第09讲 离散型随机变量及其分布列（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第09讲 离散型随机变量及其分布列 【人教A版2019】 模块一 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【题型1 离散型随机变量】 【例1.1】（23-24高二下·江苏·课前预习）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.2】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【变式1.2】（23-24高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2.1】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【例2.2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式2.1】（24-25高二下·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【变式2.2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）设随机变量的分布列为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·天津·期中）若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 A． B． C．或 D．或2 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4.1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式4.1】（23-24高二下·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二下·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 模块二 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5.1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【例5.2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式5.1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【例6.2】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式6.1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【题型7 离散型随机变量的分布列的综合应用】 【例7.1】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【例7.2】（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【变式7.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【变式7.2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 4．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 6．（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 10．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． 0 1 2 0.7 0.15 0.15 B． -2 0 2 4 0.5 0.2 0.3 0.1 C． 1 2 3 D． 1 2 3 11．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏·课后作业）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 ． 13．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 14．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）设随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 16．（24-25高二下·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 17．（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 18．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）随着全球环境问题的加剧，环境安全已逐渐成为国家和地区安全的重要组成部分，其中环境空气质量尤为重要．我国空气质量分为六级，在大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物称为可入肺颗粒物（记为PM2.5），对人体健康和环境质量的影响很大，其中PM2.5与空气质量的关系如下： PM2.5日均值为及以下时，空气质量等级为“一级：优”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“二级：良好”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“三级：轻度污染”． 某市环保局从冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天数据作为样本，其数据分别为：38，32，45，49，53，77，66，86，76，91．空气质量低于二级视为PM2.5数据超标． (1)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量为二级的概率； (2)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天，求这三天PM2.5监测数据超标的天数的分布列． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 离散型随机变量及其分布列 【人教A版2019】 模块一 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【题型1 离散型随机变量】 【例1.1】（23-24高二下·江苏·课前预习）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据离散型随机变量的定义逐个分析即可. 【解答过程】①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来. ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中， 则也可以一一列举出来. ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况， 可以一一列举出来. ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻， 不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量， 故只有①②④满足. 故选：C. 【例1.2】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【解题思路】根据随机变量的定义，结合试验结果，逐项判定，即可求解. 【解答过程】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量， D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量． 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【解答过程】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2.1】（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【例2.2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【解题思路】根据古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列. 【解答过程】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 【变式2.2】（23-24高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【解答过程】（1）表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”， 所以； （2）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下所示： 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 【解题思路】由分布列的性质可得，求解即可. 【解答过程】由分布列的性质可得,即， 解得. 又，解得，故. 故选：B. 【例3.2】（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）设随机变量的分布列为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解. 【解答过程】由题意得：， 解得：. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】可由分布列的性质直接求解. 【解答过程】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二下·天津·期中）若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 A． B． C．或 D．或2 【解题思路】根据概率和为1解得或，并代入检验. 【解答过程】由题意可得：，整理得，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4.1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质可得，根据对立事件运算求解. 【解答过程】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 【例4.2】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【解题思路】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【解答过程】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二下·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【解答过程】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 【变式4.2】（23-24高二下·新疆·期中）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【解答过程】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C. 模块二 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5.1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【解题思路】利用两点分布的性质可得答案. 【解答过程】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【例5.2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【解题思路】根据两点分布得基本性质即可求解. 【解答过程】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【解答过程】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式5.2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【解题思路】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解. 【解答过程】当时，由， 所以. 故选：D. 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 【例6.2】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】根据求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【解题思路】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【解答过程】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 【变式6.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【解题思路】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【解答过程】由题意，解得， 而. 故选：A. 【题型7 离散型随机变量的分布列的综合应用】 【例7.1】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【解题思路】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【解答过程】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 【例7.2】（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【解题思路】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【解答过程】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 【变式7.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【解题思路】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列. 【解答过程】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 【变式7.2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【解题思路】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论， （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【解答过程】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 因为，所以， 所以乙进入决赛的概率最大， 所以乙进入决赛的可能性最大． （2）当时，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为， 根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得； ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【解题思路】根据离散型随机变量的定义进行判断，得到答案. 【解答过程】A选项，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误； B选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； C选项，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C正确； D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，D错误． 故选：C． 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】根据概率和为1列式求解即可. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【解题思路】由离散型随机变量的实际含义即可求解. 【解答过程】由试验次数的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开， 如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙. 所以的所有可能取值为：. 故选：D. 4．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点分布的特征计算即可. 【解答过程】由题意得，则． 故选：A. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【解题思路】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可. 【解答过程】设任取1盆的编号为随机变量， 则的可能取值为0，1，2，…，9， 且 ， ． 故选：B. 7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【解答过程】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 8．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【解题思路】根据离散型随机变量的特征判断即可. 【解答过程】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 10．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（    ） A． 0 1 2 0.7 0.15 0.15 B． -2 0 2 4 0.5 0.2 0.3 0.1 C． 1 2 3 D． 1 2 3 【解题思路】利用及概率和为1，检验各个选项即可得到结果. 【解答过程】对于A，满足，且概率和，故A是某个随机变量的分布列； 对于B，满足，但概率和，故B不是某个随机变量的分布列； 对于C，不满足，故C不是某个随机变量的分布列； 对于D，满足，且概率和，故D是某个随机变量的分布列. 故选：BC. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏·课后作业）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 6，11，15，21，25，30 ． 【解题思路】根据题意，结合表示两张金额之和，即可求得的可能取值，得到答案. 【解答过程】由题意，随机变量的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，表示“抽到的是1元和5元”； 表示“抽到的是1元和10元”； 表示“抽到的是5元和10元”； 表示“抽到的是1元和20元”； 表示“抽到的是5元和20元”； 表示“抽到的是10元和20元”． 故答案为：6，11，15，21，25，30. 13．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【解题思路】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【解答过程】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）设随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则 ． 【解题思路】确定，再根据计算得到答案. 【解答过程】，. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【解题思路】根据离散型随机变量概念性质可解. 【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 16．（24-25高二下·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【解题思路】（1）根据分布列的性质可得，即可求解. （2）根据即可求解. 【解答过程】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 17．（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【解题思路】根据题意，由条件可得新生获得社团选修课学分分数的可能取值为，然后分别计算其对应概率，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 18．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 【解题思路】（1）计算出后，结合的可能取值计算对应概率即可得； （2）由题意可得，计算即可得. 【解答过程】（1），故， 的可能取值为、、、， ，， ，， 故其分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）由，可得， 故. 19．（24-25高二下·全国·课后作业）随着全球环境问题的加剧，环境安全已逐渐成为国家和地区安全的重要组成部分，其中环境空气质量尤为重要．我国空气质量分为六级，在大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物称为可入肺颗粒物（记为PM2.5），对人体健康和环境质量的影响很大，其中PM2.5与空气质量的关系如下： PM2.5日均值为及以下时，空气质量等级为“一级：优”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“二级：良好”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“三级：轻度污染”． 某市环保局从冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天数据作为样本，其数据分别为：38，32，45，49，53，77，66，86，76，91．空气质量低于二级视为PM2.5数据超标． (1)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量为二级的概率； (2)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天，求这三天PM2.5监测数据超标的天数的分布列． 【解题思路】（1）根据题意，由对立事件的概率公式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得三天PM2.5监测数据超标的天数的可能取值为0，1，2，3，然后分别计算其对应概率，即可得到结果. 【解答过程】（1）由题可得，空气质量为一级的有1天，为二级的有5天，为三级的有4天， 则所求概率． （2）设“这三天PM2.5监测数据超标的天数”为，则的可能取值为0，1，2，3． 所以； ． 即的分布列如下： 0 1 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