精品解析：天津市和平区2024-2025学年高二上学期期末质量调查数学试卷

和平区2024-2025学年度第一学期高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 长方体中，，则（ ） A B. C D. 3. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知数列首项2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（ ） A. 5050 B. 200 C. 100 D. 8. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆及直线，给出下列结论：①圆被轴截得的弦长为；②直线恒过定点：③时，直线被圆截得弦长取最大值；④直线被圆截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第II卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片__________块. 11. 已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 12. 已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为______． 13. 圆与圆交于两点，则直线的方程为__________. 14. 正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为__________. 15. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式： （2）若，求数列的前项和. 17. 已知圆心为圆经过和两点，且圆心在直线上. （1）求圆标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 18. 如图，三棱台中，侧棱平面，， （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知数列的前项和为. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式： （3）若，数列的项和为，求证：. 20. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 和平区2024-2025学年度第一学期高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 2. 长方体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算的三角形法则和平行四边形法则，可得结果. 【详解】 由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以. 故选：A 3. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以与之间的距离为. 故选：C. 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可得，而平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为， 故选：D 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点的不同位置和渐近线方程，列出的关系式，求解即得. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 7. 已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（ ） A. 5050 B. 200 C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系式可得，据此可得数列为常数列，从而可求数列的通项公式，进而可得答案. 【详解】由可得， 所以， 即数列为常数列，所以，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 9. 已知圆及直线，给出下列结论：①圆被轴截得的弦长为；②直线恒过定点：③时，直线被圆截得弦长取最大值；④直线被圆截得弦长最小值为.其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题设可得圆心，半径，进而求出圆与轴的交点即可判断①；求出直线的定点可判断②；结合圆的结合性质求解判断③④. 详解】由圆，则圆心，半径， 则圆与轴的交点为， 则圆被轴截得的弦长为，故①正确； 由直线，即直线， 由，解得，即直线恒过定点，故②错误； 由，则点在圆内部， 当直线过圆心时，直线被圆截得弦长最大， 此时，即，故③正确； 当时，直线被圆截得弦长最小， 此时， 则直线被圆截得弦长最小值为，故④正确. 故选：D. 第II卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片__________块. 【答案】 【解析】 【分析】结合等差数列定义及其求和公式计算即可得. 【详解】设第层铺了块瓦片，为前项和， 由题意可得，且为公差为的等差数列， 则，. 故答案为：. 11. 已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0 【解析】 【分析】分直线在x轴和y轴上的截距为零和不为零，分别设出直线方程，将点P（2，4）代入求解. 【详解】当直线在x轴和y轴上的截距为零时，设直线方程为， 因为直线直线l过点P（2，4）， 所以，则直线方程为， 当直线在x轴和y轴上的截距不为零时，设直线方程为 ， 因为直线直线l过点P（2，4）， 所以，则直线方程为 ， 综上直线在x轴和y轴上的截距相等时，直线l的方程为x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0， 故答案为：x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0 12. 已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为______． 【答案】． 【解析】 【分析】将方程化成标准形式即可得出答案. 【详解】由题意，，故其焦点在y轴正半轴上，． ∴焦点坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得焦点坐标，较简单. 13. 圆与圆交于两点，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆相交，即可作差求解. 【详解】由于的圆心和半径分别为, 圆的圆心和半径分别为， 故两圆的圆心距为，且， 故两圆相交，因此直线的方程为， 即， 故答案为： 14. 正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令平面的法向量，则， 取，得， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 15. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式： （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 小问1详解】 根据为等差数列，设公差为 由已知，即①， 由成等比数列，②， 由①②解得，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，所以 由， . 所以， 17. 已知圆心为的圆经过和两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出中垂线的方程，然后与直线联立求出圆心坐标，再求半径即得圆的方程； （2）根据直线与圆相切通过列式求解，需要考虑直线斜率不存在的情况. 【小问1详解】 因为所以的中点坐标为，，则弦垂直平分线的斜率为， 弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为， 所以圆的半径，则圆的方程为：， 【小问2详解】 由（1）知，圆心，半径为1， 当的斜率不存在时，直线方程为,与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设切线的斜率为， 则切线的方程为，即， 由圆心到切线距离等于圆的半径1，得，解得， 所以切线方程为，即， 所以切线的方程为或. 18. 如图，三棱台中，侧棱平面，， （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行即可； （2）求平面的法向量，求平面和平面的法向量的夹角余弦，由此可得结论. 【小问1详解】 因为侧棱平面，平面， 所以，又，故两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则 可得. 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 因为， 则， 所以， 所以平面. 【小问2详解】 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值等于. 19. 已知数列的前项和为. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式： （3）若，数列的项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义求解即可； （2）利用与的关系求解即可； （3）利用错位相减法求出即可求解. 【小问1详解】 由，可得，即， 则，所以， 因此是首项为4，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 当时，，时也适合， 所以. 【小问3详解】 因为， ① ② ①-②得， 所以. 因为，所以. 20. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义及离心率求解即可； （2）设直线的方程为，，设的中点为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到，进而结合一元二次方程的判别式求解即可. 【小问1详解】 由题意，的周长为，则，所以， 又因为，所以，由，得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，， 设的中点为. 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得， 由题意有，解得， 故， 所以， 因为，所以，即， 所以，整理得， 则方程有根，整理得，即， 又因为，所以， 综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形， 点横坐标的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$