精品解析：2024年浙江省 宁波市初中数学强基模拟卷（1）

2024宁波初中基模拟卷（1） 一、填空题（每小题6分，共60分） 1. 分解因式____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握是解题的关键． 【详解】解： ， ， ； 故答案：． 2. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的运用，代数式求值，积的乘方的逆用，二次根式的混合运算，根据题意得到当时，，当时，，再结合平方差公式进行因式分解并运算，即可解题． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ． 故答案为：1． 3. 如图，P是正方形内一点，，，则的 值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作AP的垂线交AP延长线于点E，构造直角三角形ADE，直角三角形PDE．通过角的关系和勾股定理，可求出，再通过证明△APB≌△DEA得AP=DE，即可求的值． 【详解】如图，过点D作AP的垂线交AP延长线于点E， ∵四边形ABCD是正方形，CP=CD， ∴BC=CP=CD， ∴∠PBC=∠BPC，∠DPC=∠PDC． 设∠PCD=x，则 ，． ∴∠BPD=45°+90°=135°． ∵AP⊥BP， ∴∠APD=360°-135°-90°=135°． ∴∠DPE=45°． 设DE=PE=y，则． ∵∠DAE+∠BAP=∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠DAE=∠ABP， 在△DAE与△ABP中，， ∴△APB≌△DEA（AAS）． ∴AP=DE=y， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．解答本题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形． 4. 如图，三边长满足，延长到，使，若，则的度数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到，又因为，得到，所以，根据等边对等角得，求得，再根据的内角和等于即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例性质、相似三角形的判定和性质、等边对等角、三角形外角的定义、三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 5. 如图，在中，，，与相交于点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可． 【详解】解：作交于，作交于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理． 6. 如图，，点A为半径为1的圆C上一点，是为斜边的等腰直角三角形，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，手拉手全等三角形的性质和判定，勾股定理等．构造等腰直角三角形作辅助线是解题的关键． 连接，作等腰直角三角形，构造手拉手全等三角形，证明，从而得到，最后当三点共线时，求得的最大值． 【详解】如图： 连接，作等腰直角三角形，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，由三角形三边可知，任意两边大于第三边， ， ， 当三点共线时，， 此时最大即最大， D点在的延长线上， ， 最大值是， 故答案为： 7. 满足所有实数对，使取最大值，此最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，图象法解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；设，则，代入整理得关于x的一元二次方程，由题意可知，方程恒有解，根据判别式可得，再解不等式即可求得最大值． 【详解】解：设，则， ， ， ， 满足所有实数对， 一元二次方程有实数根， ， ， 设， 令，得， 解得：或， 的解集为：，即， 的最大值为， 故答案为：． 8. 如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系及两点间的距离公式，设，进而求出，求出，将一次函数表达式代入反比例函数表达式整理后，根据根与系数关系进一步求出，即可求出结论． 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9. 如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为___． 【答案】4 【解析】 【分析】延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 10. 已知21个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是把21个数的两两之积的和转化为关于的个数m的二次函数来处理；设21个数中有m个，则有个；m个中任两个的积为1，其有个1，个中任两个的积为1，共有个1，得其和为；m个中任一个与个中任一个的积为，共有个，其和为，负数与正数相加得到关于m的二次函数，即可求解． 【详解】解：设21个数中有m个，则有个； m个中任两个的积为1，其有个1；个中任两个的积为1，共有个1，总共有个积为1，其和为； m个中任一个与个中任一个的积为，共有个，其和为； 设， 则 ； 由题意知，且为整数， 当或11，或12时，，当或13时，; 根据二次函数的性质知，当或时，， ∴y的最小值为2； 故答案为：2． 二、简答题（每小题20分，共40分） 11. 已知，二次函数的图象与x轴的交点横坐标为． （1）求的最小值． （2）若，求m的取值范围． （3）若为整数，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）2或8 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由进行判断即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得出，再求出的取值即可解决问题； （3）由得，由为整数，设，，再分组讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的最小值为． 【小问2详解】 解：对于二次函数，对称轴为直线， 又对称轴为直线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∵为整数， ∴为整数， ∴设， ∴， ∴， ∴或或或， ∴（舍去）或或（舍去）或， 当时，，符合题意． 当时，，符合题意． ∴或8． 12. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，进而可以解决问题； （2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论． 【小问1详解】 解：由于交于点O， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O． ∵， 同理有：，， 代入， 得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024宁波初中基模拟卷（1） 一、填空题（每小题6分，共60分） 1. 分解因式____． 2. 已知，则________． 3. 如图，P是正方形内一点，，，则 值为______． 4. 如图，的三边长满足，延长到，使，若，则的度数为_______ 5. 如图，中，，，与相交于点，则______. 6. 如图，，点A为半径为1的圆C上一点，是为斜边的等腰直角三角形，则的最大值是______． 7. 满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为______． 8. 如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为______． 9. 如图，点I为内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为___． 10. 已知21个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为____________． 二、简答题（每小题20分，共40分） 11. 已知，二次函数的图象与x轴的交点横坐标为． （1）求最小值． （2）若，求m的取值范围． （3）若为整数，求m的值． 12. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$