山东省泰安第二中学2024-2025学年高二上学期期末模拟数学试题

2024-2025高二数学期末模拟试题 一、单选题 1．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a7+2a9+a17＝24，则S20＝（　　） A．240 B．60 C．180 D．120 2．（5分）已知向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1)，且⊥，则x的值为（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 3．（5分）已知直线l：＝0过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S36＞0，S37＜0，则当Sn取得最大值时，n＝（　　） A．37 B．36 C．18 D．19 5．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则（x﹣1）2+（y﹣t）2（t∈R）的最小值是（　　） A． B．2 C．4 D．16 6．（5分）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P∥F2Q，且|F2Q|＝2|F2P|＝5|F1P|，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（5分）设m为实数，若方程x2+y2﹣2mx﹣2y+1＝0表示圆，则（　　） A．m＞0 B．该圆必过定点 （0，1） C．若直线 x﹣y+2＝0 被该圆截得的弦长为 2，则 m＝3 或﹣1 D．当 m＝﹣1 时，该圆上的点到直线 x﹣y＝2 的距离的最小值为 10．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为3，M，N分别为棱PA，PC靠近A，C的三等分点，动点Q满足，则下列结论中正确的是（　　） A．正四棱锥P﹣ABCD的体积为 B．动点Q的轨迹是半径为的球面 C．点P在动点Q的轨迹外部 D．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆 11．（5分）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽 线．已知点P（x0，y0）是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（　　） A．双纽线C关于原点O中心对称 B． C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个 D．|PO|的最大值为 三、填空题 12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若an＝cos（n∈N*），则{an}的前2024项和 S2024＝　0　． 13．（5分）将正偶数按如下所示的规律排列： 则数字2024的位置为第 　　行，从左向右第 　　个数． 14．直线与函数和的图象都相切，则___________ 四、解答题 15．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4． （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数． 16．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点且a＝2b． （1）求椭圆E的方程； （2）设斜率为的直线l与E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值． 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，{an•bn}是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若数列{bn}的前n项和为Tn，且不等式λ≥n（3﹣Tn）对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBD，M为线段PB上的一点． （1）证明：PA⊥平面ABCD； （2）若二面角M﹣AC﹣B余弦值为，求的值． 19．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正△Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an． （1）求a1，a2的值； （2）求出{an}的通项公式； （3）设曲线在点Pn处的切线斜率为kn，求证：． 2024-2025高二数学期末模拟试题 一、单选题 1．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a7+2a9+a17＝24，则S20＝（　　） A．240 B．60 C．180 D．120 【解答】解：因为数列{an}为等差数列， 所以a7+2a9+a17＝2a12+2a9＝24， 所以a12+a9＝12， 所以． 故选：D． 2．（5分）已知向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1)，且⊥，则x的值为（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 【解答】解：因为向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1)，且⊥， ，解得x＝4． 故选：C． 3．（5分）已知直线l：＝0过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上， 由直线l：＝0，取y＝0，可得x＝2，则c＝2， 再由＝0，得，得， 联立，解得． ∴C的方程为． 故选：C． 4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S36＞0，S37＜0，则当Sn取得最大值时，n＝（　　） A．37 B．36 C．18 D．19 【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S36＞0，S37＜0， ， ， 则a18＞0，a19＜0， 从而当n＝18时，Sn取得最大值． 故选：C． 5．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则（x﹣1）2+（y﹣t）2（t∈R）的最小值是（　　） A． B．2 C．4 D．16 【解答】解：因为A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|， 则（x+3）2+（y﹣4）2＝4（x+3）2+4（y﹣1）2，整理得（x+3）2+y2＝4， 可以看成圆（x+3）2+y2＝4上动点P（x，y）与定直线x＝1上动点Q（1，t）的距离， 其最小值为圆心M（﹣3，0）到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4﹣2＝2， 因此，（x﹣1）2+（y﹣t）2的最小值是22＝4， 故选：C． 6．（5分）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设椭圆方程为，其中a＞b＞0， 已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0）， 设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（x0，y0）， 则，， 又，， 则＝， 又，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号， 又|k1|+|k2|的最小值为， 则， 则， 即， 即． 故选：A． 7．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P∥F2Q，且|F2Q|＝2|F2P|＝5|F1P|，则双曲线C的离心率为（　　） （ A． B． C． D． 【解答】解：延长QF2与双曲线交于点P'，因为F1P∥F2P′，根据对称性知|F1P|＝|F2P′|， 设|F1P|＝|F2P′|＝2t，则|F2P|＝5t，|F2Q|＝10t，可得|F2P|﹣|F1P|＝3t＝2a，即， 所以，则，， 即，可知∠F1P′Q＝∠F1PF2＝90°， 在△P′F1F2中，由勾股定理得，即，解得． 故选：B． 8．（5分）某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，某企业在2023年初贷款M万元，年利率为m，到第10年年末，本金加利息共计M（1+m）10， 企业每年末还款a万元，10年共还现金（包括生息）a+a（1+m）+…+a（1+m）9＝， 由两式相等得：， 解得：． 故选：C． 二、多选题 9．（5分）设m为实数，若方程x2+y2﹣2mx﹣2y+1＝0表示圆，则（　　） A．m＞0 B．该圆必过定点 （0，1） C．若直线 x﹣y+2＝0 被该圆截得的弦长为 2，则 m＝3 或﹣1 D．当 m＝﹣1 时，该圆上的点到直线 x﹣y＝2 的距离的最小值为 【解答】解：由x2+y2﹣2mx﹣2y+1＝0，得（x﹣m）2+（y﹣1）2＝m2， 由m2＞0，得m≠0，故A错误； 把（0，1）代入圆的方程得02+12﹣2m×0﹣2×1+1＝0，∴该圆必过定点 （0，1），故B正确； 圆心到直线x﹣y+2＝0的距离为d＝＝， ∵直线x﹣y+2＝0被该圆截得的弦长为2， ∴12+（）2＝m2，解得m＝3或m＝﹣1，故C正确； 当m＝﹣1时，圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2+1＝1，圆心为（﹣1，1），半径为1， 圆心到直线x﹣y＝2的距离d＝＝2， ∴该圆上的点到直线 x﹣y＝2 的距离的最小值为 ，故D正确． 故选：BCD． 10．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为3，M，N分别为棱PA，PC靠近A，C的三等分点，动点Q满足，则下列结论中正确的是（　　） A．正四棱锥P﹣ABCD的体积为 B．动点Q的轨迹是半径为的球面 C．点P在动点Q的轨迹外部 D．动点Q的轨迹被平面ABCD截得的是半径为的圆 【解答】解：如图，设AC∩BD＝H，则PH⊥底面ABCD， 设MN∩PH＝O， 则根据题意可得：MN∥AC，MN＝AC，PO＝PH， 对A选项，易知PC＝3，HC＝， ∴PH＝＝＝， ∴正四棱锥P﹣ABCD的体积为＝，∴A选项正确； 对B选项，∵，∴QM⊥QN，又MN＝AC＝， ∴动点Q的轨迹是以MN为直径的球面， ∴球的半径为R＝，球心为MN中点O，∴B选项正确； 对C选项，∵PO＝PH＝＝＝R， ∴点P在球O的球面上，∴C选项错误； 对D选项，∵以MN为直径的球O的球心O到底面ABCD的距离为： d＝OH＝PH＝＝，又球O的半径R＝， ∴球O被平面ABCD截得的截面小圆半径r＝＝＝，∴D选项正确． 故选：ABD． 11．（5分）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽 线．已知点P（x0，y0）是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（　　） A．双纽线C关于原点O中心对称 B． C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个 D．|PO|的最大值为 【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C， 所以， 用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确； 对于B，根据三角形的等面积法可知＝， 即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确； 对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0， 所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误； 对于D，因为， 所以||2＝（﹣cos∠F1PF2+）， 由余弦定理得4a2＝﹣cos∠F1PF2+， 所以||2＝a2+cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2， 所以|PO|的最大值为，所以D正确． 故答案为：ABD． 三、填空题 12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若an＝cos（n∈N*），则{an}的前2024项和 S2024＝　0　． 【解答】解：若an＝cos（n∈N*）， 可得y＝cos的周期T＝＝4， 由a1＝a3＝0，a2＝﹣1，a4＝1， 则{an}的前2024项和 S2024＝506（a1+a2+a3+a4）＝506×（0﹣1+0+1）＝0． 故答案为：0． 13．（5分）将正偶数按如下所示的规律排列： 则数字2024的位置为第 　32　行，从左向右第 　51　个数． 【解答】解：数字2024是第1012个数， 由已知前n行所有数的个数为1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2， 因为312＝961，322＝1024，312＜1012＜322，2×32﹣1﹣12＝51， 所以数字2024在第32行，第51个数． 故答案为：32；51． 14．直线与函数和的图象都相切，则___________ 14. 四、解答题 15．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4． （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数． 【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1， 由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d）， 即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d）， ∴a1＝b1． （2）由（1）知，d＝2b1＝2a1， 由bk＝am+a1知，， ∴，即2k﹣1＝2m， 又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10， 故集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个． 16．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点且a＝2b． （1）求椭圆E的方程； （2）设斜率为的直线l与E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值． 【解答】解：（1）由于，设所求椭圆方程为， 把点代入， 解得b2＝3，a2＝4， 所以椭圆方程为：； （2）设直线l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得：x2+mx+m2﹣3＝0， Δ＝m2﹣4×1×（m2﹣3）＞0，可得m2＜4，即﹣2＜m＜2， 且x1+x2＝﹣m，， 所以弦长|AB|＝•＝•＝•， O到直线的距离d＝， 所以S△OAB＝|AB|•d＝•••＝•＝•≤•＝， 当m2＝2，即m＝±时取等号，符合判别式大于0， 所以△OAB面积的最大值为． 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，{an•bn}是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若数列{bn}的前n项和为Tn，且不等式λ≥n（3﹣Tn）对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2． 当n≥2时，Sn＝2an﹣2，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，两式相减得an＝2an﹣2an﹣1，即， ∴{an}是首项、公比均为2的等比数列，故． 又an•bn＝2n﹣1，故． （2），则①， ②， ①﹣②得＝． ∴． 不等式λ≥n（3﹣Tn）对一切n∈N*恒成立，转化为对一切n∈N*恒成立． 令，则f（n）max≤λ， 又， 当n＝1时，f（n+1）﹣f（n）＞0，当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＜0， ∴f（1）＜f（2）＞f（3）＞f（4）＞⋯，则． ∴实数λ的取值范围为． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBD，M为线段PB上的一点． （1）证明：PA⊥平面ABCD； （2）若二面角M﹣AC﹣B余弦值为，求的值． 【解答】解：（1）证明：如图， 连接PO，过点A作PO的垂线，垂足为H， ∵平面PAC⊥平面PBD，且平面PAC∩平面PBD＝PO， ∵AH⊥PO，∴AH⊥平面PBD， 又∵BD⊂平面PBD，∴BD⊥AH， 又四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又AC，AH⊂平面PAC，AC∩AH＝A， ∴BD⊥平面PAC， 又∵PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA， 又∵PA⊥AC，AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O， ∴PA⊥平面ABCD； （2）由（1）知，AC，BD，AP互相两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BD＝2，即， 则， ，， 设，则， ， 设平面AMC的一个法向量为， 则，则， 即， 令y＝2λ，则z＝λ﹣1，x＝0， 即， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设二面角M﹣AC﹣B为θ， 则|cosθ|＝|cos＜＞＝， 即，解得， 故二面角M﹣AC﹣B余弦值为时，． 19．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正△Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an． （1）求a1，a2的值； （2）求出{an}的通项公式； （3）设曲线在点Pn处的切线斜率为kn，求证：． 【解答】（1）解：依题意，△Q0P1Q1为正三角形，且|Q0Q1|＝a1＞0，观察图象得，而点P1在曲线上， 即，解得， △Q1P2Q2为正三角形，且|Q1Q2|＝a2＞0，点在曲线上， 所以，即＝a1+a2整理得9﹣6a2﹣8＝0，a2＞0， 解得， 所以，； （2）解：令Sn为数列{an}的前n项和，△QnPn+1Qn+1是正三角形，点Qn（Sn，0）， |QnQn+1|＝an+1＞0，于是点在曲线上， 则，即，① 当n≥2时，，② ①﹣②相减得：，整理得， 因为an+1+an≠0， 则，而满足上式，因此∀n∈N*，， 即数列{an}是首项为，公差的等差数列， 所以， 所以数列{an}的通项公式是； （3）证明：由（2）知，当n≥2时，， 则点Pn的横坐标，显然满足上式， 因此， 由求导得，，于是， 当n≥2时，， 所以＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$