精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

泸县五中高2024级高一上期期末考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式性质化简集合，进而求交集. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 2. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题的否定为. 故选：D． 3. “”是“方程有实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案. 【详解】若方程有实根，则，即或． 由于是的真子集， 故“”是“或”的充分不必要条件． 故选：A 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断. 【详解】A选项，取，满足，但是，A选项错误； B选项，显然，则，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以可得，，B选项正确； C选项，取，，，此时，C选项错误； D选项，若，则，D选项错误. 故选：B 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再根据同角三角函数基本关系化为，即可求解. 【详解】由，得，分式分子分母同除以， 得：，又因为，所以，， 所以. 故选：D 7. 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间（单位：年）与满足关系式，且（动植物体内初始的含量为，死亡年后的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（   ） A. 2750年 B. 2865年 C. 3050年 D. 3125年 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，再结合，应用对数运算得出. 【详解】依题意，经过n年后含量为，则有，即， 解得，所以. 故选：B. 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边在y轴上的角的集合为 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 三角形的内角必是第一或第二象限角 D. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角的范围，再求出的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确； 【详解】选项A，终边在y轴上的角的集合为，故选项A错误； 选项B，因为是第二象限角，所以，故， 当时，，此时，是第一象限角， 当时，，此时，是第三象限角，故选项B正确； 选项C，三角形为直角三角形时，因为直角不是象限角，故选项C错误； 选项D，由扇形面积公式知，，即，所以弧长,故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 函数为偶函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质逐一分析判断即可. 【详解】对于A，的周期，故A正确； 对于B，令， 因为，所以函数为奇函数， 即数为奇函数，故B错误； 对于C，因为， 所以函数的图像关于直线对称，故C正确； 对于D，由，得， 所以函数在上的最小值为，故D错误. 故选：AC. 11. 定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设，和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D错误； 故选：AC. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，且，则的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据两个集合的元素相同列方程，即可求解. 【详解】因为，所以，得或， 当时，，当时，，都成立， 所以的值为0或. 故答案为：0或 13. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为__________cm2. 【答案】 【解析】 【分析】先化简得，再利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故答案为： 14. 已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论的范围，并解不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由得，再利用集合的补集和并集的定义求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，分情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； 【小问2详解】 由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2）单调增区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【小问1详解】 最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； 【小问2详解】 令， 所以，所以的单调增区间为； 【小问3详解】 当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； （3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元. 根据利润=销售收入-总成本，可. 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元. 则. 所以. 【小问2详解】 当时，，图象开口向下，对称轴为. 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元. 当时，根据基本不等式，有. 所以亿元，当且仅当，即取等号. 因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 【小问3详解】 当时，，即，解得. 结合，知道此时满足题意. 当时，，即， 即，令，对称轴， 当时，单调递减，且时,. 则当，恒成立，即恒成立. 综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）由于，可得函数在上为增函数． 证明：任取，，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （3）不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值； （2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明； （3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求解集． 【小问1详解】 由定义域为的函数是奇函数，可得，即有， 即恒成立， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，奇函数在上为增函数， 不等式等价为， 即， 令，则，所以，解得． 即不等式的解集为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【小问1详解】 在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. 【小问2详解】 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. 【小问3详解】 ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2024级高一上期期末考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程有实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间（单位：年）与满足关系式，且（动植物体内初始的含量为，死亡年后的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（   ） A. 2750年 B. 2865年 C. 3050年 D. 3125年 8. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边在y轴上的角的集合为 B. 若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C. 三角形的内角必是第一或第二象限角 D. 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 函数为偶函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 11. 定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设，和的图象所有交点横坐标之和为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，且，则的值为______． 13. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为__________cm2. 14. 已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； （3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围． 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $