2.7正方形同步训练 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

2.7正方形 一、选择题： 1.正方形具有而菱形不一定有的性质是(    ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 2.已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    ) A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 3.如图，正方形的边长为，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形如图，且，则图中对角线的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且． 7.如图，将边长为的正方形沿的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 8.如图，正方形的边长为，点在边上四边形也为正方形，设的面积为，则(    ) A. B. C. D. 与长度有关 二、填空题： 9.当矩形的对角线互相垂直时，矩形变成______． 10.正方形的对角线是，那么边长为______，周长为______，面积为______． 11.如图，，，则正方形的面积为______． 12.如图，已知四边形为正方形，，则 ______． 13.如图，矩形的边，点，分别在边，上，且四边形为正方形若矩形与矩形相似，则的长为______． 14.在课本上的“数学活动折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片如图若正方形纸片的边长为，则的长为______． 15.如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是______． 三、解答题： 16.如图，正方形是由正方形旋转而成的，点在上． 直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角； 若正方形的边长是，直接写出的长． 17.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． 求证：是等腰直角三角形； 若四边形的面积为，，求的长． 18. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点点为矩形外一点，四边形为平行四边形求证：四边形是正方形． 19.如图所示，在中，在，平分，于，于，求证：四边形是正方形． 20. 正方形中，点在边上不与点，重合，射线与射线交于点，若． 求正方形的边长． 以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点若，求的长． 21.已知，如图，在正方形中，点分别在上，且求证：四边形是正方形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形． 正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件． 故选：． 根据正方形与菱形的性质即可求得答案． 此题考查了正方形与菱形的性质，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理，切勿混淆． 2.【答案】  【解析】解：、四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意； 故选：． 根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可． 本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：把绕点顺时针旋转得到， 旋转角为和， 故选：． 由旋转的性质可得旋转角为和，即可求解． 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：正方形的对角线， ， 图中，连接交于点， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 故选：． 根据正方形的性质得，图中，连接交于点，利用勾股定理得出的长，从而得出答案． 本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的判别方法． 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到答案． 【解答】 解：、不能，只能判定为矩形，故此选项不符合题意 B、不能，因为且只能得到是菱形，故此选项不符合题意 C、不能，只能判定为菱形，故此选项不符合题意 D、能，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项符合题意． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 故选：． 利用平移的性质求解即可． 本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可． 8.【答案】  【解析】解：设正方形的边长为， 根据题意得：． 故选：． 阴影部分面积正方形面积正方形面积三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 此题考查了正方形的性质，整式的混合运算，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键． 9.【答案】正方形  【解析】解：对角线互相垂直的矩形是正方形， 故答案为：正方形． 由正方形的判定可求解． 本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定是解题的关键． 10.【答案】      【解析】解：正方形的对角线， 边长， 周长，面积， 故答案为：，，． 由正方形的性质可求解． 本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：，，， ， ，， ， 正方形的面积为． 故答案为：． 根据勾股定理可以得到的长，再根据勾股定理可以求出的长，从而可以求得正方形的面积． 本题考查了勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，利用数形结合的思想解答． 12.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 故答案为：． 由“”可证≌，可得，由余角的性质可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：矩形的边，点，分别在边，上， ，， 四边形为正方形， ， 设， ，， 矩形与矩形相似， ，即， 解得舍去，， 检验，当时，原分式方程有意义， ， ， 故答案为：． 根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， 故答案为：． 根据折叠的性质得出，，即可求出，，再根据勾股定理即可求解． 本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：边长为的正方形， ，， 正方形折叠，使点落在边的中点处， ，， 由题意设，则， 在中，， 即， 解得：，即． 故答案为：． 由正方形的性质可得，，进而得到，根据折叠的性质可得，若设，则，，最后根据勾股定理列方程求解即可． 本题主要考查了折叠问题、正方形的性质、勾股定理等知识点，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 16.【答案】解：由题意得，旋转中心为点，旋转方向是逆时针方向，旋转角为． 由题意得，，，， ， ．  【解析】结合旋转的性质以及正方形的性质可得，旋转中心为点，旋转方向是逆时针方向，旋转角为． 由题意得，，，，利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 本题考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17.【答案】证明：把顺时针旋转到的位置， ≌， ，， ． 是等腰直角三角形． 解：四边形的面积正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ，  【解析】由旋转的性质可得≌，得出，，则． 由勾股定理求出的长． 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 18.【答案】证明：四边形是矩形， ， ，平分与， ，， ， ， ， ， ▱是正方形．  【解析】由矩形的性质得出，证出，由正方形的判定可得出结论． 此题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 19.【答案】证明：平分，，， ，， 又， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形．  【解析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形． 根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论． 20.【答案】解：， ． ， ∽， ， ， 负值舍去， 正方形的边长为； 设，则， 则，． 在中，， ， 舍去或， ．  【解析】通过证明∽，可得，即，则可求解； 利用勾股定理可求解． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21.【答案】证明：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ，， ， ， 同理可证明， 四边形是正方形．   【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，，进一步证明，同理可证明，由此即可证明结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$