第07讲 平行四边形的性质与判定（5个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第07讲 平行四边形的性质与判定（4个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型八 证明四边形是平行四边形 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型十一 平行四边形性质和判定的应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【核心考点一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【例3】（23-24八年级下·上海·期中）已知在平行四边形中，，与的平分线交边分别于、两点，则 ． 【例4】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么 ． 【例5】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O， AC⊥AB， AC＝8，BD ＝10，求ABCD的周长和面积． 【例6】（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【核心考点二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海宝山·期末）在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为 ． 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则 ． 【例5】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形，、在直线上，且，求证．    【例6】（23-24·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【核心考点三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，已知中，边上的高，则的面积是 ，边上的高的长是 ． 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【例6】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、P、Q均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD； (2)在图②中以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN． 【核心考点四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在四边形中，是对角线，，添加一个条件，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【例2】（2024·上海·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海金山·期中）在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【例4】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则四边形是平行四边形的理由是 ．    【例5】（23-24八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，点，点C，D的坐标分别为，，． (1)求点A的坐标； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【例6】（23-24·上海·模拟预测）如图，点P是△ABC外一点． (1)尺规作图：求作△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于点P成中心对称（点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'；要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，以已有顶点为顶点，任意写出一个四边形是平行四边形，并说明理由． 【核心考点五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）四边形中，，添加一个条件 ，可得四边形成为平行四边形． 【例4】（23-24·上海徐汇·一模）如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【核心考点六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【例2】（23-24八年级下·上海虹口·期中）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些 ． 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【例6】（23-24八年级下·上海虹口·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【核心考点七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作(　　) A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24·河南·二模）如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（    ） A．28个 B．42个 C．21个 D．56个 【例3】（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ． 【例4】（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．    【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【例6】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－3，4）、B（－7，1）、C（－2，1）． (1)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标：______； (2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标；______； (3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标；______； 【核心考点八 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24·河北·模拟预测）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取；    （3）连接，，则四边形即为所求．    在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【例3】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 【例4】（23-24·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【例5】（23-24八年级下·宁夏银川·期末）如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 【例6】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 【核心考点九 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（23-24八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，，，则ABCD的面积为 ． 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离等于 cm． 【例5】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，四边形中，，，对角线相交于点，若，的周长与的周长相差，求四边形的周长． 【例6】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，以的三边为边，在的同一侧分别作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)若，求的度数． 【核心考点十 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．①② D．②③ 【例2】（23-24八年级下·河北保定·期中）图1，在平行四边形中，是锐角，在边和上找点E、F，使四边形是平行四边形，现图2中有甲、乙两种方案，则说法正确的是（    ）    A．方案甲正确 B．方案乙正确 C．方案甲和乙均正确 D．两方案均不正确 【例3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【例4】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，点H、K在边上，且，，，设，，则x、y的大小关系是 . 【例5】（23-24八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【例6】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） (1)求证：是等边三角形； (2)如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 【核心考点十一 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【例3】（23-24八年级下·上海·阶段练习）平行四边形的一个内角比它相邻的内角小，则这个内角分别为 和 ． 【例4】（23-24·上海虹口·二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ． 【例5】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【例6】（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【变式训练1 利用平行四边形的性质求解】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，边上的高为4，，，则平行四边形的周长是（    ） A．12或20 B．12或16 C．16或20 D．14或20 2．（2024八年级下·上海·专题练习）过平行四边形的对角线交点作直线，分别交直线、于点、，，如果，那么的长是 ．（用含有的代数式表示） 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在直角坐标平面内，的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点A、B坐标分别为，． (1)求点C、D的坐标； (2)求的周长． 【变式训练2 利用平行四边形的性质证明】 1．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【变式训练3 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 2．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为 m2． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【变式训练4 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．，   2．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 3．（23-24·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． (1)求证：AO＝EO； (2)若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 【变式训练5 添一个条件成为平行四边形】 1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）以下是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） ； 四边形是平行四边形 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 3．（23-24·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【变式训练6 数图形中平行四边形的个数】 1．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【变式训练7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 【变式训练8 证明四边形是平行四边形】 1．（2024·河北石家庄·二模）某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ）        A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 2．（23-24·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    3．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【变式训练9 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（   ）    A．13 B．21 C．26 D．52 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论． 【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ． 【变式训练10 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，是边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：． 【变式训练11 平行四边形性质和判定的应用】 1．（23-24八年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列命题错误的是（    ） A．一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形 B．一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形 C．一组对角相等且这一组对角的顶点连接的对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形 D．一组对边相等一组对角相等的四边形不一定是平行四边形 2．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 5．（23-24·河南平顶山·二模）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（　　） A．3 B．4 C．14 D．18 6．（23-24八年级下·上海·期中）在平行四边形中，，，，为边上的高，将沿所在直线翻折后得，那么与四边形重叠部分的面积是 ． 7．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在平行四边形中，E在上，，F在上，，如果的面积为2，则平行四边形的面积是 ．    8．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    9．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 10．（23-24·江苏·模拟预测）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    11．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 12．（23-24·江苏镇江·模拟预测）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 13．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行四边形的性质与判定（4个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型八 证明四边形是平行四边形 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型十一 平行四边形性质和判定的应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【核心考点一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的性质及平行四边形的判定逐项判定即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ； ； A、当，则一组对边平行，另一组对边相等，此时无法判断是平行四边形；故选项不符合题意； B、， ； ， ； , 四边形一定是平行四边形； 故选项B符合题意； C、当时，则可得四边形一定是平行四边形； 但当时，四边形不可能是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则， 而，则，这与假设矛盾， 故四边形不可能是平行四边形； 故选项不符合题意； D、若， ， ； ； 由于无法知晓与或是否垂直，故无法判断与是否平行， 故选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定，先证，则，同理可证，进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ∴， ， 同理可证：， ． 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·上海·期中）已知在平行四边形中，，与的平分线交边分别于、两点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．设，，由平行四边形中，利用平行线的性质和角平分线的定义证得与是等腰三角形，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵与的平分线分别交分别于、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ∴ 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【例5】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O， AC⊥AB， AC＝8，BD ＝10，求ABCD的周长和面积． 【答案】周长为6+2，面积为24． 【分析】由平行四边形的性质得出OA=AC=4，OB=BD=5，由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出BC，即可得出四边形ABCD的周长和面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=AC=4，OB=BD=5， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO=90°， 在RtΔAOB中， AB2+OA2=OB2， AB==3， 在RtΔAOB中 BC==， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=3，AD=BC= ， ∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=6+2， ∴▱ABCD的面积=AB⋅AC=3×8=24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形周长和面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【例6】（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，再点是的中点，得出，又，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 【核心考点二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质容易得出结论． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD， ∴、、， ∴选项A、B、D正确，不符合题意， ∴选项C错误，符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解决问题的关键． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， 与不一定垂直，与不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意； 四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， 故C符合题意； 与不一定相等， 与不一定相等， 故D不符合题意， 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·上海宝山·期末）在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的，分类讨论，当角平分线与相交；当角平分线与不相交；图形结合分析，即可求解． 【详解】解：①如图所示，角平分线与相交于点，      ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， 同理可得，是等腰三角形，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵， ∴，且， ∴，即； ②如图所示，角平分线与不相交，    证明方法同上，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交于点E， ， ， ， 故答案为：4． 【例5】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形，、在直线上，且，求证．    【答案】见详解 【分析】先证明，从而得到，最后根据内错角相等证得． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和平行直线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和平行直线的判定方法． 【例6】（23-24·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解． (2)13 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识， （1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论． （2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形． ∴，，． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）过点A作，垂足为H，如图： 由（1）知，且，， ∴， ． ∵， ∴， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【核心考点三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，已知中，边上的高，则的面积是 ，边上的高的长是 ． 【答案】 12， 3. 【分析】用BC×AE可求平行四边形的面积，再借助面积12=CD×AF可求AF． 【详解】解：根据平行四边形的面积=底×高，可得 BC×AE=6×2=12； 则CD×AF=12，即4×AF=12， 所以AF=3． 故答案为12，3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，面积法求解平行四边形的高或某边长是解决此类问题常用的方法． 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【答案】见解析 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 【例6】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、P、Q均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD； (2)在图②中以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由高为3面积为6可得底为2，据此作底为2，高为3的平行四边形即可． （2）由高为3面积为9可得底为3，据此作底为3，高为3的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图所示，平行四边形ABCD即为所要求画的； （2）解：如图所示，平行四边形PMQN即为所要求画的． 【点睛】本题考查网格作图，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质． 【核心考点四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在四边形中，是对角线，，添加一个条件，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、已知，若，即可证明四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以A能判定四边形为平行四边形； B、根据题意若，不能进一步得到，所以不能判定四边形为平行四边形． C、已知，若，即，，所以，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以C能判定四边形为平行四边． D、已知，若，即，所以，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D能判定四边形为平行四边． 故选：B． 【例2】（2024·上海·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A，B中的条件都只能证得，不能判定四边形是平行四边形．选项C中的条件，不能判定四边形是平行四边形．对于选项D提供两组对边分别平行，能判定四边形为平行四边形，本题考查了平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形． ∵ ∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形． 选项C不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 故选：D 【例3】（23-24八年级下·上海金山·期中）在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【答案】①④（答案为唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行组合判断． 【详解】解：①④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ①②组合，不能判定四边形判定平行四边形； ①③组合，∵，∴， ∵， ∴， ∴， 从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形是平行四边形； ③④组合不能判定四边形判定平行四边形； 故答案为：①④（答案为唯一）． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【例4】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则四边形是平行四边形的理由是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，得出，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，点，点C，D的坐标分别为，，． (1)求点A的坐标； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据与x轴相交时，纵坐标为0，求出点A的横坐标，便得到答案． （2）根据各点的坐标求出和的数量和位置关系来证明． 【详解】（1）解：∵直线相交于x轴， ∴点A的纵坐标为0， ∴点A的横坐标：，即， ∴点A的坐标：． （2）把点代入中， 得到：， 即点B的纵坐标表示为， 又∵点C的纵坐标为，点D在x的正半轴上， ， 在四边形中， ， ， 由，得到， ， 即：平行且等于， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及求函数值或自变量的值，平行四边形的判定，根据已知条件判断出是解答本题的关键． 【例6】（23-24·上海·模拟预测）如图，点P是△ABC外一点． (1)尺规作图：求作△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于点P成中心对称（点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'；要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，以已有顶点为顶点，任意写出一个四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）作射线AP，在射线AP上截取PA′＝PA，同样方法作出B′、C′，从而得到△A'B'C'； （2）利用中心对称的性质得到PA＝PA′，PC＝PC′，则可判断四边形ACA′C′为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，△A'B'C'为所作； （2）如图，四边形ACA′C′为平行四边形． 理由如下： ∵△A'B'C'与△ABC关于点P成中心对称， ∵PA＝PA′，PC＝PC′， ∴四边形ACA′C′为平行四边形 【点睛】本题考查了作图一复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定． 【核心考点五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当时，不能推出四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）四边形中，，添加一个条件 ，可得四边形成为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】添加条件为：，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（23-24·上海徐汇·一模）如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：添加：，理由如下： 连接交于点，如图，   四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题． 【详解】①或②． 添加①BE＝DF，理由如下： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AE∥CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键． （1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可； （2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可； （3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作； （2）解：如图，四边形即为所求作； （3）解：如图，四边形即为所求作． 【核心考点六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【例2】（23-24八年级下·上海虹口·期中）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC,△ACE,△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些 ． 【答案】平行四边形ABCE，平行四边形ACDE 【详解】∵∠B=60°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+60°=120°， ∴AE∥BD， ∵AE=BC=CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为:ABCE，ACDE． 点睛：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 【答案】9 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AD,GH∥AB, ∴,. 所以是平行四边形的有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO； ▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个. 故答案为:9. 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】答案见解析 【分析】第一种：可画为平行四边形EFGH，第二种：可画为平行四边形DEBG． 【详解】如图所示 　　　　 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和学生的动手操作能力，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 【例6】（23-24八年级下·上海虹口·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【核心考点七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作(　　) A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，不能作形状不同的平行四边形； ②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA， 分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：ACBD，ACEB，ABCF； 综上所述，可以作0个或3个平行四边形， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解． 【例2】（23-24·河南·二模）如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（    ） A．28个 B．42个 C．21个 D．56个 【答案】B 【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1＋2＋3＋…＋n−2）个，据此可得． 【详解】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个， 在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个， 在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个， …… ∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1＋2＋3＋…＋n−2）个． 【例3】（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3) 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 【详解】解：如图， 以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1； 以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2； 以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3； ∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）， 故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）． 【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键． 【例4】（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．    【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5） 【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）．注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况． 【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；    ②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；    ③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；    【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【例6】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－3，4）、B（－7，1）、C（－2，1）． (1)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标：______； (2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标；______； (3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标；______； 【答案】(1)△，如图所示，（3，﹣4）； (2)如图所示，P（4，3）； (3)（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作出点A的对应点P即可解决问题． （3）分三种情形，画出图形，写出坐标即可． 【详解】（1）解：△ ，如图所示，（3，﹣4）； 故答案为：（3，-4）， （2）如图所示，P（4，3）； 故答案为：（4，3）， （3）满足条件的点D的坐标为（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）． 故答案为：（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）． 【点睛】本题考查旋转变换作图，平行四边形的判定等，解题的关键是熟练掌握旋转的基本作图方法． 【核心考点八 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义以及性质，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了． 【详解】解：只有两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：． 【例2】（23-24·河北·模拟预测）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取；    （3）连接，，则四边形即为所求．    在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 【例3】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案． 【详解】解：∵四边形中，的长度之比是， ∴， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【例4】（23-24·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·宁夏银川·期末）如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由证明，得到，证出，即可得出结论． 【详解】证明：点是的中点， ； 在与中，， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． 【例6】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．先利用等边三角形性质及手拉手全等模型分别证和，即判断四边形为平行四边形． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在与中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理可证， ， 四边形是平行四边形． 【核心考点九 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定，对命题进行判断，即可． 【详解】①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②正确； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故③错误； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不能判定四边形是平行四边形，故④错误；∴正确的命题为：①②． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定． 【例2】（23-24八年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【答案】C 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，，，则ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】作OE⊥AD交AD于点E，利用勾股定理求出AD，即可求出，由此即可求得ABCD的面积． 【详解】解：作OE⊥AD交AD于点E，如图， ∵，， ∴OE=， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，OE=4，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴AD=， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形面积的求法，勾股定理的应用，准确做出辅助线是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离等于 cm． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质． 【详解】解：设CD与交于点H，AC与交于点G， 由平移的性质知，与CD平行且相等，∠AC＝45°，∠DH＝∠DH＝45°， ∴△DH是等腰直角三角形，D＝DH，四边形GCH是平行四边形， ∵SA′GCH＝HC•C＝（CD﹣DH）•DH＝1cm2， ∴DH＝D＝1cm， ∴A＝AD﹣D＝1cm． 故答案为：1． 【点睛】本题需要运用等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质结合求解．注意平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【例5】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，四边形中，，，对角线相交于点，若，的周长与的周长相差，求四边形的周长． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先证明四边形为平行四边形，根据周长差求出的长，即可求出四边形的周长 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵的周长与的周长相差， ∴，或， ∴，或， ∴四边形的周长为或． 【例6】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，以的三边为边，在的同一侧分别作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)若，求的度数． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质推出，求出，证，推出，同理得出，即可得出结论． （2）先根据等边三角形的性质，得出，结合周角概念列式，得出，根据平行四边形的性质，即可作答． 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下： 、、都是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 同理， 四边形是平行四边形． （2）解：∵都是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形． ∴． 【核心考点十 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论： ①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故③符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故①、④不符合题意，②符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·河北保定·期中）图1，在平行四边形中，是锐角，在边和上找点E、F，使四边形是平行四边形，现图2中有甲、乙两种方案，则说法正确的是（    ）    A．方案甲正确 B．方案乙正确 C．方案甲和乙均正确 D．两方案均不正确 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和判定证明即可． 【详解】甲：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴方案甲正确； 乙：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，即 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， ∴方案乙正确， 综上所述，方案甲和乙均正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【例4】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，点H、K在边上，且，，，设，，则x、y的大小关系是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明，，，，，，然后相加即可得出． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理可得：，，，， ∴ ， 即． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 【例6】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） (1)求证：是等边三角形； (2)如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），过点C作轴，交于点D，根据题意可知，再根据勾股定理求出，然后求出，可得结论； 对于（2），作，可知四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】（1）如图所示，过点C作轴，交于点D， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （2）过点D作，交于点F，过点C作于点G，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵轴， ∴轴. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线将两条线段的差转化为一条线段是解题的关键． 【核心考点十一 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·上海·阶段练习）平行四边形的一个内角比它相邻的内角小，则这个内角分别为 和 ． 【答案】 【分析】设这个内角为x°，另一个内角为，根据题意列方程求解即可． 【详解】设这个内角为x°，另一个内角为，由题意可得 解得 则 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【例4】（23-24·上海虹口·二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ． 【答案】． 【分析】根据变形前后底边不变，可根据面积算的变形后的平行四边形的高.根据题意，变形度即为求∠B1的余弦，及转化为求B1D的长度，利用勾股定理可求得B1D，最终求得. 【详解】过A1作A1D⊥B1C1， 设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h， ∴ab＝5，3＝ah， ∴b＝，h＝， ∴B1D＝， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形与矩形的性质，勾股定理，三角函数的求法，解决本题的关键即为求变形后平行四边形的高，即可解题. 【例5】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 【例6】（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【答案】见解析 【分析】可以先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边都为2的直角三角形；可以先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可． 【详解】解：如图1，先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形； 如图2，先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形； 如图3，以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形； 【点睛】此题主要考查对平行四边形与三角形之间关系的灵活掌握，理解性质是解决这个问题的关键． 【变式训练1 利用平行四边形的性质求解】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，边上的高为4，，，则平行四边形的周长是（    ） A．12或20 B．12或16 C．16或20 D．14或20 【答案】A 【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：①如图1所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的周长等于20； ②如图2所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的周长等于：， 则的周长等于20或12， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）过平行四边形的对角线交点作直线，分别交直线、于点、，，如果，那么的长是 ．（用含有的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．根据直线分别交直线、于点、，，可知点可能在的延长线上或点在的延长线上．因此，需要分两种情况讨论．再依据全等三角形的对应边相等，即可得到的长． 【详解】解：分两种情况： ①如图1所示，当点在的延长线上时，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； ②如图2所示，当点在的延长线上时，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在直角坐标平面内，的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点A、B坐标分别为，． (1)求点C、D的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形，结合已知即可求得点C、D的坐标； （2）由勾股定理可求得的长度，即可求得平行四边形的周长． 【详解】（1）解：的对角线的交点正好与坐标原点重合，且平行四边形是中心对称图形， 关于原点对称，关于原点对称， ； （2）解：， 由勾股定理得：， 的周长为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，勾股定理． 【变式训练2 利用平行四边形的性质证明】 1．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C． 【详解】解：A正确； ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2； B、D正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠1=∠2； C不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1=∠BCE， ∵∠2=∠CBE+∠BCE， ∴∠2=∠CBE+∠1， ∴∠2＞∠1，即一定不相等； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    【答案】30 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 【变式训练3 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 【详解】∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为 m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式训练4 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意；     B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意；     D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 2．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 3．（23-24·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． (1)求证：AO＝EO； (2)若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）△AOB≌△EOB，即可得到结论； （2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=AB，根据垂直平分线的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AD=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO=∠EBO， ∵AE⊥BD， ∴∠AOB=∠EOB=90°， ∵BO=BO， ∴△AOB≌△EOB， ∴AO=EO； （2）平行四边形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠BCD， ∵∠ABD=∠EBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AD=AB， ∵OA=OE，OB⊥AE， ∴AB=BE， ∴AD=BE， ∵BE=CE， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴AD=EC， ∵AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形． 【点睛】考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【变式训练5 添一个条件成为平行四边形】 1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）以下是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） ； 四边形是平行四边形 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，即可求解． 【详解】解：， ， ； 四边形是平行四边形，故嘉嘉的说法正确； ， ， ； 四边形是平行四边形，故淇淇的说法正确； 即两人的都正确． 故选：C 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 3．（23-24·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【答案】①，见解析 【分析】若，结合平行线的性质，证得则AB=CD，即可证明； 【详解】解：若，四边形是平行四边形； 证明：， ，， 又， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①. 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定；掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． 【变式训练6 数图形中平行四边形的个数】 1．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出且，且，所以得到3个平行四边形． 【详解】解：已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点， ∴CF=AF ,AD=BD =,CE=BE= , 且，且， 四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 【答案】9 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AD,GH∥AB, ∴,. 所以是平行四边形的有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO； ▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个. 故答案为:9. 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】答案见解析 【分析】第一种：可画为平行四边形EFGH，第二种：可画为平行四边形DEBG． 【详解】如图所示 　　　　 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和学生的动手操作能力，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 【变式训练7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 【答案】②③ 【分析】每个玻璃都含有两个边，想让两块玻璃配成平行四边形，需要满足两个条件； 　　 （1）需要其中一块玻璃包含的边与另外一个玻璃两个边形成对边且相互平行． （2）这两块玻璃是连在一起的． 运用到的是平行线的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故答案为：②③． 【点睛】本题是道所学知识与生活相联系的题，涉及到平行四边形的判定定理，要求对平行四边形判定定理透彻理解并且灵活运用． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形； （2）根据图像得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求； （2）由图可知：满足条件的点的坐标或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练8 证明四边形是平行四边形】 1．（2024·河北石家庄·二模）某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ）        A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， 根据题意证明出四边形是平行四边形，进而得到． 【详解】根据作图可得，， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴可以直接判定两直线平行的依据是平行四边形的性质． 故选：D． 2．（23-24·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知是边中点，再证明，得即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练9 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（   ）    A．13 B．21 C．26 D．52 【答案】C 【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点， ∴，， ，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    【答案】/90厘米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， ∵为水平线， ∴， ∵，， ∴， ∴为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论． 【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ． 【答案】问题探究：为等边三角形；理由见解析；结论应用：22 【分析】问题探究：根据，得出，，证明，即可证明结论； 结论应用：延长，交于点H，根据等边三角形的性质得出，，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：问题探究：为等边三角形．理由如下： ∵六边形的六个内角均为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 延长，交于点H，如图所示： 根据问题探究可知，、都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴六边形的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，邻补角的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定方法． 【变式训练10 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，是边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的四个部分．先根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的性质推得后可证四边形是平行四边形，得出后可证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的四个部分即可求解． 【详解】解：连接， 中，，， ， 是中点， ， 和中， ， ， ， 即， 即四边形是平行四边形， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 【答案】②③①④ 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，即，则可证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】证明：延长到点F，使，连接， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：②③①④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ，， 四边形是平行四边形． ． 【变式训练11 平行四边形性质和判定的应用】 1．（23-24八年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【答案】C 【分析】构造四边形FEPP′为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 【详解】作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， ∴四边形FEPP′为平行四边形，∴P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故选：C． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是构造平行四边形． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【答案】见解析 【分析】可以先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边都为2的直角三角形；可以先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可． 【详解】解：如图1，先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形； 如图2，先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形； 如图3，以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形； 【点睛】此题主要考查对平行四边形与三角形之间关系的灵活掌握，理解性质是解决这个问题的关键． 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列命题错误的是（    ） A．一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形 B．一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形 C．一组对角相等且这一组对角的顶点连接的对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形 D．一组对边相等一组对角相等的四边形不一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据所给的每一个命题进行推导，看是否符合平行四边形的判定定理：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 【详解】A、一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，但不能证明另一组对边也相等或平行，故该命题正确； B、一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是四边形，能证明另一组对角也相等，故该命题错误； C、一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，不能证明另一组对角也相等，故该命题正确； D、一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故该命题正确； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 4．（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作交的延长线于点E，当时，可证出，在中可得出，进而可得出，据此即可得①错误，如图，设，交于点O，利用勾股定理可得，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 5．（23-24·河南平顶山·二模）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（　　） A．3 B．4 C．14 D．18 【答案】A 【分析】由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解． 【详解】解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4， 过点B作BH⊥DC于点H， 设CH=x，则DH=8-x， 则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2， 解得： 则：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 6．（23-24八年级下·上海·期中）在平行四边形中，，，，为边上的高，将沿所在直线翻折后得，那么与四边形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识． 由折叠特点可知，则，设与相交于点P，根据平行四边形的性质推出为等腰直角三角形，与四边形重叠部分的面积是与的面积之差． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据沿直线折叠特点，， ∴， 在中，，，则，， ， ， 设与相交于点P， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴为等腰直角三角形，底边，高为， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在平行四边形中，E在上，，F在上，，如果的面积为2，则平行四边形的面积是 ．    【答案】9 【分析】由线段之间的关系分别求出几个小三角形的面积的关系，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，根据题意得出三角形面积之间的关系是解题的关键． 8．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理； 连接交于O，证明四边形是平行四边形，求出，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】解：如图，连接交于O．   ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ，，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴在中，． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交，于两点为，，连接与相交于一点O， ∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形， ∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，， ∴，， 则的面积， 故答案为：1． 10．（23-24·江苏·模拟预测）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：    由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， 故， ∵点M与点B、C不重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键． 11．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，点E，F分别在平行四边形的边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24·江苏镇江·模拟预测）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． （2）如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；点的坐标为 (2) (3)，， ． 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一次函数和平行四边形的判定的综合运用． （1）利用待定系数法求出直线的表达式． （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与x轴，y轴分别相交于点、点， ∴， 解得，， 即：直线的表达式为． 由中点坐标公式得，，即； （2）解：如图1， ∵，）， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F，设， ∴，， ∴， ∴． （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴，， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得，， ∴直线的表达式可设为为， 当时，， ∴， 设， ∴①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴ ， 故符合条件的点的坐标为， ． 14．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 【答案】(1)①②④ (2)①（答案不唯一），见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）解：选择①，，、为垂足； 证明：∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析，；②7 【分析】（1）由四边形是平行四边形，对角线相交于点，得，从而得到，即可证明出，同理可证明出，，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案； （2）根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可； 由四边形是平行四边形得，由四边形为平行四边形，得，从而可得，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积为． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点， ， ， 在和中 ， ， 同理可得，， ，，， ，， ， 即四边形的面积与四边形的面积之比为， 故答案为：； （2）根据（1）中的结论画出图如图所示，      平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于，直线与相交于， 其中，， ， 即； 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 同理可得，四边形、四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 三角形的面积为7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强． 学科网（北京）股份有限公司 $$