第四单元信息窗 2《三角形的三边关系》（教学设计）-2024-2025学年四年级上册数学青岛版（五四学制）

第四单元信息窗 2《三角形的三边关系》 教材分析 《三角形的三边关系》是青岛版（五四制）四年级上册第四单元《认识多边形》中的教学内容。本课内容是在学生初步理解了三角形的定义的基础上，进一步深化理解三角形的特性；尺规作图是《义务教育数学课程标准(2022 年版)》新增加的数学内容,教学整体分为三个板块，第一板块：初识尺规，积累作图经验;(作登场线段)第二板块：再识尺规，体会价值(作图认识周长)；第三板块：应用尺规，开展探究(作三角形)，利用尺规作图探究三边关系属于第三板块，是前两个板块的应用。从核心素养一致性角度，小学增加尺规作图，既为初中学习尺规作图做基础，又是对学生作图素养一致性的培养。教学时，借助尺规创作三角形，体会三角形的唯一性。通过圆规可以画弧的功能，由两条弧是否有交点及交点的位置来体会是否能化成三角形。学生在作图中经历想象、尝试、分析、推理等思维过程，既锻炼学生的动手操作能力和想象力，又培养学生的作图素养和推理意识。 学情分析 四年级的学生在生活中已经积累了很多关于三角形三边关系的感性经验，初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念。这个阶段，学生已经学习了角，初步认识了三角形，以及三角形的特性。学习过程中，学生在抽象中概括三角形三边关系时，可能数学语言不够严密，教师要给学生更多探讨的空间和交流的机会，促进模型的建立和思维能力的发展；通过让学生猜想、验证、归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”，最后让学生用发展的规律解决生活中的一些简单问题，既巩固了知识又体现了数学与生活的密切联系。 课时目标 1. 通过用尺规作三角形，体会“任意两边长度的和大于第三边”及其道理 2.通过深入研究，让学生探索出“已知三角形的两条边，第三条边的取值范围”经历猜测、操作、验证、说理等过程，发展几何直观和推理意识。 3.在尺规作图的过程中，激发学习兴趣，感受尺规作图的价值和数学的严谨性。 学习重难点 教学重点： 通过尺规作三角形探究三角形的三边关系。 教学难点： 探究、理解三角形的三边关系。 课前准备 教师：多媒体课件、探究单、西沃白板 学生：直尺、圆规、探究单、铅笔等 教学过程 师：同学们，上节课我们学习了三角形的相关知识，课下，同学们也动手制作了三角形的风筝骨架，在制作的过程中你有什么发现或者疑问吗？ 生：给三条小棒，首尾相接就能围成三角形 生：有的三条小棒，不能围成三角形 师：为什么有的三条小棒能围成，有的却不能，其实这里边也蕴含着三角形边的关系，这节课，我们一起来研究三角形的三边关系 （板书课题：三角形的三边关系） 一、动手操作，感知关系 师：同学们，拿出探究单，看活动一，老师准备了4 条不同长度的线段，如果从其中任选三条，画一画，能不能围成三角形？为什么？（学生按要求分组活动） 师：任意选三条什么意思？ 生：可以是 3、4、5, 3、4、8, 3、5、8, 4、5、8 活动要求： 活动要求： 1、画一画 选择一组线段，用直尺和圆规画一画，并标上数据。 2、想一想 根据作图痕迹，判断这三条线段能否围成三角形。 3、说一说 小组内交流讨论，哪一组线段能围成三角形，并说明原因。 教师巡视，关注学生不同的思维状态：有的小组努力尝试用 3 厘米、4 厘米和 5 厘米这三条线段画三角形；有的小组分工协作，轻松找到四种情况；有的小组在争论 3 厘米、5 厘米和 8 厘米这三条线段究竟能不能围成三角形...... 二、猜想验证，研究关系 1. 紧扣关系，提出猜想 师：画完了吗？举手，没画完的课下完成。老师收集了几副有代表性的作品，我们一起来看一看，说说你的发现 作品展示 生 1：我们小组发现 3 厘米、4 厘米和 8 厘米这三条线段围不成三角形；3 厘米、5 厘米和 8 厘米这三条线段也围不成三角形 师：回顾三角形的定义，明明有三条线段，为什么围不成三角形？第一种情况：以 3 厘米、4 厘米、8 厘米这三条线段为例，（图展示）谁来说一说？ 生 1：3 厘米、4 厘米这两条线段太短了 师：比谁短了？ 生：比 8 厘米的这条线段短了 生：3+4=7，7<8 师：之前我们是一条线段与另一条线段比，今天是谁与谁比？ 生：两条线段长度的和与第三条线段比 【思考】研究三角形的三边关系，直接以“两边之和大于第三边”比较的视角思考，对小学生而言太抽象，先从不能围成三角形的情况入手，借助图形，让学生直观感知：3+4=7，比 8 小。教师及时追问：“之前我们是一条线段与另一条线断比，今天是谁与谁比？”引导学生尝试用数学语言表达教学现象“两条线段长度的和与第三条线段比”，培养学生 的数学眼光。 师：继续观察，谁能在图中找到 3 厘米和 4 厘米的线段？ 生：（边说边指）在 8 厘米的这条线段上 生：两条线段的另一个端点可以是两条弧线上的任意一点。（生边说边用手指画弧线，指线段） 师：让我们伸出手指，一起比画一下画弧线找交点的过程，边比画边想象。 师：这两条弧线离得最近的位置在哪儿？可能有交点吗？ 生：最近的位置就在这条 8 厘米的线段上，两条线段的长度的和只有 7 厘米，比 8 厘米少 1 厘米，不可能有交点。 师：如果先画 4 厘米或者 3 厘米的线段，再画弧线，两条弧线会不会有交点呢？能想象出来吗？先想一想，我们一起看一下。 课件图片展示结，图示： 师：这里，三条线段的长度之间有怎样的关系时，两条弧线没有交点？ 生：两条线段长度的和小于第三条线段时，两条弧线没有交点，围不成三角形。 第二种情况： 师：（指着下图：3、5、8 厘米的）再看 3 厘米、5 厘米、8 厘米这三条线段，又是什么情况？ 生：交点正好在第三条线段上 生：2+3=5，两条线段首尾连接起来正好与第三条线段重合了，所以围不成三角形。 生：两条线段长度的和等于第三条线段，交点正好在第三条线段上，围不成三角形。 师：我们看（贴板书下图，围不成三角形的情况） 两条线段长度的和小于、等于第三条线段都围不成三角形，此时此刻，你能有什么大胆的猜想？ 生：两条线段长度的和大于第三条线段，这三条线段就能围成三角形。 【思考】通过不能围成三角形的两种情况的深度追问，学生在动态比划、静态想象中，打通了静态到动态的通道，丰富表象积累，自然生成猜想：两条线段长度的和大于第三条线段，这三条线段可以围成三角形。依托图形直观，给予想象支点，抽象的关系从具体的三角形中逐渐显现出来，发展学生的空间观念。 2、正反对比，调整猜想 师：要想知道我们的猜想是否正确，怎么办？ 生：举例验证 生：能围成三角形的三条线段，3+4>5，所画的两条弧线有交点，交点在第三条线段外面。4+5>8，所画的两条弧线有交点，交点在第三条线段外面。 生：两条线段长度的和大于第三条线段时，就能围成三角形。 师：为了方便观察比较，我们把这两种情况也请到黑板上（四种情况都在黑板上） 师追问：在不能围成三角形的三条线段里，会不会也有两条线段长度的和大于第三条线段的情况？ 生：3、4、8 这三条线段里，我发现 3+8>4,4+8>3 生：3、5、8....，3+8>5,5+8>3 师：它们中也有两条线段长度的和大于第三条线段，为什么却不能围成三角形呢？ 生 1：因为其中两条线段短了，所以围不成三角形 生 2：如果较短两条线段长度的和大于最长线段，那其他两条线段长度的和就一定大于第三条线段 生 3：也就是任意两条线段长度的和大于第三条线段，这三条线段就能围成三角形 学生由发现较短两条线段长度的和与最长线段比，到发现任意两条线段长度的和与第三条线段比 师：看来，随着研究的深入，我们最初的猜想要调整一下，加上什么？ 学生回答，教师板书：任意 师：根据能围成三角形的情况，说说你的发现吧生举例列示汇报 师：孩子们，我们刚才通过两个例子得出这个结论，好像不是那么的让人信服，现在请同学们拿出探究单，完成活动 2，自己动手画一个三角形，然后量一量各边的长度，判断“任意两条线段长度的和大于第三条线段”是否成立？生动手操作，完成任意两条线段的长度的和大于第三条线段就能围成三角形 生：能围成 师：通过刚才的验证，现在你能得出什么样的结论？ 生：任意两条线段长度的和都大于第三条线段，可以围成一个三角形 【思考】当学生为自己提出的“合理”猜想得到验证而喜不自胜时，教师适时追问，利用反例，引发认知冲突，学生在问题驱动下，通过深度思辨，解构原有认知，进一步调整猜想并验证，重构认知结构，在引领学生经历建构、解构和重构的深度学习中，培养了学生严谨的思维习惯和推理意识。 3、例证推理，得出结论 师：能围成三角形的线段就是三角形的什么？ 生：三条边 师：根据刚才的研究经验，你认为三角形的三条边长度之间有怎样的关系？ 生：三角形中，任意两条边长度的和大于第三条边 师：是不是任意三角形的三条边长度之和都有这样 的关系呢？我们可以换一个角度来思考。请看，从 小明家到学校有两条路，哪条路最近？为什么？ 生：c 最近，因为两点之间线段最短 师：“两点之间线段最短”，这是大家公认的一个事实，不需要任何理由。你能用它解释说明“三角形的三边关系”吗？ 生：因为小明家到学校，c 最近，所以 a+b>c。同样的道理，我们还可以得到 b+c>a,a+c>b，这其实就是三角形任意两边长度的和大于第三边。 师：好了，同学们，我们通过举例验证，运用基本事实说理，现在，你能得出什么结论？ 学生交流：三角形任意两边长度的和大于第三边。学习了三角形边的关系，你应该明白了在做三角形骨架的时候，为什么有的小棒却围不成三角形了吧 【思考】“是不是任意三角形的三条边长度之间都有这样的关系呢？”联系生活情境，引导学生经历根据“两点之间线段最短”这个基本事实说明三角形三边关系的过程，感知数学基本事实与数学命题之间的关系，清晰又深刻地建构起三角形任意两边长度的和大于第三边的意义，培养学生的数学眼光，涵养理性精神。 4、回顾反思，渗透学法 师：回顾学习的过程，说说我们怎样得到这个结论的。 生：由不能围成三角形的三条线段之间的关系提出猜想，在验证的过程中不断调整猜想，通过举一般例子，特殊例子进行验证，再到运用“两点之间线段最短”这一基本事实进行推理验证，最后得出结论。 师：我们经历了由猜想到验证从而得出结论的过程，这是数学学习中经常用到的方法。 【思考】学生通过回顾反思，梳理总结，打通了学习过程与学习方法之间的关联，学会解决问题的一般方法和路径。 三、灵活应用，内化提升，延伸关系 对于三角形的三边关系，理解了吗？要考考你了 1、判断下面几组线段能围成三角形吗？并说明理由学生汇报 2、看第二种情况，如果改变一条线段的长度，围成等腰三角形，可以怎样变？ 生 1：5 厘米变成 3 厘米 生 2：把 1 厘米变成 5 厘米 生 3：把 1 厘米变成 3 厘米 师：（如果不是等腰三角形）还能变成多少？ 生：2 厘米、1 厘米 除了是整数，还可以是小数 生 2：可以把 2 厘米变成是 5 厘米 师：看来，这样的难度一点也难不倒你们，加大难度2、12 厘米、8 厘米，选择第三条边的长度，正确的打对号 3 6 20 25 师：除了是 6 厘米，还可以是多少？（除了是整数，还可以是小数） 设第三条边为 x4<x<20这样， 可以找到一个范围 3、一条边是 12cm,另外两条边的和是 14 厘米，分别是多少厘米？先画一条 12 厘米的线段，除了是整数还可以是小数把第 3 个顶点连起来，就是是一个椭圆木工师傅就是利用这种方法画椭圆的 四、畅谈收获 师：你有什么收获 生：三角形三边关系 师：我们通过猜想验证的方法得出三角形边的关系，希望在以后的学习中，你能利用这种方法来研究其他问题。关于三角形，你还能提出哪些数学问题？ 生：三角形三个角、边和角之间又有怎样的关系？ 下节课我们继续探究 【思考】学生通过有关联的进阶练习，在不断想象、辨析中内化三角形的三边关系。课尾由三角形边与角的内在关联，想到了“三角关系”“边角关系”等，将抽象的关系融入具象的学习过程，将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来，打通了知识之间的内在联系。 同学们，毕达哥拉斯曾说过：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道的。希望同学们在今后的数学学习中，仍然能够保持好奇与探究的欲望，不断前进。 2.最后，请你和你的小组成员对自己本节课的表现作出评价。 作业设计 基础素养： 1.每组中的小棒能围成三角形吗？ 2 厘米、2 厘米、2 厘米 1 厘米、3 厘米、5 厘米 1 厘米、2 厘米、3 厘米 2 厘米、4 厘米、5 厘米 【设计意图】：检验学生能否利用三角形的三边关系进行判断。 2. 有一块等腰三角形的菜地，周长是 1080 分米，底边是 320 分米，它的腰长是多少米？ 3. 3.一个等腰三角形的周长是 86 厘米，腰长是 28 厘米，这个等腰三角形的底边长时多少厘米？ 4.苗苗想做一个等腰三角形的风筝，已知风筝的两条边分别长 55 厘米，27 厘米，第三条边长多少厘米？ 【设计意图】结合等腰三角形的特点与三角形三边关系综合考察，检验学生能否 灵活提炼“等腰三角形两腰相等”的知识点进行应用。 5.选择 （1）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，求它的周长（ ）。 A.12 B.16 C.20 D.16 或 20 （2）若一个三角形的两边之长分别是 3cm、5cm，则第三条边可能为（ ） A. 1cm B.2cm C.7.5cm D.9cm （3）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为 12cm，则它的最短边长为（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm A.钝角 B.直角 C.锐角 【设计意图】根据三角形三边关系进行有关边长的判断，是对于三角形特征分类的综合考察。 综合应用： 6.已知等腰三角形一边长为 24cm,腰长是底边的 2 倍，求这个三角形的周长 7. 小星要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8cm,5cm 的小棒，小星有几种选 法？第三条边的长度可以是多少？ 【设计意图】：通过解决问题，综合培养学生综合运用所学知识解决问题的能力 8.红红说，她的步子很大，一步能迈出 3 米，你觉得对不对？为什么？ 【设计意图】：体会数学知识与生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣。 板书设计 三角形的三边关系 3、4、8 3、5、8 不能围成 3、4、5 4、5、8 能围成 猜想 两条线段长度的和大于第三条边 验证 结论 三角形任意两边长度的和大于第三边 学科网（北京）股份有限公司 $$