《相交线与平行线》7.1相交线有关的十大题型解题技巧2024-2025学年七年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线与平行线》 7.1相交线有关的十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1.邻补角与对顶角 1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角，互为邻补角。 如图，和， 邻补角性质：邻补角互补 2.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角 的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这样关系的两个角，互为对顶角。如图和 对顶角的性质：对顶角相等 如图 = 知识点2.垂线的定义 1.当两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。它们的交点就叫做垂足. 2.垂直定义的双重作用（1）知线垂直得直角（2）知直角得线垂直. 知识点3.垂线的画法 经过一点画已知直线的垂线： 一落：三角尺的一条直角边落在已知直线上； 二移：沿已知直线移动三角尺使其经过已知点； 三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，则这条直线就是过已知点所画的已知直线的垂线。 知识点4.垂线的性质 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：（1）“有且只有”中，“有”表示存在。“只有”表示唯一。 （2） 点在直线上，点在直线外都成立。 2.垂线段：直线外一点引已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段。 注意：垂线是直线，垂线段是线段。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 注意：（1）点到直线的距离是一个具体的数值. （3） 点到直线的距离的实质是直线外一点与垂足之间的距离。 4.垂线段性质：垂线段最短。 知识点5.同位角、内错角、同旁内角 同位角：两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这样位置关系的角叫做同位角。 内错角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的两侧，具有这样位置关系的角叫做内错角。 同旁内角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的同一旁，具有这样位置关系的角叫做同旁内角。 注意： 1.（1） 同位角、内错角、同旁内角是指两个角之间的位置关系，不是大小关系，通常它们之间的大小关系是不确定的。 （2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们没有公共顶点，但都有一条边在截线上，另一边在两条被截线上。 2.确定两个角是什么类型角的方法 （1） 定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。 （2） 定被截线：两个角的另一边所在的直线。 （3） 定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 相交线及交点个数】 【例1-1】．在同一平面内， 三条直线的交点有多少个？请画图说明． 【例1-2】．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（　　） A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3 C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3 【变式1-1】．平面上有 6 条直线，共有 12 个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画出两种情况).· 【变式1-2】．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（　　） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【变式1-3】．．下列语句正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【题型2 邻补角、对顶角的识别】 【例2-1】．下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下面图形中，是对顶角的图形是(　　) A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，直线m、n相交，则∠1与∠2的位置关系为（　　） A．邻补角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式2-4】．如图，直线AB， CD ，EF相交于点O， ∠1的邻补角是（　　） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOF D．∠BOE和∠AOF 【题型3 邻补角、对顶角的性质】 【例3-1】．．如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（　　） A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36° 【例3-2】．．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1=3∠2，则∠3的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．60° 【变式3-1】．．如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】．如图， 直线 相交于点 ， 如果 ， 那么 的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】．下面四个图形中，一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【变式3-4】．如图，是一座正八边形古塔，某数学兴趣小组的同学想知道这个正八边形古塔的一个内角的度数，在不能进入塔内测量的情况下，设计了如图所示的测量方案：①反向延长正八边形内角∠AOB的两边，得到∠COD；②测量∠COD的度数.则∠COD的度数即为正八边形古塔内角∠AOB的度数.其中的数学原理是（　　） A．邻补角互补 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．内错角相等 【题型4 垂线的定义】 【例4-1】如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】．张老师在黑板上画出如图所示的图形（已知，，垂足为），四位同学发表了自己的看法，与是同旁内角；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的距离是线段，其中正确的看法有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-1】．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线． （1）试判断OF和OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数． 【变式4-2】． 如图，点在同一条直线上，分别平分，． （1）试猜想与的位置关系？并说明理由； （2）的补角是　 　． 【题型5 垂线的画法】 【例5-1】．．下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】．经过平面内一点P，画∠AOB两边垂线段画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】．．如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D. （1）补全图形（按要求画图）； （2）求的度数： （3）如果，，，求点A到直线的距离. 【变式5-2】．如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。 （1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB； ②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC； （2）线段　 　的长度是点C到AB的距离，线段　 　的长度是点A到CE的距离。 如上图所示 （2）CD；AC 【变式5-3】按下列要求画图并填空： （1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D　 　，那么点B到直线AC的距离是线段　 　的长. （2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM　 　.那么线段CM是△ABC的　 　 .（保留作图痕迹） 【答案】（1）；BD （2）；边AB的中线 【知识点】垂线的概念；三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度， 故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线， 线段CM是△ABC的边AB的中线， 故答案为：边AB的中线． 【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答． 【变式5-4】．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点. （1）①画出△ABC中AB边上的高CH；（提醒：别忘了标注字母）； ②请画出平移后的△DEF； （2）平移后，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积是　 　. 【题型6 垂线的性质】 【例6-1】．如图，经过直线I外一点A作I的垂线，能画出（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【例6-2】．下列说法正确的有（　　） ①两条直线相交，交点叫垂足； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线； ④在同一平面内，一条线段有无数条垂线； ⑤过一点可以向一条射线或线段所在的直线作垂线； ⑥若 ，则 是 的垂线， 不是 的垂线. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点. （1）①过点P画AB的垂线段PE. ②过点P画CD的垂线，与AB相交于F点. （2）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？ 【变式6-2】．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【题型7 点到直线的距离】 【例7-1】．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．7个 D．0个 【例7-2】．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面结论中正确的有：（　　） ①AC与BC互相垂直； ②CD与AC互相垂直； ③点A到BC的垂线段是BC； ④点C到AB的距离是CD； ⑤线段BC的长度是点B到AC的距离； ⑥线段BC是点B到AC的距离. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式7-1】．下列说法中正确的是（　　） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线； ②两个角相等，这两个角是对顶角； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直； ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式7-2】．下列说法错误的是（　　） A．两条直线相交，只有一个交点 B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．直线外一点到直线的距离就是这点到直线的垂线段 【变式7-3】．如图所示，三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD⊥BC。则下列说法不正确的是（　　） A．线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的 B．线段AB是点B到直线AD的垂线段 C．点A到直线BC的距离是线段AD的长 D．点C到直线AB的距离是线段AC的长 【变式7-4】．下列语句中： ①有公共顶点且相等的角是对顶角； ②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ③两点之间直线最短； ④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-5】． 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 【题型8 垂线的有关计算】 【例8-1】下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以　 　， 因为， 所以　 　， 又因为平分， 所以　 　　 　　 　 因为， 所以， 则　 　　 　　 　 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 【例8-2】．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，在内部作，平分，若，则　 　． 【变式8-2】．如图，点O是直线AB上一点，OC⊥OD，OM是∠BOD的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，则∠MON的度数是　 　°． 【变式8-3】 如图，直线相交于点O，平分． （1）若于点O，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式8-3】． 如图，点在直线上，，射线在内部． （1）如图1，当时，用量角器画出射线，求度数： （2）如图2，当时，，垂足为点，求度数． 【题型9 垂线的性质的实际应用】 【例9-1】．如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 【例9-2】．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是　 　． 【变式9-1】．如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．D处 B．C处 C．B处 D．A处 【变式9-2】．我区年八年级“国家体质健康测试”中，立定跳远为必测项目，如图为测量立定跳远成绩的示意图，其依据的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式9-3】．如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是(　　) A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离B. C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式9-4】．如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 ，理由是　 　． 【题型10 同位角、内错角、同旁内角的识别】 【例10-1】．如图，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【例10-2】．如图，与∠1构成同位角的是　 　，与∠2构成同旁内角的是　 　． 【变式10-1】．如图，AB、CD被DE所截，则∠D的同位角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【变式10-2】． 图中有几对同位角? 几对内错角? 几对同旁内角? 把它们分别写出来. 【变式10-3】．如图所示， （1） 和 是 　 　， 　 　被　 　所截得的　 　角； （2） 和 　 　是 被　 　所截得的内错角； （3） 　 　和 　 　是 被 所截而成的同旁内角； （4） 　 　和 　 　是 被 所截得的内错角． 【变式10-4】．如图，直线CD与∠AOB的边OB相交． （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角。 （2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线与平行线》 7.1相交线有关的十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1.邻补角与对顶角 1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角，互为邻补角。 如图，和， 邻补角性质：邻补角互补 2.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角 的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这样关系的两个角，互为对顶角。如图和 对顶角的性质：对顶角相等 如图 = 知识点2.垂线的定义 1.当两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。它们的交点就叫做垂足. 2.垂直定义的双重作用（1）知线垂直得直角（2）知直角得线垂直. 知识点3.垂线的画法 经过一点画已知直线的垂线： 一落：三角尺的一条直角边落在已知直线上； 二移：沿已知直线移动三角尺使其经过已知点； 三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，则这条直线就是过已知点所画的已知直线的垂线。 知识点4.垂线的性质 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：（1）“有且只有”中，“有”表示存在。“只有”表示唯一。 （2） 点在直线上，点在直线外都成立。 2.垂线段：直线外一点引已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段。 注意：垂线是直线，垂线段是线段。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 注意：（1）点到直线的距离是一个具体的数值. （3） 点到直线的距离的实质是直线外一点与垂足之间的距离。 4.垂线段性质：垂线段最短。 知识点5.同位角、内错角、同旁内角 同位角：两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这样位置关系的角叫做同位角。 内错角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的两侧，具有这样位置关系的角叫做内错角。 同旁内角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的同一旁，具有这样位置关系的角叫做同旁内角。 注意： 1.（1） 同位角、内错角、同旁内角是指两个角之间的位置关系，不是大小关系，通常它们之间的大小关系是不确定的。 （2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们没有公共顶点，但都有一条边在截线上，另一边在两条被截线上。 2.确定两个角是什么类型角的方法 （1） 定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。 （2） 定被截线：两个角的另一边所在的直线。 （3） 定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 相交线及交点个数】 【例1-1】．在同一平面内， 三条直线的交点有多少个？请画图说明． 【答案】解：如图， 交点有 0 个或 1 个或 2 个或 3 个，共四种情况． 【知识点】相交线的相关概念；平行线的定义与现象 【解析】【分析】分四种情况讨论： 1、三条直线均互相平行（交点0个）； 2、三条直线有且仅通过唯一 一个点（交点1个）； 3、其中两条直线平行，第三条直线与平行线相交（交点2个）； 4、三条直线两两相交（交点3个）. 【例1-2】．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（　　） A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3 C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3 【答案】C 【知识点】相交线的相关概念 【解析】【解答】解： 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下： ①互相平行，此种情况交点个数为0个； ②其中两条平行，此种情况交点个数为2个； ③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个； ④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个. 综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3. 故答案为：C. 【分析】分类讨论：①互相平行，此种情况交点个数为0个；②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个，综上即可得出答案. 【变式1-1】．平面上有 6 条直线，共有 12 个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画出两种情况).· 【答案】解：如下图． 【知识点】相交线的相关概念；作图-平行线 【解析】【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上六条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，先考虑只有二条直线平行，再考虑三条平行，作出草图即可看出． 【变式1-2】．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（　　） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【知识点】相交线的相关概念 【解析】【解答】解：∵ l1、l2互相平行 ， ∴l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点， ∵l3，l4，l5相交于一点， ∴l3，l4，l5只有1个交点； l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点； l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点； ∴这7条直线的交点个数最多的交点数为2×3+1+5+6=18个. 故答案为：B 【分析】利用已知 l1、l2互相平行 ，因此 l1、l2没有交点，l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，再根据l3，l4，l5相交于一点；l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点，据此可得到这7条直线的交点个数最多的数量. 【变式1-3】．．下列语句正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，交点叫做垂足 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【知识点】相交线的相关概念 【解析】【解答】解：A、过一点须指明过直线外一点，错误； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂线的性质，正确； C、只有垂直相交，交点才叫垂足，错误； D、过直线上一点与已知直线相交的直线有无数条，错误． 故答案为：B． 【分析】根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，判断即可. 【题型2 邻补角、对顶角的识别】 【例2-1】．下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角及其性质；邻补角 【解析】【解答】解：A、不是邻补角，故A不符合题意； B、是对顶角，故B不符合题意； C、不是邻补角，故C不符合题意； D、是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【例2-2】．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：根据对顶角的定义： A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； B中∠1和∠2是对顶角； C中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； D中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； 故答案为：B． 【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此判断即可. 【变式2-1】．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：根据对顶角的定义： 中和顶点不在同一位置，不是对顶角； 中和角度不同，不是对顶角； 中和顶点不在同一位置，不是对顶角； 中和是对顶角； 故答案为：． 【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。 【变式2-2】下面图形中，是对顶角的图形是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：∵对顶角的定义：两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线， A、与的两边互为反向延长线，符合题意； B、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意； C、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意； D、与没有公共点，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线，即可． 【变式2-3】．如图，直线m、n相交，则∠1与∠2的位置关系为（　　） A．邻补角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】邻补角 【解析】【解答】解：直线m、n相交，则∠1与∠2互为邻补角． 故答案为：A． 【分析】根据邻补角的意义，结合图形判定即可． 【变式2-4】．如图，直线AB， CD ，EF相交于点O， ∠1的邻补角是（　　） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOF D．∠BOE和∠AOF 【答案】D 【知识点】邻补角 【解析】【解答】解：邻补角在两条直线相交的图形中产生，根据邻补角的定义得： ∠1的邻补角是∠AOF和∠BOE. 故答案为：D. 【分析】根据邻补角的定义解答，注意两直线相交，邻补角有两个. 【题型3 邻补角、对顶角的性质】 【例3-1】．．如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（　　） A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36° 【答案】A 【知识点】角的运算；邻补角 【解析】【解答】解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得：，， 观察四个选项可知，只有选项A符合题意， 故答案为：A． 【分析】根据邻补角的性质可得，再结合2∠3＝3∠1，求出∠1的度数，再求出∠2，∠3，∠4的度数并逐项判断即可。 【例3-2】．．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1=3∠2，则∠3的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【知识点】对顶角及其性质；邻补角 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：C． 【分析】根据邻补角的定义列方程得到∠2的度数，再根据对顶角相等即可得解． 【变式3-1】．．如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角 【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=40°， ∴∠2=180°-40°=140°， 故答案为：D。 【分析】根据邻补角的性质求解即可。 【变式3-2】．如图， 直线 相交于点 ， 如果 ， 那么 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角及其性质；邻补角 【解析】【解答】解：由题意， ∵ ∴ ∴. 故答案为：A． 【分析】根据对顶角的性质，由题意得出，再根据补角的性质计算即可. 【变式3-3】．下面四个图形中，一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角及其性质；邻补角 【解析】【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，∠1+∠2=180°，故选项A错误； B、∠1和∠2是对顶角，，故选项B正确； C、∠1是钝角，∠2是锐角，不可能相等，故选项C错误； D、∠1和∠2无关系，故选项D错误. 故答案为：B. 【分析】根据邻补角、对顶角的性质逐一判断即可. 【变式3-4】．如图，是一座正八边形古塔，某数学兴趣小组的同学想知道这个正八边形古塔的一个内角的度数，在不能进入塔内测量的情况下，设计了如图所示的测量方案：①反向延长正八边形内角∠AOB的两边，得到∠COD；②测量∠COD的度数.则∠COD的度数即为正八边形古塔内角∠AOB的度数.其中的数学原理是（　　） A．邻补角互补 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．内错角相等 【答案】B 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：根据对顶角相等可知：∠AOB=∠COD； 故答案为：B. 【分析】根据对顶角的性质进行解答即可. 【题型4 垂线的定义】 【例4-1】如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例4-2】．张老师在黑板上画出如图所示的图形（已知，，垂足为），四位同学发表了自己的看法，与是同旁内角；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的距离是线段，其中正确的看法有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；同旁内角的概念 【解析】【解答】解：∠BAC与∠B是直线AC、BC被直线AB所截的一对同旁内角，故∠BAC与∠B是同旁内角角说法正确； 因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC，故AB与AC互相垂直说法正确； 因为AC⊥AB，所以线段AC是点C到线段AB的垂线段，故点C到AB的垂线段是线段AC，说法正确； 因为AD⊥BC于点D，所以线段AD的长是点A到BC的距离，故点A到BC的距离是线段AD，说法错误， 所以正确的说法有三个. 故答案为：B. 【分析】根据同旁内角定义、垂线的定义、垂线段定义及点到直线的距离的定义，一一判断得出答案. 【变式4-1】．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线． （1）试判断OF和OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数． 【答案】（1）解：OF⊥OD，理由如下： 直线AB与CD相交于点O， ∴∠AOE+∠BOE= 180°， ∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线， ∴，， ∴ 即OF⊥OD. （2）解：∵OD是∠BOE的平分线， ∴， ∴∠AOD= 180°－∠BOD=180°－31°=149°. ∴∠EOF=∠DOF－∠EOD=90°－31°=59°. 【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【分析】( 1 )根据邻补角互补得出∠AOE+∠BOE= 180°，再根据角平分线的定义得出∠DOF=90°，即可得证； ( 2 )根据角平分线的定义求出∠BOD，∠EOD的度数，即可求出∠AOD和∠EOF的度数. 【变式4-2】． 如图，点在同一条直线上，分别平分，． （1）试猜想与的位置关系？并说明理由； （2）的补角是　 　． 【答案】（1）解：猜想：． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． （2） 【知识点】垂线的概念；邻补角；补角 【解析】【解答】解：(2)∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的补角是， 故答案为： 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，进而根据角的运算即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，进而即可得到，再根据补角的定义即可求解。 【题型5 垂线的画法】 【例5-1】．．下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的概念；尺规作图-垂线 【解析】【解答】解：∵过点P画直线的垂线， ∴根据垂线的定义可知选项B符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据垂线的定义对每个选项逐一判断即可。 【例5-2】．经过平面内一点P，画∠AOB两边垂线段画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的概念 【解析】【解答】解：观察各选项，过平面内一点P画∠AOB两边垂线段画法正确的是B选项图形． 故选B． 【分析】根据垂线的定义解答即可． 【变式5-1】．．如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D. （1）补全图形（按要求画图）； （2）求的度数： （3）如果，，，求点A到直线的距离. 【答案】（1）解：如图所示， （2）解：∵，CDOA， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∴点A到直线OB的距离是2.4. 【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形的面积 【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）由平行线的性质可推出， 继而得解； （3） 根据求出AC的长，即得结论. 【变式5-2】．如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。 （1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB； ②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC； （2）线段　 　的长度是点C到AB的距离，线段　 　的长度是点A到CE的距离。 【答案】（1）画图如下， 如上图所示 （2）CD；AC 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离 【解析】【解答】（2）由直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，可知线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离. 故答案为：CD，AC. 【分析】（1） ① 利用方格纸的特点及垂直的定义即可找出点D的位置，再连接CD即可； ② 根据三角形的内角和及垂直的定义，只要满足所找的点E满足∠ECD=∠A即可，由AD=2CD，故只要满足CD=2DE，即可得出点E的位置，从而连接CE即可； （2）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，即可得出线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离. 【变式5-3】．按下列要求画图并填空： （1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D　 　，那么点B到直线AC的距离是线段　 　的长. （2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM　 　.那么线段CM是△ABC的　 　 .（保留作图痕迹） 【答案】（1）；BD （2）；边AB的中线 【知识点】垂线的概念；三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度， 故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线， 线段CM是△ABC的边AB的中线， 故答案为：边AB的中线． 【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答． 【变式5-4】．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点. （1）①画出△ABC中AB边上的高CH；（提醒：别忘了标注字母）； ②请画出平移后的△DEF； （2）平移后，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积是　 　. 【答案】（1）如图所示， （2）9 【知识点】垂线的概念；平行四边形的性质；作图﹣平移 【解析】【解答】（2）线段AB扫过的部分所组成的封闭图形即平行四边形 平行四边形 的面积= 【分析】（1） ① 根据三角形高的概念，过点C向AB边所在的直线引垂线，垂足为H，点C与垂足间的线段CH就是所求的△ABC，AB边上的高； ② 将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D ，实质就是将点A向右平移三个单位，再向上平移三个单位，根据平移的性质，B，C也作相同的变换，从而找出B，C的对应点E，F，再顺次连接D、E、F即可得出 平移后的△DEF； （2）根据平移的性质，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形即平行四边形ABED，根据平行四边形的面积计算方法即可算出答案。 【题型6 垂线的性质】 【例6-1】．如图，经过直线I外一点A作I的垂线，能画出（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】D 【知识点】垂线的概念；尺规作图-垂线 【解析】【解答】解：∵过直线I外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴经过直线I外一点A作I的垂线，能画出1条直线. 故答案为：D. 【分析】利用垂线的性质：在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案. 【例6-2】．下列说法正确的有（　　） ①两条直线相交，交点叫垂足； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线； ④在同一平面内，一条线段有无数条垂线； ⑤过一点可以向一条射线或线段所在的直线作垂线； ⑥若 ，则 是 的垂线， 不是 的垂线. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】垂线的概念 【解析】【解答】解：①两条直线相交，交点叫垂足,应当为两直线互相垂直时交点为垂足,故错误；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确;③在同一平面内，一条直线有无数条垂线，故错误；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线，正确；⑤过一点可以向一条射线或线段所在的直线作垂线，正确；⑥若 ，则 是 的垂线， 也是 的垂线，故错误；所以②④⑤正确，共计3个. 故答案为：B. 【分析】利用垂直的定义，可对①⑥作出判断；利用垂线的性质，可对②③④⑤作出判断；，即可单独的正确的个数。 【变式6-1】．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点. （1）①过点P画AB的垂线段PE. ②过点P画CD的垂线，与AB相交于F点. （2）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？ 【答案】（1）解：如图所示. （2）解：在直角△FPO中，PO＜FO， 在直角△PEO中，PE＜PO， ∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短” 【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用 【解析】【分析】（1） ① 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺，让另一条直角边经过点P，然后沿着这边作PE⊥AB于点E，线段PE就是所求的垂线段； ② 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺让直角三角形尺的直角顶点落在点P处，然后沿着这边作PF⊥CD于点P，直线PF就是所求的垂线； （2）根据大边对大角得出， 在直角△FPO中，PO＜FO， 在直角△PEO中，PE＜PO， 从而得出结论，依据就是垂线段最短。 【变式6-2】．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 【题型7 点到直线的距离】 【例7-1】．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．7个 D．0个 【答案】A 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离 【解析】【解答】解： ①∵， ∴，①正确； ②与不互相垂直②错误； ③点C到的垂线段是线段AC，③错误； ④点A到的距离是线段的长度，④正确； ⑤线段的长度是点C到的距离，⑤正确； ⑥线段的长度不是点D到的距离，⑥错误； ∴正确的个数为3个， 故答案为：A 【分析】根据垂直的定义结合点到直线的距离对选项逐一判断即可求解。 【例7-2】．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面结论中正确的有：（　　） ①AC与BC互相垂直； ②CD与AC互相垂直； ③点A到BC的垂线段是BC； ④点C到AB的距离是CD； ⑤线段BC的长度是点B到AC的距离； ⑥线段BC是点B到AC的距离. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离 【解析】【解答】解：∵，，垂足为D，∴①与互相垂直，故①正确； ②与互相垂直，与不垂直，故②错误； ③点A到的垂线段是，故③错误； ④点C到的距离是的长，故④错误； ⑤线段的长度是点B到的距离，故⑤正确； ⑥线段的长是点B到的距离，故⑥错误； 综上分析可得，结论正确的有：①⑤， 故答案为：A． 【分析】根据垂直定义和点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析判定．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为． 【变式7-1】．下列说法中正确的是（　　） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线； ②两个角相等，这两个角是对顶角； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直； ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】C 【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：①应为点到直线的距离是这点到直线所做的垂线段的长度，故本小题错误； ②两个角相等，这两个角不一定是对顶角，故本小题错误； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直，正确； ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中，中垂线段最短，正确； 所以正确的是③④. 故答案为：C. 【分析】对于①，应为点到直线的距离是这点到直线所做的垂线段的长度，故①错误；对于其他选项，根据点到直线的距离的定义，对顶角的性质，垂线段最短的性质对各小题分析判断后利用排除法即可求解. 【变式7-2】．下列说法错误的是（　　） A．两条直线相交，只有一个交点 B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．直线外一点到直线的距离就是这点到直线的垂线段 【答案】D 【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平面中直线位置关系；真命题与假命题 【解析】【解答】解：A．两条直线相交，只有一个交点，不符合题意； B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，不符合题意； C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不符合题意； D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这个点到这条直线的距离，符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。 【变式7-3】．如图所示，三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD⊥BC。则下列说法不正确的是（　　） A．线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的 B．线段AB是点B到直线AD的垂线段 C．点A到直线BC的距离是线段AD的长 D．点C到直线AB的距离是线段AC的长 【答案】B 【知识点】垂线的概念 【解析】【解答】解：A：线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的，故正确，不符合题意； B：线段AB是点B到直线AC的垂线段，故错误，符合题意； C：点A到直线BC的距离是线段AD的长，故正确，不符合题意； D：点C到直线AB的距离是线段AC的长，故正确，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据垂线段最短可判断A的正误；根据点到直线的距离的概念可判断B、C、D的正误. 【变式7-4】．下列语句中： ①有公共顶点且相等的角是对顶角； ②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ③两点之间直线最短； ④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；点到直线的距离；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，所以该说法错误； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以该说法错误； ③两点之间线段最短，所以该说法错误； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以该说法正确； 综上所述：正确的个数有1个， 故答案为：A. 【分析】根据对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短，垂线的判定，对每个语句一一判断即可。 【变式7-5】． 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【解析】【解答】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，A符合题意； B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，B不合题意； C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，C不合题意； D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，D不合题意． 故答案为：A． 【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可。熟知点到直线的距离是解答本题的关键。 【题型8 垂线的有关计算】 【例8-1】下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以　 　， 因为， 所以　 　， 又因为平分， 所以　 　　 　　 　 因为， 所以， 则　 　　 　　 　 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 【答案】；；；；；；； 【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵， ∴ 90°， ∵ ∴∠EOF=∠EOC-COF=90°-38°=52°， ∵平分， ∴∠AOF=∠EOF=52°， ∵， ∴， ∴∠BOD=∠AOC=14°. 故答案为： 90°，52°，AOF，EOF，52°，BOD，AOC，14°. 【分析】由垂直的定义可得 90°，从而求出∠EOF=∠EOC-COF=52°，由角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF=52°，利用角的计算求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等即可求解. 【例8-2】．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的概念；邻补角 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据垂线定义可求得∠COE=90°，进而根据∠AOC=∠COE-∠AOE求得∠AOC的度数，再根据邻补角可求出∠BOC的度数． 【变式8-1】．如图，在内部作，平分，若，则　 　． 【答案】 【知识点】垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠AOB=130°，OD平分∠AOB， ∴∠BOD=∠AOB=65°， ∵OC⊥OB， ∴∠BOC=90°， ∴∠COD=90°-∠BOD=25°， 故答案为：25°． 【分析】由角平分线的性质得∠BOD=∠AOB=65°，根据垂直定义知∠BOC=90°，由∠COD=90°-∠BOD可得答案. 【变式8-2】．如图，点O是直线AB上一点，OC⊥OD，OM是∠BOD的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，则∠MON的度数是　 　°． 【答案】135 【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【解答】∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°， ∵OM是∠BOD的角平分线，ON是∠AOC的角平分线， ∴∠CON＝∠AON= ∠AOC，∠BOM＝∠DOM= ∠BOD， ∴∠AON+∠BOM= （∠AOC+∠BOD）= ×90°=45°， ∴∠MON＝180°﹣（∠AON+∠BOM）＝180°﹣45°＝135°， 故答案为135 【分析】根据角平分线定义及垂直的定义得出∠AON+∠BOM=45°，代入∠MON=180°-（∠AON-∠BOM）求出即可． 【变式8-3】 如图，直线相交于点O，平分． （1）若于点O，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：∵，， ， 平分， ． 【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）先由垂直定义求出，再利用对顶角的性质及角平分线定义求出即可； （2）先利用角的运算求出，再利用角平分线定义及对顶角相等求出即可. 【变式8-3】． 如图，点在直线上，，射线在内部． （1）如图1，当时，用量角器画出射线，求度数： （2）如图2，当时，，垂足为点，求度数． 【答案】（1）解：如图1，射线即为所画的射线， ，， ， （2）解：如图2，当在上方时， ， ， ， 如图3，当在下方时， ， ， ， ． 综上所述：或． 【知识点】垂线的概念；邻补角；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOD=20°，再利用邻补角的定义即可求解； （2）分两种情况：当在上方时和当在下方时，据此分别画出图形，利用垂直的定义及平角的定义进行解答即可. 【题型9 垂线的性质的实际应用】 【例9-1】．如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：由题意，将公路看作直线，图中，他选择P→C路线， ∵ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴应选择P→C路线. 故答案为：B. 【分析】根据垂线的性质"垂线段最短"即可求解． 【例9-2】．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是　 　． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 【分析】根据"垂线段最短"即可求解． 【变式9-1】．如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．D处 B．C处 C．B处 D．A处 【答案】C 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：C． 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【变式9-2】．我区年八年级“国家体质健康测试”中，立定跳远为必测项目，如图为测量立定跳远成绩的示意图，其依据的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：测量立定跳远成绩的依据是：垂线段最短， 故答案为：C． 【分析】根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，据此进行解答即可． 【变式9-3】．如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是(　　) A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离B. C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短， 故答案为：D． 【分析】 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答。 【变式9-4】．如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 ，理由是　 　． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：∵PN⊥MN， ∴由垂线段最短可知PN是最短的， 故答案为：垂线段最短． 【分析】根据垂线段最短得出答案。 【题型10 同位角、内错角、同旁内角的识别】 【例10-1】．如图，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角的概念 【解析】【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； B、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； D、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用同位角的定义，直接分析得出即可． 【例10-2】．如图，与∠1构成同位角的是　 　，与∠2构成同旁内角的是　 　． 【答案】∠B；∠1 【知识点】同位角的概念；同旁内角的概念 【解析】【解答】解：如图： 与∠1是同位角的是∠B， 与∠2是同旁内角的是∠1． 故答案为：∠B，∠1． 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 分别进行分析． 【变式10-1】．如图，AB、CD被DE所截，则∠D的同位角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】A 【知识点】同位角的概念 【解析】【解答】解：如图，、被所截， 和在和的上方，在的同一侧 的同位角是 故答案为：A． 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，处于载线的同旁同位的角，据此判断即可． 【变式10-2】． 图中有几对同位角? 几对内错角? 几对同旁内角? 把它们分别写出来. 【答案】解：2对同位角：∠ABG与∠DEG，∠CBG与∠FEG； 2对内错角：∠ABE与∠BEF；∠CBE与∠DEB； 2对同旁内角：∠ABE与∠DEB；∠CBE与∠BEF. 【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念 【解析】【分析】两条直线被第三条直线所截，在被截线内侧，截线两侧的两个角叫内错角；在被截线同侧，截线同侧的两个角叫同位角；在被截线内侧，截线同侧的两个角叫同旁内角. 【变式10-3】．如图所示， （1） 和 是 　 　， 　 　被　 　所截得的　 　角； （2） 和 　 　是 被　 　所截得的内错角； （3） 　 　和 　 　是 被 所截而成的同旁内角； （4） 　 　和 　 　是 被 所截得的内错角． 【答案】（1）；；；同位 （2）； （3）； （4）；​​​​​​​ 【知识点】同位角、内错角与同旁内角 【解析】【解答】解：（1）根据图形可得： 和 是DE和CB被AC所截得的同位角； 故答案为：DE；CB；AC；同位角； （2）∠DEB和∠EBC是DE，BC被DE所截得的内错角； 故答案为：EBC；DE； （3）∠DEC和∠ECB是DE，BC被AC所截而成的同旁内角； 故答案为：DEC；ECB； （4）∠ABE和∠EBC是AB，AC被BE所截得的内错角； 故答案为：ABE；EBC. 【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧且夹在两条被截直线之间）及同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截线之内的两角）逐项分析判断即可. 【变式10-4】．如图，直线CD与∠AOB的边OB相交． （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角。 （2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？为什么？ 【答案】（1）解：∠1与∠4是同位角；∠1 与∠2是内错角；∠1与∠5是同旁内角 （2）解：如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1 与∠5互补. 理由如下：∵∠1=∠4，∠2=∠4，∠4+∠5=180°， ∴∠1=∠2，∠1+∠5=180° 【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念 【解析】【分析】 （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角定义容易得出结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$