精品解析：浙江省台州市天台县2024-2025学年上学期九年级数学期末试题

天台县2024学年第一学期九年级期末质量评估 数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．据此依次分析判断即可求解． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称；故不符合题意； 故选：C． 2. 与点关于原点对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：C． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数．掷一次骰子，向上一面的点数是奇数．这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确实性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念，即可求解． 【详解】掷一次股子，向上一面的点数是奇数，这个事件是随机事件． 故选：A． 4. 若的半径是，点P到圆心的距离是，则点与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆心的距离，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在园内，即可得解． 【详解】解：∵的半径是，点P到圆心的距离是， ∴， ∴点与的位置关系是点P在外， 故选：C． 5. 已知是方程的解，则c的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 6. 若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 7. 已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆周长，以及侧面扇形公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面半径为r，圆锥的侧面展开图扇形圆心角为， ∵圆锥的侧面积为，母线长为4， ∴侧面弧长为：，整理得， 圆锥的侧面积为， 解得：， 故选：A． 8. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，把实验数据整理如下： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300 根据数据作出如下推断： ①通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53．以上推断正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 【详解】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率是0.53，故正确， 所以，正确的结论为①③． 故选：B． 9. 如图，由旋转得到，点B与点D是一对对应点．连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，设，由旋转的性质得得，可得出由三角形内角和定理可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴ ∴ 由旋转的性质得， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 故选：A． 10. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 将二次函数通过配方转化为，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】 故答案为： 1 12. 如图，是的直径，内接于．若，则的度数为_________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、 内角和定理、等边对等角，连接，由圆周角定理可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知抛物线，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，再求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 16. 若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将方程两边同时除以可得：，整理可得，求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 将方程两边同时除以可得：， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 18. 一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． （1）从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． （2）如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】（1），理由见解析 （2），公平 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球恰好颜色恰好为一红一黑的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第3次为红球的情况、为黄球的情况、为黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况， ∴从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的概率是； 【小问2详解】 解：依题意画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种， ∴第3次为红球的概率为，为黄球的概率为，为黑球的概率为， ∴比赛时抽签决定选手出场顺序是公平的， 故答案为：，公平． 19. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点P旋转得到的． （1）点P的坐标为_________； （2）求旋转过程中点C经过的路径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，两直线的交点即为点， （2）连接、、，由勾股定理和勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，再由弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，两直线的交点即为点， ， 根据旋转变换的性质并结合图形可得点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图：连接、、 ， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴旋转过程中点C经过的路径长为． 20. 天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． （1）求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； （2）设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 【答案】（1） （2）32400 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设y与x之间的函数关系式为，根据当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克．可以求得销售量y与销售价格x之间的函数关系式； （2）根据每周总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； 【小问2详解】 解：， ∴当时，在的范围内， 把 W取到最大值，最大值是32400元． 答：利润W的最大值是32400元． 故答案为：32400． 21. 如图，利用一面长为20米的墙，用总长度34米的木栏围成一个中间隔开的矩形围栏，且留如图所示的两个1米宽的小门，设木栏长为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）： （2）若矩形围栏的面积为96平方米，求木栏的长度． 【答案】（1） （2）木栏的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设木栏长为x米， 由题意可得：米； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故木栏的长度为米． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ， ， ， 与点F， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，在中，应用勾股定理求得，证明，得到，，求得，已经条件，为直径即可得到的半径长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是的直径， ∵ ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理 ， ， ， ， ∵是的直径， 的半径． 23. 已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． （1）不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． （2）若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； （3）当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数与方程的关系． （1），则当代数式不含项时求出和的值，此时即过定点； （2）将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点为，再代入，进而求解． （3）当时，直线的解析式为，联立得，解得，再抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，得到，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，此时与无关，解得， ∴不论a取何值，抛物线G必过两个定点，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线G的顶点为， ∵抛物线G的顶点在直线l上，直线的解析式为， ∴把代入得， 整理得； 【小问3详解】 解：当时，直线的解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∵抛物线G在时的图象与直线有两个公共点， ∴， 解得． 24. 如图，过的三个顶点A，B，C，交边于点F．连接，，，其中与交于点G．连接并延长交于点E，且满足． （1）请写出线段与的数量关系，并说明理由； （2）①证明：是等腰三角形； ②当时，求的值． 【答案】（1），理由见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）延长交于点M，可得，根据垂径定理可得； （2）①由四边形为平行四边行得到，由圆周角定理可得，即可得到，推出，即是等腰三角形； ②当时，，得到，再由，求出，得到，即可说明，推出，，由相似得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，延长交于点M， 由题意可知为直径，， ∴垂直平分，， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形为平行四边行， ∴， ∴， 由圆周角定理可得， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天台县2024学年第一学期九年级期末质量评估 数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 与点关于原点对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数．掷一次骰子，向上一面的点数是奇数．这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确实性事件 4. 若的半径是，点P到圆心的距离是，则点与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不确定 5. 已知是方程的解，则c的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 6. 若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，把实验数据整理如下： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300 根据数据作出如下推断： ①通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53．以上推断正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 9. 如图，由旋转得到，点B与点D是一对对应点．连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 将二次函数通过配方转化为，则_________． 12. 如图，是的直径，内接于．若，则的度数为_________． 13. 已知抛物线，当时，y的取值范围是_________． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为_________． 15. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 16. 若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为_________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． （1）从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． （2）如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 19. 如图，在平面直角坐标系中，是由绕点P旋转得到的． （1）点P的坐标为_________； （2）求旋转过程中点C经过的路径长． 20. 天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． （1）求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； （2）设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 21. 如图，利用一面长为20米的墙，用总长度34米的木栏围成一个中间隔开的矩形围栏，且留如图所示的两个1米宽的小门，设木栏长为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）： （2）若矩形围栏的面积为96平方米，求木栏的长度． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． （1）不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． （2）若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； （3）当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 24. 如图，过的三个顶点A，B，C，交边于点F．连接，，，其中与交于点G．连接并延长交于点E，且满足． （1）请写出线段与的数量关系，并说明理由； （2）①证明：是等腰三角形； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $