2.5 矩形同步训练 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

2.5 矩形 一、选择题： 1.如图，在矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点则点表示的数是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，点是中点，且， 的垂直平分线 恰好过点，则矩形的一边的长度为(    ) A. B. C. D. 3.下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是(    ) A. 一组对边平行且相等，一个角是直角 B. 对角线互相平分且相等 C. 有三个角是直角 D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等 4.如图，矩形中，对角线，交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是(    ) A. B. C. D. 6.如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，周长为，面积为，请计算的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形其中的道理是(    ) A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 二、填空题： 10.如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为          ． 11.矩形的两条对角线将矩形分成个三角形，它们的面积______填“相等”或“不相等” 12.如图，矩形中交于点，，，则的长为_____． 13.如图，矩形中，，为对角线上一点，且，于，则______． 14.如图，矩形中，对角线、相交于点，于点，，，则的长为________． 15.在一个矩形中，两条对角线与相交于点，若，，则的长为_______． 16.如图，在中，，，，在边，，上分别取点，，，使四边形为矩形，则对角线的长的最小整数值是______． 三、解答题： 17. 如图，四边形是平行四边形，过中点且交的延长线于点． 求证：≌； 连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形不需要说明理由 18. 如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，有下列条件： ，． 请从以上中任选个作为条件，求证：四边形是矩形． 19. 如图，四边形是矩形，点和点在边上，且，求证：． 20. 如图，四边形是平行四边形，为边上的中点，，连接，． 求证：四边形是矩形． 若，判断四边形的形状，并说明理由． 21.如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，且圆弧过与的交点，连接若，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ， 由勾股定理得，． ， 点表示的数是， 故选：． 首先利用矩形的定义得，再由勾股定理求出的长，最后根据，可得答案． 本题主要考查了矩形的定义，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：如图，连接， 点是中点， ，， ，  的垂直平分线 恰好过点， ， 在中，由勾股定理得，， ． 故选：． 连接，根据线段中点的定义求出、，根据矩形的对边相等可得，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据矩形的对边相等可得． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 3.【答案】  【解析】解：、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形； B、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形； C、正确．有三个角是直角的四边形是矩形； D、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形； 故选：． 利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项． 此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可． 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 【解答】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：，， ，， 又将折叠使点恰好落在边上的点， ，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，，即，解得， 即的长为． 故选：． 根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则，，在中，利用勾股定理可求出的值． 本题考查了翻折变换折叠问题与矩形的性质，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等． 6.【答案】  【解析】解：由题意得：，， ， ． 故选：． 由矩形的面积、周长公式得到，，而，代入有关数据即可求值． 本题考查代数式，因式分解提公因数法，矩形的周长和面积，关键是由提公因数法得到． 7.【答案】  【解析】解：，， ， 四边形是矩形， ，， 点、分别是、的中点， ， 故选：． 由矩形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形中位线的定理，勾股定理，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、四边形是平行四边形， ， 选项不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：． 本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图， 两组对边的长度分别相等，，， 四边形为平行四边形， 又测量它们的两条对角线相等，， 平行四边形为矩形． 故选：． 根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等． 本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍数关系． 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解即可． 【解答】 解：、分别为、的中点， 是三角形的中位线， ． 四边形是矩形， ． 故答案为． 11.【答案】相等  【解析】解：如图，矩形的两条对角线将矩形分成个三角形， ，， ， ≌， ， 与等底同高， ， 同理：， ． 矩形的两条对角线将矩形分成个三角形的面积相等． 故答案为：相等． 如图：由四边形是矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得，，则易证≌，即可得，又由与等底同高，可得，进而完成解答． 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握矩形的对角线互相平分与等底同高的三角形面积相等成为解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质． 由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，即可得出的长． 【解答】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：四边形是矩形 ，， ，， ，且， ， ， 在中， 故答案为 根据矩形的性质可得，由可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可求的长． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， ， 在中， ． 故答案为：． 由矩形的性质可得，，由勾股定理可求解． 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，灵活运用矩形的性质是本题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质．依据矩形的性质，可得到的长，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：矩形中，两条对角线与相交于点，， ， 又，， ， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，，， ， 四边形为矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， ， ， 对角线的长的最小整数值是， 故答案为：． 连接，由矩形的性质可得，求出的取值范围，即可求解． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，确定的取值范围是本题的关键． 17.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是中点， ， ，，， ≌； 解：添加条件是，四边形是矩形． 理由如下： ≌， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且四边形是平行四边形， 四边形是矩形．  【解析】由题意可得，，且，即可证≌； 由≌可得，，即可证四边形是平行四边形，且，可证平行四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握这些性质是解决本题的关键． 18.【答案】解：选择为条件，证：四边形是矩形， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形； 选择为条件，证：四边形是矩形， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形．  【解析】选择，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是度的平行四边形是矩形，即可得证，选择，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是度的平行四边形是矩形，即可得证． 本题考查矩形的判定， 19.【答案】证明：四边形为矩形， ，， ， ． 即：， 在和中， ， ≌， ．  【解析】利用矩形的性质证得≌，从而证得结论． 本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解矩形的对边相等，四个角都是直角，难度不大． 20.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． 解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边上的中点． ． 由，可知四边形是矩形， 四边形是正方形．  【解析】根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． 21.【答案】解：四边形是矩形， ， ，为的中点， ， ， ．  【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$