第06讲 多边形（2个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第06讲 多边形（2个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 多边形的周长 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形内角和问题 题型八 正多边形的内角问题 题型九 多（少）算一个角问题 题型十 多边形截角后的内角和问题 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和综合 题型十四 平面镶嵌 知识点01 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【核心考点一 多边形的概念与分类】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 根据正多边形的定义依次判定各项后即可解答． 【详解】解：直角三角形，长方形，圆不是正多边形，正方形是正多边形． 故选：B． 【例2】（2024八年级下·上海·专题练习）下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形． 【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形， ∴是多边形，共个， 故选：． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴ 解得：， 答：白皮20块，黑皮12块． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 【核心考点二 多边形截角后的边数问题】 【例1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【例3】（23-24八年级下·上海长宁·期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角． 【答案】3或4或5． 【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变． 【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角， 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【核心考点三 多边形的周长】 【例1】（23-24八年级下·上海静安·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【答案】B 【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可． 【详解】由图形可得出： 该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm）， 故该主板的周长是96mm， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 【例4】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 【例5】（2024·上海嘉定·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)12， (2)随的增大而增大 (3)围成圆形时面积最大，最大面积 【分析】本题考考查多边形的面积和周长，圆的面积和周长； （1）根据正方形的面积，求出周长即可得到，再求出正六边形的周长和面积即可； （2）根据函数图像直接得到答案； （3）根据题意，线段围成圆形时面积最大，进而即可求解 【详解】（1）解：当时，图形为正方形，此时面积为， ∴正方形的边长为，周长为，即， 当时，图形为正六边形，边长为，面积= 故答案为：12，； （2）由函数图像可知：随的增大而增大； （3）线段围成圆形时面积最大． 由得圆的半径， 所以圆的面积． 【核心考点四 网格中多边形面积比较】 【例1】（2024·上海闵行·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为(　　) A．7 B．10 C． D．8 【答案】A 【分析】利用分割法即可解决问题. 【详解】解：S四边形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7， 故选A． 【点睛】本题考查了四边形的面积和网格问题，利用图形得出各边长度是解题关键． 【例2】（23-24八年级·上海·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键 【例3】（23-24八年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 【例4】（2024·上海嘉定·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，小正方形边长为1．求： (1)四边形的周长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了勾股定理和方格问题； （1）利用勾股定理分别求出，，，，然后相加即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）解：， ， ， ∴四边形的周长为： ； （2）解：， 答：四边形的面积为18． 【核心考点五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得的值． 【详解】解：∵边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形， ， 解得：． ∴这个多边形是九边形． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数，根据多边形多角线的条数的变化特点的得出规律，即可得出答案． 【详解】四边形的对角线有（条）； 五边形的对角线有（条）； 六边形的对角线有（条）， 可知十边形的对角线有（条）． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·上海·阶段练习）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是 边形． 【答案】六 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形的对角线求得其边数即可． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点可引对角线3条， ∴这个多边形的边数为（条）， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【答案】180 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，边形的对角线条数为，据此列式求解即可． 【详解】解：条， ∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 【核心考点六 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的性质，根据从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形，正确理解多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形， ∴十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（个）， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多边形的性质，三角形内角和定理．掌握从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，可以把n边形分为个三角形是解题关键．根据三角形内角和定理可得出分割得到的三角形有6个，进而根据多边形的性质得出该多边形为6边形． 【详解】解：由题意可知分割得到的三角形有个， ∵从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，可以构成个个三角形， ∴该多边形的边数是． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得． 故这个多边形的边数是2027． 故答案为：2027． 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 【答案】 2022 【分析】本题考查了对边形对角线分成三角形的个数的问题，由图形得出从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形，即可得解． 【详解】解：从题图中可以得出， 从四边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成2个三角形， 从五边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成3个三角形， 从六边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成4个三角形， ……， 从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形， 当时，． 故答案为：2022，． 【例5】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 【核心考点七 多边形内角和问题】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和．根据多边形的内角和公式解答即可． 【详解】解：六边形的内角和为． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵的平分线在五边形内相交于点P， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·上海·期末）一个边形的所有内角和等于，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和为是解题的关键．已知边形的内角和为，根据多边形内角和的公式求解，即可解题． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：5． 【例4】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图， ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，连接，设交于点，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点   在和中，， ， ． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·河北唐山·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可； （2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：理由：设多边形的边数为n． ， 解得． ∵n为正整数， ∴多边形内角和不可能为； （2）解：， 依题意：该多边形的边数为10， ， 故该多边形的内角和为. 【核心考点八 正多边形的内角问题】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，由6个各边相等、各内角也相等的九边形拼接成一个美丽的图案，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内角和定理，掌握正多边形的性质，多边形内角和定理的运用是解题的关键． 根据正多边形内角和公式可得正九边形的每个内角的度数，即，根据周角的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴图形九边形的每个内角都等于，即， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图2所示的正五边形，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质．根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等，每个边都相等，可得，，再根据等腰三角形性质即可求得． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， 故选：． 【例3】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积．正十二边形的内角和为 ． 【答案】/1800度 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴正十二边形的内角和等于． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）若正多边形一个内角是，则该正多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．设该正多边形的边数是，根据多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该正多边形的边数是， 则， 解得， 所以该正多边形的边数是5， 故答案为：5． 【例5】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，五边形的内角都相等，． (1)求的度数 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正五边形内角和，三角形内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理即可求解； （2）先求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵五边形的内角都相等， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 【核心考点九 多（少）算一个角问题】 【例1】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【例3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝ ． 【答案】7 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用800°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案． 【详解】解：800°÷180°＝4……80°， ∵除去了一个内角， ∴n﹣2＝4+1＝5， ∴n＝5+2＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据公式利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 【例5】（23-24八年级下·广东云浮·期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【答案】(1)明明求的是七边形的内角和； (2) 【分析】（1）设少加的那个内角为，这个多边形的边数为，根据题意，列方程求解即可； （2）根据题意，列式求解即可； 【详解】（1）解：设少加的那个内角为，这个多边形的边数为． 根据题意，得， 则． 因为，所以． 解得． 因为为整数，所以． 所以明明求的是七边形的内角和． （2）解：当时，． 所以少加的那个内角为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，多边形内角和，解题的关键是理解题意，正确列出方程或不等式． 【核心考点十 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】 本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得共有5条对角线的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则， 解得：（负值已舍去）． ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为4或5或6． 原多边形不可能是七边形 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是 【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意； B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意； C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意； D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据剪去一个角后的三角形的边数有：增加、不变两种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】当得到的图形是三角形时，内角和是， 当得到的图形是四边形时，内角和是， 故形成的一个新的多边形的内角和为或， 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【例5】（23-24八年级下·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      【答案】剩下的多边形的内角和是或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，为三角形，则内角和为； 若边数不变，还是四边形，则内角和为； 若边数增加1，为五角形，则内角和， 综上，剩下的多边形的内角和是或或． 【核心考点十一 正多边形的外角问题】 【例1】（24-25八年级下·贵州黔南·期中）正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正多边形的边数，用外角和除以正多边形的一个外角即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】∵正八边形的外角和为， ∴， 故选：B 【例3】（24-25八年级下·吉林四平·期末）如图，，则 度． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题的关键． 根据多边形的外角和等于即可得到结论． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 【答案】5 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 【例5】（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了64米 (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和及外角，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键； （1）根据题意可知这个正多边形的外角为，然后可得该正多边形的边数为，进而问题可求解； （2）由（1）结合多边形的内角和公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个正多边形的外角为， ∴该正多边形的边数为， ∴； 答：小明一共走了64米． （2）解：由（1）可知： 这个正多边形的内角和为． 【核心考点十二 多边形外角和的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A．40米 B．36米 C．32米 D．28米 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角，掌握“多边形的外角和是”是正确解答的前提．根据多边形的外角和是可求出边数，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知，机器人行走一周所得到的多边形的每一个外角都是， 所以这个多边形的边数为：， 剩余机器人从出发到第一次回到原处，机器人共走了（米）， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键．根据多边形的外角和为，再结合图形即可解答． 【详解】解：多边形的外角和为， ， ，， ． 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·山西阳泉·期中）窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则 ． 【答案】336 【分析】本题主要考查了多边形外角和，邻补角定义，先根据多边形外角和为，求出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：336． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【分析】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【详解】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 【核心考点十三 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级下·四川广安·期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和是，多边形内角和定理：（且为整数）． 由多边形的外角和是，求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理即可计算求解． 【详解】解：根据题意，正多边形的边数为， ∴正多边形的内角和为， 故选： A． 【例2】（24-25八年级下·重庆云阳·阶段练习）一个多边形，其内角和是外角和的3倍，那么它是（   ）边形 A．四 B．六 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和等知识点，设出多边形的边数，根据内角和与外角和的关系列出方程，解方程即可得解，熟练掌握多边形的外角和恒为，若一个多边形是n边形，其内角和是解决此题的关键． 【详解】解：设该多边形是n边形， 由题意：， 解得：， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·全国·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【答案】八/8 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和．设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和与边数的关系和任意多边形的外角和等于，得，求得，进而解决此题． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，． ∴． ∴这个多边形的边数为8． 故答案为：八． 【例4】（2024八年级下·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了多边形内角与外角．根据任意多边形的外角和是进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）如图，已知，求的度数． （2）已知正多边形的每一个内角比它的外角多，求该正多边形的边数． 【答案】（1）；（2）该正多边形为正十边形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，多边形的内角和与外角和，二元一次方程组的应用； （1）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）设该正多边形的内角为，外角为，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：设该正多边形的内角为，外角为， 依题意得：， 解得 答：该正多边形为正十边形． 【核心考点十四 平面镶嵌】 【例1】（24-25八年级下·山西朔州·期中）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360度即可求解． 【详解】解：A. 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； B. 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； C. 正方形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； D. 正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，不能拼成，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．若商店出售下列形状地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（      ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：①正方形的每个内角是，4个能组成镶嵌； ②长方形的每个内角是，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌； 综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种， 故选：C． 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 【答案】 ①②③ ①和②；①和③；②和④ 【分析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答． 【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为 （1）∵ 使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案； （2）∵ 使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案； 故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 【例4】（24-25八年级下·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；根据图形可知构成完整一个图形是一个正十边形，进而根据正十边形的内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：多边形是正十边形，且即为所用平行四边形中最大内角， ∴； 故答案为． 【例5】（23-24八年级下·山西晋城·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 【答案】见解析 【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成． 【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，， ∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面． 如图： 【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【变式训练1 多边形的概念与分类】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】过点C作交AD于点H，由题意易得OH=HD=1，，根据勾股定理得到，故问题得解． 【详解】   过点C作交AD于点H，由题意得： 六边形ABCDEF是正六边形，且中心与坐标原点重合，A点的坐标为 OA=OD=2，四边形OGCH是矩形， GC=OH=BG=BC，HD=CD，OH=HD=1， C． 故答案为． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质、勾股定理及求点的坐标，关键是根据正多边形的性质得到线段的等量关系，然后转化为点的坐标． 3．（23-24八年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 【变式训练2 多边形截角后的边数问题】 1．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）给出下列结论：①三角形可分为三边都不相等的三角形，等腰三角形和等边三角形；②钝角三角形的三条高相交于一点，并且该点在三角形外面；③角平分线是射线而三角形的角平分线是线段；④两边及其中一边的对角对应相等的三角形一定不全等；⑤正八边形截去一个角后变成了七边形；其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据三角形的分类、钝角三角形的高的特征、角的角平分线和三角形的角平分线的定义、全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：①三角形可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形两类，故①错误； ②钝角三角形的三条高所在直线相交于一点，并且该点在三角形外面，故②错误； ③角平分线是射线而三角形的角平分线是线段，故③正确； ④两边及其中一边的对角对应相等的三角形也可能全等（如HL），故④错误； ⑤正八边形截去一个角后不一定变成了七边形，如下图所示，故⑤错误． 综上：错误的有4个 故选C． 【点睛】此题考查的是三角形的相关概念、分类和全等三角形的性质，掌握三角形的分类、钝角三角形的高的特征、角的角平分线和三角形的角平分线的定义、全等三角形的判定定理是解题关键． 2．（23-24八年级下·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【变式训练3 多边形的周长】 1．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到则四边形的周长为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得． 【详解】解：由平移的性质得：， 的周长为10， ， 则四边形ABFD的周长为， ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平移的性质，多边形的周长等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖北·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 【变式训练4 网格中多边形面积比较】 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】A 【分析】利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得． 【详解】解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7， 故选：A． 【点睛】本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2．（2024·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为 ． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 【变式训练5 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ． 【答案】 12 【分析】从边形的一个顶点出发连对角线，不可以连自身和相邻的两个点，所以可以连的是个点，边形有n个顶点，一共可以连条线，但是每条线都重复了一次，所以还要除以2，据此求解即可． 【详解】解：边形，从边形的一个顶点出发可以作条对角线， 过边形的一个顶点有7条对角线，则这个n边形是十边形，， 边形没有对角线，则它是三角形，， 边形对角线的总条数等于边数，则， 解得：（舍去）或， ∴， 故答案为：，12． 【点睛】本题考查多边形的对角线问题和一元二次方程，熟记n边形的对角线条数为是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，六边形． (1)过点作这个多边形的对角线共有______条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是______个； (2)连接，若，，，求的值． 【答案】(1)3，4 (2) 【分析】本题考查多边形的对角线，多边形的内角和： （1）根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，把边形分成个三角形进行求解即可； （2）根据平行线的性质，推出，根据多边形的内角和公式，求出六边形的内角和再减去的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵六边形， ∴过点作这个多边形的对角线共有条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是个； 故答案为：3，4； （2）∵，， ∴， ∴， 即：， ∴． 【变式训练6 对角线分成的三角形个数问题】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可． 【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误； ③两点之间线段最短，故原说法错误； ④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误； ⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形，此说法正确． 所以，正确的说法只有1个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 2．（23-24八年级下·河北保定·期中）阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个． 【答案】 4 5 6 【分析】（1）根据题中方法进行分割，然后可得答案； （2）观察图1和图2所作图形，进而得出规律即可． 【详解】解：（1）如图，每种方法所得到的小三角形的个数分别为：4个，5个，6个； 故答案为：4，5，6 （2）观察图1和图2所作图形可得： 第一种分割方法把n边形分割成了（n-2）个三角形； 第二种分割方法把n边形分割成了（n-1）个三角形； 第三种分割方法把n边形分割成了n个三角形， 故答案为（n-2），（n-1），n 【点睛】本题考查了多边形的相关问题，要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般情况． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 【变式训练7 多边形内角和问题】 1．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，，平分，，则下列结论中正确结论的序号是（    ） ①   ②  ③       ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理，过点作，交的延长线于点，先证明得到，，，再证明，，，据此导角可证明；根据四边形内角和定理得到，进而可证明；可证明，再由，可得；根据，即可证明． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，六边形的每个内角都相等，连接．已知∥，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形的内角和以及平行线的性质，由六边形的内角相等，求出六边形内角和得出，由平行线的性质可得出，最后根据角的和差关系即可得出． 【详解】解：六边形的内角相等， ， ， ， ， 故答案为． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）根据下面的对话，求多边形飞盘的边数． 【答案】多边形飞盘的边数为6 【分析】本题考查了多边形内角和的应用，属于基础题，记住多边形内角和公式是解题关键．设多边形飞盘的边数为n，根据，解答即可． 【详解】解：设多边形飞盘的边数为n，根据题意得： ， 解得：， 答：多边形飞盘的边数为6． 【变式训练8 正多边形的内角问题】 1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是用四个边长相等的正多边形（两个等边三角形、一个正五边形、一个正六边形）拼成的几何模型，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的内角，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 首先根据题意求出正六边形的一个内角度数，正五边形的一个内角度数，等边三角形的一个内角度数，然后根据角的和差求解看． 【详解】解：∵正六边形的一个内角， 正五边形的一个内角， ∵等边三角形的一个内角度数为， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，以正六边形的一边为边向外作正方形，则 ． 【答案】/150度 【分析】题目主要考查正多边形内角和的计算，根据图形先得出正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为， 正方形的每个内角为， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正多边形的内角． （1）根据正五边形的内角和公式即可求解； （2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解； （3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内角和为， 故； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意得：， 解得：． 【变式训练9 多（少）算一个角问题】 1．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）当多边形的边数增加时，它的内角和会(　　) A．增加 B．增加 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】根据n边形的内角和为180°（n－2），可得（n＋1）边形的内角和为180°（n－1），然后作差即可得出结论． 【详解】解：∵n边形的内角和为180°（n－2） ∴（n＋1）边形的内角和为180°（n＋1－2）=180°（n－1） 而180°（n－1）－180°（n－2）=180° ∴当多边形的边数增加时，它的内角和会增加 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 2．（23-24八年级下·北京西城·期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是   度，这个多边形的边数是 ． 【答案】 60 8 【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可； 【详解】，又 即 解得： 为正整数 故答案为：60,8 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， ∵发现少加了一个锐角， ∴这个“少加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形边数为， 则， 解得：， 即明明求的是边形的内角和； （3）∵正边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为， ∴这个正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的每一个外角的度数是． 【变式训练10 多边形截角后的内角和问题】 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据n边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏·周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为 ．（用阿拉伯数字表示） 【答案】21或22或23 【分析】先根据多边形的内角和公式求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n，则， 解得， 多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1， 所以，，或， 所以原来多边形的边数为21或22或23． 故答案为：21或22或23． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论． 3．（23-24八年级下·四川自贡·期中）如图是一个凹多边形，，，，；求的值． 【答案】． 【分析】连接FB构建直角三角形可知，在利用五边形内角和为减去其他内角以及 和，即可求解的值． 【详解】 证明：连接 ∵， ∴ ， ∵ ， ，，， ∴． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，以及直角三角形两锐角互余．找到要求角度和与多边形内角和的关系是本题关键．多边形的内角和公式：n边形内角和等于． 【变式训练11 正多边形的外角问题】 1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，多边形的对角线，多边形的内角和外角，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】（1）三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，故（1）错误； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，故（2）错误； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角，故（3）正确； （4）n边形的外角和为，故（4）正确， 综上所述：正确的有2个， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 【答案】5 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．      (1)这个“多加的锐角”是______°． (2)小明求的是几边形的内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为，而每一个外角都相等进行计算即可； 【详解】（1）12边形的内角和为,而13边形的内角和为, 由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角是， 故答案为：30 （2）设这个多边形为n边形，由题意得： ， 解得： 答：小明求的是12边形的内角和； （3）正12边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为， 所以每一个外角为， 答：这个正多边形的每一个外角为 【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提． 【变式训练12 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和进行解答即可． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 【答案】360° 【分析】分别记的外角为，用即可得出答案． 【详解】 如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是，由C市向A市行驶时转的角是，由A市向P市行驶时转的角是． 小汽车从P市出发，经B市、C 市、A市，又回到P市，共转． 【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【答案】(1)图见解析， (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是 (3)五边形的外角和等于 【分析】（1）根据图形进行解答即可； （2）根据多边形外角和进行解答即可； （3）多边形的外角和等于． 【详解】（1）解：如图，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是．    （2）解：他每跑一圈，身体转过的角度之和是 （3）解：五边形的外角和等于． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于． 【变式训练13 多边形内角和与外角和综合】 1．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，将三个三角板拼到一起得到一个五边形，设该图形的内角和、外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（     ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，内角和为，作出选择即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴， ∵五边形内角和为， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西大同·开学考试）如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解： ，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）根据图中的相关数据，求出x的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1） （2）边数为6 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是，， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 【变式训练14 平面镶嵌】 1．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，这是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 延长交于点E，得到多边形是十二边形即可得到答案． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， 正三角形和正n边形密铺， 拼接点的角刚好能拼成一个周角，， ， ， 正n边形的外角为：， 这个多边形的边数是， 故选：D． 2．（2024·吉林长春·三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．    【答案】 【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解． 【详解】解：正五边形的每一个内角为 设菱形的最小内角为，根据题意得， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    【答案】能，见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计； 根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可． 【详解】解：能．设计方案图所示．    1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东青岛·开学考试）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　） A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形 【答案】D 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意； B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意； C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意； D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 3．（23-24八年级下·四川自贡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方形的内角度数和每个外角度数． 【详解】解：如图所示： ∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是， ∴， 又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且，故①正确； ∴，故②正确； ，故④错误； 根据现有条件无法得到，故③错误； 故选B． 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ， ， ， 故选：B． 6．（2024·上海杨浦·二模）若一个n边形的每个内角都为，那么边数 ． 【答案】9 【分析】本题考查多边形内角与外角的应用，先依据多边形的内角的度数求得外角的度数，再根据多边外角和进行求解即可． 【详解】解：∵一个n边形的每个内角都为， ∴它的每个外角， ∴多边形边数． 故答案为：9． 7．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，求 ．    【答案】 【分析】连接，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点   在和中，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，正确证明是关键． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题、多边形的内角和，根据多边形的内角和公式及五边形为正五边形得，再根据四边形中多边形的内角和得，进而可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：五边形为正五边形， ， ， ， 四边形中，， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知： ∵小明需要转次才会回到原点， ∴小明共走了米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是是解题的关键． 10．（2024·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 11．（2024八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 【答案】是十二边形，它的每个内角150° 【分析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和即可求解每个内角． 【详解】解：设多边形边数为n， ∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线， ∴n﹣3＝9， 解得n＝12， 所以，它是十二边形， 它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°． 答：它是十二边形，它的每个内角150°． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键． 12．（2024八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 【答案】选的正方形地砖，需要80块地砖可以铺满客厅 【分析】小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选的正方形地砖，然后求出块数即可． 【详解】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， ∴符合要求的是选的正方形地砖； ，， （块）， 答：需要80块地砖可以铺满客厅． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，关键是找到符合要求的公因数． 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；   …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 【答案】3,4, 5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1 【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可． 【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n边形被分为（n-1）个三角形． ∵n-(n-1)=1， ∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1. 【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系． 14．（23-24八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 【答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=． 【分析】如图，延长BA到F，根据多边形外角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值. 【详解】如图，延长BA到F， ∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角， ∴∠EAF=360°÷5=72°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°， ∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB， ∴α=∠EAF=72°， 同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°， 当正多边形的边数是n时，α=． 故答案为36°；60°；45°； 【点睛】本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键. 15．（2024八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解； （2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解； （3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，， ． 故答案：． （2）解：①如图2，由折叠得：，， ，， ， ， ． 故答案：． ②如图3，， 理由如下：设与交于， 由①得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）得：， 同理可得：，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 多边形（2个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 多边形的周长 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形内角和问题 题型八 正多边形的内角问题 题型九 多（少）算一个角问题 题型十 多边形截角后的内角和问题 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和综合 题型十四 平面镶嵌 知识点01 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【核心考点一 多边形的概念与分类】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【例2】（2024八年级下·上海·专题练习）下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，求多边形的面积． 【核心考点二 多边形截角后的边数问题】 【例1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【例3】（23-24八年级下·上海长宁·期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角． 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【核心考点三 多边形的周长】 【例1】（23-24八年级下·上海静安·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【例4】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 【例5】（2024·上海嘉定·二模）如图1，线段的长度一定，现将线段首尾相连，围成正边形（，且为整数），已知正边形的面积S（单位：）与边数（单位：条）之间的关系如图2所示．    (1)根据图中的信息，线段__________，当时，__________． (2)发现：观察图像，写出正边形的面积随边数的变化趋势为__________． (3)猜想：把线段围成什么图形时面积最大，并求出最大面积． 【核心考点四 网格中多边形面积比较】 【例1】（2024·上海闵行·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为(　　) A．7 B．10 C． D．8 【例2】（23-24八年级·上海·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【例3】（23-24八年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【例4】（2024·上海嘉定·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，小正方形边长为1．求： (1)四边形的周长； (2)四边形的面积． 【核心考点五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 【例3】（24-25八年级下·上海·阶段练习）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是 边形． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【核心考点六 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【例3】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 【例5】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【核心考点七 多边形内角和问题】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海·期末）一个边形的所有内角和等于，则的值等于 ． 【例4】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图， ． 【例5】（24-25八年级下·河北唐山·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和； 【核心考点八 正多边形的内角问题】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，由6个各边相等、各内角也相等的九边形拼接成一个美丽的图案，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图2所示的正五边形，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积．正十二边形的内角和为 ． 【例4】（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）若正多边形一个内角是，则该正多边形的边数是 ． 【例5】（24-25八年级下·吉林·期末）如图，五边形的内角都相等，． (1)求的度数 (2)求的值． 【核心考点九 多（少）算一个角问题】 【例1】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝ ． 【例4】（23-24八年级下·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【例5】（23-24八年级下·广东云浮·期中）下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【核心考点十 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【例3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 【例4】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【例5】（23-24八年级下·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？      【核心考点十一 正多边形的外角问题】 【例1】（24-25八年级下·贵州黔南·期中）正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·吉林四平·期末）如图，，则 度． 【例4】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 【例5】（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【核心考点十二 多边形外角和的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A．40米 B．36米 C．32米 D．28米 【例2】（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    【例4】（24-25八年级下·山西阳泉·期中）窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则 ． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【核心考点十三 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级下·四川广安·期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆云阳·阶段练习）一个多边形，其内角和是外角和的3倍，那么它是（   ）边形 A．四 B．六 C．八 D．九 【例3】（24-25八年级下·全国·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形． 【例4】（2024八年级下·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 【例5】（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）如图，已知，求的度数． （2）已知正多边形的每一个内角比它的外角多，求该正多边形的边数． 【核心考点十四 平面镶嵌】 【例1】（24-25八年级下·山西朔州·期中）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．若商店出售下列形状地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（      ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 【例4】（24-25八年级下·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ． 【例5】（23-24八年级下·山西晋城·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计． 【变式训练1 多边形的概念与分类】 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点C的坐标为 ．    3．（23-24八年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【变式训练2 多边形截角后的边数问题】 1．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）给出下列结论：①三角形可分为三边都不相等的三角形，等腰三角形和等边三角形；②钝角三角形的三条高相交于一点，并且该点在三角形外面；③角平分线是射线而三角形的角平分线是线段；④两边及其中一边的对角对应相等的三角形一定不全等；⑤正八边形截去一个角后变成了七边形；其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【变式训练3 多边形的周长】 1．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到则四边形的周长为 ． 3．（23-24八年级下·湖北·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【变式训练4 网格中多边形面积比较】 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 2．（2024·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为 ． 3．（23-24八年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【变式训练5 多边形对角线的条数问题】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ． 3．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，六边形． (1)过点作这个多边形的对角线共有______条，这些对角线把多边形分成的三角形个数是______个； (2)连接，若，，，求的值． 【变式训练6 对角线分成的三角形个数问题】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24八年级下·河北保定·期中）阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【变式训练7 多边形内角和问题】 1．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，，平分，，则下列结论中正确结论的序号是（    ） ①   ②  ③       ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，六边形的每个内角都相等，连接．已知∥，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）根据下面的对话，求多边形飞盘的边数． 【变式训练8 正多边形的内角问题】 1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是用四个边长相等的正多边形（两个等边三角形、一个正五边形、一个正六边形）拼成的几何模型，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，以正六边形的一边为边向外作正方形，则 ． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求n的值． 【变式训练9 多（少）算一个角问题】 1．（23-24八年级下·浙江丽水·期中）当多边形的边数增加时，它的内角和会(　　) A．增加 B．增加 C．增加 D．增加 2．（23-24八年级下·北京西城·期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是   度，这个多边形的边数是 ． 3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【变式训练10 多边形截角后的内角和问题】 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏·周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为 ．（用阿拉伯数字表示） 3．（23-24八年级下·四川自贡·期中）如图是一个凹多边形，，，，；求的值． 【变式训练11 正多边形的外角问题】 1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）三角形三条高的交点，叫做三角形的重心； （2）从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线； （3）n边形有n条边、n个顶点、n个内角和个外角； （4）n边形的外角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．      (1)这个“多加的锐角”是______°． (2)小明求的是几边形的内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？ 【变式训练12 多边形外角和的实际应用】 1．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【变式训练13 多边形内角和与外角和综合】 1．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，将三个三角板拼到一起得到一个五边形，设该图形的内角和、外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（     ） A． B． C． D．无法比较与的大小 2．（24-25八年级下·山西大同·开学考试）如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）根据图中的相关数据，求出x的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【变式训练14 平面镶嵌】 1．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，这是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024·吉林长春·三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．    3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．    1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（23-24八年级下·山东青岛·开学考试）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　） A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形 3．（23-24八年级下·四川自贡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A． ② B．①② C．①④ D．①③④ 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·上海杨浦·二模）若一个n边形的每个内角都为，那么边数 ． 7．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，求 ．    8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．    9．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    10．（2024·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 11．（2024八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 12．（2024八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；   …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 14．（23-24八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 15．（2024八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$