C到B所需时间为：， 由此再分类讨论如下： （1）当点M在上时，点N在上运动，此时， 此时； ， ∴， 解得； （2）当点N在上时， ①点M在上且点M和点N相遇前，当两点相遇时，，当， ， ， ∴ 解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时， ， ∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，， ∴， 解得，不符合题意；, 综上所述，符合题意的t的值为：或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 37．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为． (1)_____，_____，_____； (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒6个单位长度的速度向右运动，试探究和之间的数量关系； (3)若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒m个单位长度的速度向右运动，当时，，求m的值． 【答案】(1)，1，6； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值． （1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据题意得：t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，然后分别表示出线段长度作差即可求解； （3）分别求出当时，A、B、C表示的数，得到和，根据列出方程，解之即可． 【详解】（1）∵，b是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为， ∴， ∴， ∴； （3）当时，点A表示，点B表示，点C表示， ∴， ∵， 则， 则，或， 解得：或． 38．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间； （3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 39．已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．    (1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）． 【答案】(1) (2)， (3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了绝对值的非负性、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，熟练根据题中的等量关系列方程求解是解此题的关键． （1）根据绝对值和平方式的非负性得出和的值即可； （2）根据点的运动列出代数式即可； （3）分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：； （2）解：由（1）可得：， 点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：， 解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为， 点在原地停留4秒时，， 解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，， 解得：， 当在右侧时，， 解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 40．如图1，数轴上有A，B，C三个点，点C对应的数是12，点A，B对应的数分别为a、b，且a，b满足． (1)A对应的数为___________，B对应的数为___________； (2)若数轴上有动点E从A出发，以5每秒单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点F从B出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．在运动过程中，是否存在线段的长度等于线段长度的，若存在，请求出此时点E对应的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在数轴上有长度为4个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）和长度为3个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）．若从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发，以每秒1个单位的速度也沿着数轴的正方向运动．当点运动到点时，线段立即以原来速度的返回，同一时刻的速度变为原来的2倍，当点再次运动到点时，线段和均同时停止运动．设出发的时间为，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)在运动过程中，存在线段的长度等于线段长度的，此时点对应的数是2或； (3)存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，的值为或或或10． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）设运动时间为秒，则运动后表示的数是，根据线段的长度等于线段长度的，得，即可解得答案； （3）用8秒运动到，此时运动到表示8的点，运动到表示4的点，运动到表示1的点，分两种情况：当时，表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，可得或，当时，表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，可得或，解方程可得答案． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 对应的数是，对应的数是， 故答案为：，； （2）解：在运动过程中，存在线段的长度等于线段长度的，理由如下： 设运动时间为秒，则运动后表示的数是，表示的数是， ，， 线段的长度等于线段长度的， ， 解得：或， 或， 此时点对应的数是2或； （3）解：存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，理由如下： ， 用8秒运动到，此时运动到表示8的点，运动到表示4的点，运动到表示1的点， 当时， 表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 重叠部分的长度为长度的一半， 或， 解得：或， 当时， 表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 重叠部分的长度为长度的一半， 或， 解得：或， 综上所述，的值为或或或10． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 【题型5 动点存在性问题】 41．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答． 【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． ∴ ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设点C在数轴上表示有理数c， 点C在B点的右边，则结合数轴，， 不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， ∴点C表示的数为或； （3）解：依题意，时间为t， 点Q表示的数是， ∵， ∴， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得或， 当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时， 则， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， ， 即或， 此时或， 当点P刚好回到，此时点Q表示的数是， ∵， ∴， ∵， ∴当点P第二次从A出发，， 则点P表示的数是， ∵， ∴， ∴， 综上或，或或． 42．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或秒时，此时的距离为或． 【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可； （）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可； （）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， 当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵两点之间相距个单位长度， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或； （3）存在，理由如下： 当时，点对应的数是，点对应的数是， 由题意知点对应的数是，点对应的数是， 设再运动秒后， ∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数， 当线段和线段相遇前， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 当线段和线段相遇后， ，， ∵， ∴，解得：； 此时点表示的数，对应点表示的数， ∴距离为； 综上可知：当或秒时，此时的距离为或． 43．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 44．已知数轴上两点M、N所表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离．如图，在数轴上 A、B 对应的数分别为、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x． (1)若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数． (2)数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点 O 向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点 P 到点 A、点 B 的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查数轴的应用和绝对值的意义，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B 的距离相等，所以点在、两点之间，设点对应的数为，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案； （2）设点对应的数为，根据题意分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时，③当点在，两点之间时，分别表示出的长，再根据，求出符合题意的即可； （3）设分钟后点到点、点的距离相等．根据题意得到点在分钟后对应的数为，点在分钟后对应的数为，点在分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：∵点到点 、点的距离相等， ∴点在、两点之间， 设点对应的数为， ∴， ∴， 解得， ∴点 P 对应的数为1． （2）解：设点对应的数为，由题可得： ①当点在点左侧时， ∴，， ∵， ∴ 解得； ②当点在点右侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得， ③当点在，两点之间时，由（1）可知不合题意舍去 综上所述：当或时存在． （3）解：设分钟后点到点、点的距离相等． 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为。 ∴，， ∴， ∴或 解得或． 45．已知 如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．点P 为数轴上一动点，其对应的有理数为x． (1)点A表示的有理数 ，点B表示的有理数 (2)若点P到点A，B的距离相等，则点P对应的有理数x为 ； (3)数轴上是否存在点 P，使点P 到点A，B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2)2 (3)存在点 P，使点P 到点A，B的距离之和为6，此时或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算，非负数的性质： （1）根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0可得，由此即可得到答案； （2）根据题意可得点P是的中点，则由数轴上两点距离计算公式可得方程，解方程即可得到答案； （3）由数轴上两点距离计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；3； （2）解：∵点P到点A，B的距离相等， ∴点P是的中点， ∴， 解得， 故答案为：2； （3）解：由题意得，， ∴， 当时，则， 解得； 当时，则，此时方程无解； 当时，则， 解得； 综上所述，存在点 P，使点P 到点A，B的距离之和为6，此时或． 46．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 47．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为________； ②若数轴上表示点的数满足，那么________． (2)拓展探究：①若数轴上表示点的数满足，则________； ②是否存在的值，使得等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②或3 (2)①7；②不存在x的值，使得等式成立；理由见解析 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； ②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为； 故答案为：3； ②∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或3． （2）解：①∵， ∴，， ∴， 故答案为：． ②不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，且最小值为， ∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． 48．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 49．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)__________， __________， __________． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为__________． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4 (2)3 (3)存在t值为或，使得 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4 （2）解：解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与数表示的点重合3； 故答案为：3； （3）解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 50．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5，见解析 (2)的值为：1或3 (3)存在， 【分析】（1）含字母的项为，根据单项式的系数、次数即可确定a、b的值，进而在数轴上表示出来； （2）求得线段，则得或，即可求得c的值； （3）设运动时间为，则可表示出点P、Q、M运动t秒后在数轴上表示的数，由为定值即可确定k的值． 【详解】（1）解：二项式中，含字母的项为，其系数为，次数为5， 在数轴上表示如下： 故答案为：，5； （2）解：由（1）知，， 因点为线段的三等分点， 当C靠近A时，，则； 当C靠近B时，，则； 综上，c表示的数为1或3； （3）解：存在 点离点较近时，， 设运动时间为，则：点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，        所以，        要使为定值，则，得：，．       【点睛】本题考查了多项式的项，数轴上动点问题，在数轴上表示有理数，数轴上两点间距离，涉及分类讨论与数形结合思想的运用． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$