专题6.3 平面向量的坐标运算（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

专题6.3平面向量的坐标运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二·天津·学业考试）已知向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可得出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求得的坐标. 【详解】设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 3．（2024·广东茂名·二模）已知向量，，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标，即可求解. 【详解】，，， ，解得：. 故选：A 4．（24-25高三·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，若，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的坐标，根据列方程，解方程求得的值.求得，由此求得向量与的夹角. 【详解】，由得解得，故，所以，故. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法、数量积和模的坐标运算，考查两个向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．（24-25高一下·浙江台州·期中）在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，根据向量共线的坐标公式一一判断即可. 【详解】对A，因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故A错误； 对B，因为，则两者不是共线向量，则B正确； 对C，由于，则，是共线向量，故C错误， 对D，由于，是共线向量，故D错误， 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）已知，记函数，且的最小正周期是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. 【详解】因为 所以， ，故， . 故选：A. 7．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的几何意义及坐标运算求解投影即可. 【详解】因为向量，所以向量在向量方向上的投影是. 故选：C. 8．（24-25高一下·四川成都·期中）在等腰中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，再用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 则， 由，， 可得， 所以， 所以. 故选：A 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据向量的坐标运算，，， 所以选项ACD正确. 故选：ACD 10．（24-25高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】对A，借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B，借助模长定义计算即可得；对C，根据数量积的运算律得到，计算即可得；对D，由投影向量的定义求解即可得. 【详解】对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误； 对于B，由，得，所以有最小值，B正确； 对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确； 对于D，当时，，则，D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·宁夏银川·阶段练习）已知向量，且向量满足，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在向量上的投影向量的模为 【答案】AC 【分析】由得，AC选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；B选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，即为向量在方向上的投影向量，从而可以求模长. 【详解】由题知，因为，所以， 解得或，又因为，所以，所以， 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，由于，所以与不平行，故B选项错误； 对于C选项，，，所以，又，所以，故C选项正确； 对于D选项，向量在方向上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故D选项错误. 故选：AC 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，，若与平行，则实数的值为________． 【答案】－1 【分析】先求出与的坐标，再由平面向量共线的坐标表示求解即可 【详解】， ， 又与平行， 所以， 解得 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，则向量在向量上的投影是 【答案】 【分析】由向量的减法运算，可得，进而可得在向量上的投影. 【详解】由向量，，得， 则向量在向量上的投影为. 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的加减运算，向量的投影等基本的数学知识，考查了计算能力，属于基础题目. 14．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，与的夹角为，，E为线段CD上的一个动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，得到，以为原点，建立平面直角坐标系，设，利用向量的数量积的公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由向量，，与的夹角为， 可得， 所以，所以， 如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，则， 设，，可得， 所以， 当时，取得最小值，且最小值为； 当时，取得最大值，且最大值为7． 所以的取值范围为. 故答案为：.    4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·山西·期中）已知向量，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值． 【详解】（1）∵，， ∴， ， ∴； （2）设与的夹角为，则， ，， ，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 16．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知向量分别为x，y轴正方向上的两个单位向量.求： （1）； （2）向量与夹角的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据向量的坐标表示得，，再根据向量的加法运算和向量的模的计算可得值； （2）根据向量的夹角的坐标运算可得答案. 【详解】（1）依题意得，，，所以； （2）由（1）得，，所以， 所以向量与夹角的大小为. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示及运用向量的坐标求向量的模和向量的夹角，属于基础题. 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知向量，，，． （1）求的最小值及相应的t值； （2）若与共线，求实数t． 【答案】（1）最小值为，；（2）． 【分析】（1）由向量的坐标运算和模的计算公式计算，再由二次函数求最值即可； （2）由平面向量共线的充要条件列方程解得可得． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 所以． 当且仅当时取等号，即的最小值为，此时． （2）因为， 又与共线，， 所以， 解得． 18．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知向量，. (1)求与的夹角： (2)若满足，，求的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的坐标运算得出、，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值； （2）设，表示出.根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出，解方程组即可得出结果. 【详解】（1）解：设与的夹角为. 由已知可得，， 则，，， 所以， 又，所以， 所以与的夹角为. （2）解：设，则. 由（1）知，又， 所以. 又，所以. 联立可得，， 所以. 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由向量数量积和模的坐标运算，代入中求出的值，再求出的坐标，求； （2）且与不同向共线，求实数的取值范围即可． 【详解】（1）向量，且与的夹角为． 则，，， 由，有，解得， 所以，得． （2）， 由题意，得， 又，， 若与共线，则有，解得， 此时与同向平行，不合题意， 所以且． 则实数的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3平面向量的坐标运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二·天津·学业考试）已知向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东茂名·二模）已知向量，，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高三·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，若，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江台州·期中）在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）已知，记函数，且的最小正周期是，则（　　） A． B． C． D． 7．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高一下·四川成都·期中）在等腰中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 11．（24-25高一下·宁夏银川·阶段练习）已知向量，且向量满足，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在向量上的投影向量的模为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，，若与平行，则实数的值为________． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，则向量在向量上的投影是 14．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知向量，，与的夹角为，，E为线段CD上的一个动点，则的取值范围为 ．   4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·山西·期中）已知向量，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 16．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知向量分别为x，y轴正方向上的两个单位向量.求： （1）； （2）向量与夹角的大小. 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知向量，，，． （1）求的最小值及相应的t值； （2）若与共线，求实数t． 18．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知向量，. (1)求与的夹角： (2)若满足，，求的坐标. 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$